CHAPITRE IV. — LA MASSE

(1) La masse. — '^ Reprenons la méthode historique, celle de Newton qui détermine la masse par le poids.

Nous admettrons que nous connaissons le poids par la balance et que Texpérience nous a prouvé que le poids d'un corps est invariable en un lieu donné et qu'il équilibre sur toutes les balances un même poids pris comme terme de comparaison (i).

Galilée a prouvé par Texpérience que, dans la chute des corps l'accélération du mouvement était constante ; que cette chute soit verticale ou ait lieu suivant un plan incliné.

Par une autre expérience New^ton prouva que, dans le vide, tous les corps tombent avec la même vitesse ; et il a écrit qu'il attendait avec une grande anxiété le résultat de cette expérience qu'il a entourée des plus grandes précautions que la technique de son temps permît.

Dans le langage anthropomorphique on a dit que l'accélération de la pesajiieiir est constante en un lieu pour tous les corps.

On sait par quelle intuition géniale Newton a rattaché la pesanteur à l'attraction universelle.

La machine d'Atwood permet de démontrer que les accélérations de la chute ralentie (par l'artifice que l'on con-

(1) On opérera par la méthode de la double pesée pour éviter Teffel de rinégalité possible des fléaux.

naît) sont proportionnelles aux poids additionnels qui les déterminent." Dans cet énoncé, j'évite de faire intervenir le principe métaphysique de causalité et je n'exprime qu'une vérification expérimentale sur des coefficients dont je connais la signification.

D'ailleurs Newton a tenu lui-même (aune époque où la métaphysique avait un empire encore très grand) à mettre le lecteur en garde contre les entités métaphysiques et dans son immortel ouvrage « des Principes mathématiques de philosophie naturelle », il a soin de dire que tout se passe comme s'il y avait une attraction et qu'il ne prétend pas du tout qu'il y ait véritablement une attraction à distance (1), On s'est trop peu souvenu, plus tard, de l'insistance mise par Newton à donner au mot attraction un sens purement représentatif et non absolu. Cependant, ses contemporains ont même trouvé ces restrictions insuffisantes et c'est la seule explication plausible de la résistance qu'ont opposée les savants français, pendant près d'un siècle, aux théories newtoniennes. On a accusé ces savants d'ignorance ! Il y avait cependant parmi eux des hommes d'un rare mérite et des mathématiciens illustres, cartésiens convaincus, ennemis irréconciliables des qualités occultes et de la scolastique du moyen âge.

Et c'a été un grand dommage pour la science que le triomphe des théories mathématiques de Newton, si géniales et tellement vraies que rien n!a encore pu les ébranler, aient pu servir de prétexte à un retour offensif des doctrines fondées sur les qualités occultes. Le grand Laplace,

(1) On dit^ en général, qu'il y a attraction du corps M sur un corps M' lorsque le mouvement relatif de l'un par rapport à l'autre est un rapprochement et répulsion, si ce mouvement relatif est un éloignement.

qui a fait triompher le système de Newton, ne se doutait certes pas que ses travaux serviraient de base à une revanche de la scolastique !

Remarque. — Nous avons employé l'expression de déterminisme. Voici comment on peut le définir :

« Si à tel état d'un ensemble complet de facteurs a succédé une fois tel phénomène, le même phénomène résultera à nouveau du même état, du même ensemble complet de facteurs. » J'emprunte cette citation à un auteur contemporain, esprit d'une rare vigueur et qui a jeté un jour des plus vifs sur la philosophie des sciences (1). ' L'auteur ajoute : « Il est inutile de se perdre en considérations métaphysiques sur la nature du déterminisme ; sa constatation est tout ce que nous pouvons faire, et sans sa constatation nous ne pourrions rien ; c'est elle qui donne la valeur à Texpérience. »

Il y a beaucoup de déterministes sans le savoir ; comme M. Jourdain faisait de la prose sans s'en douter.

Le déterminisme est même toute la science. Car, si les phénomènes ne se succédaient pas toujours dans le même ordre, les conditions étant les mêmes, on ne s'en occuperait pas et tout serait livré au hasard. Il n'y aurait plus ni science, ni conscience, ni civilisation : l'homme n'occuperait pas dans l'univers la place que le moindre insecte y occupe actuellement ou y a occupé à une époque géologique quelconque. Il n'y aurait pas d'intelligence parce qu'il n'y aurait rien à comprendre ; pas de mémoire puisqu'il n'y aurait qu'une infinité de faits sans lien entre eux ; en un mot, l'homme serait au-dessous même de la plante : il ne serait pas l'homme.

(1) Le Danlec, « les Influences ancestralcs », Paris, Flammarion, édil.

Donc nous ne pouvons pas ne pas être déterministes, puisque le déterminisme est la loi de l'univers. Et alors, avouons-le et agissons en conséquence.

On a fait cette objection : vous vous appuyez sur la possibilité de reproduction « d'un ensemble complet de facteurs ». Or, il est certain, si l'on envisage la constitution de Tensemble de tous les points de l'univers matériel comme formant un groupe à l'instant actuel, qu'on ne verra pas le groupe se reproduire d'une façon identique.

Nous admettons cela comme vérité pratique.

Mais, ce n'est pas cela qui est visé par l'hypothèse déterministe. Elle suppose, parce que l'expérience l'y autorise, qu'il y a une foule de groupes partiels qui se reproduiront, et cela suffit à la science. Un groupe peut, luimême, se subdiviser en une quantité indéfinie de groupes qui se reproduiront indéfiniment, c'est-à-dire qui subissentla loi pendulaire ; ce sont ceux-là même que la science a intérêt à étudier. A vrai dire, elle n'en connaît pas d'autres. Revenons à la machine d' A twood.

L'expérience montre que des corps différents, auxquels la balance attribue le même coefficient numérique appelé poids, y produisent les mêmes accélérations, toutes choses égales d'ailleurs. La machine d'Atwood sert donc de contrôle à la balance, puisque nous connaissons déjà la loi des accélérations par d'autres expériences.

On voit qu'il est absolument inutile d'attribuer au poids une qualité mystérieuse qui cause la chute des corps et que ce langage, à la fois anthropomorphique et métaphysique, doit être banni de la science puisqu'il n'explique rien et s'appuie, au contraire, sur des hypothèses invérifiables, attendu qu'on ne peut leur attribuer un sens expérimental. Newton qui, le premier a eu une idée claire, de la masse a eu, comme toujours, recours à l'expérience pour prouver

qu'ily a, dans toute circonstance, une propriété qui subsiste dans les corps, indépendamment du poids.

Lorsqu'un corps est suspendu à un fil, son poids est équilibré par la tension du fil et, cependant, on éprouve de la difficulté à dévier ce pendule de sa position d'équilibre et cette difficulté est d'autant plus grande pour un volume donné que le poids spécifique est plus élevé. Les corps ont donc une propriété qui subsiste indépendamment du poids et qui a un certain rapport avec le poids spécifique. Newton donnait à cette propriété ou, si l'on veut, à ce coefficient le nom de masse. P désignant le poids, M la masse et g l'accélération delà pesanteur, il écrivait

(1) P = Mg

Comme nous le faisons encore nous-mêmes.

Appelons V le volume du corps et Dson poids spécifique on a

(2) P = VD Comparant (1) à (2) il vient

YD = Mg

Si l'on fait V = 1

D D = Mût ou M = —

C'est-à-dire que le poids spécifique est la masse de l'qnité de volume.

Si l'on prenait pour unité de poids 9,8 litres d'eau (au maximum de densité) au lieu del litre, la masse serait numériquement égale au poids spécifique.

C'est ainsi que Ton peut dire que c'est bien la masse ou le poids spécifique qui lui est proportionnel (et qui, dans

un certain système d'unités, lui serait égal) qui fait que les corps pendulaires de Newton résistent au déplacement.

Seulement ce système d'unités ne conviendrait que pour un lieu déterminé, puisque la valeur de l'accélération de la pesanteur varie avec la latitude. Dans le système usuel où la masse est supposée constante, c'est le poids spécifique qui varie comme g, comme le poids.

C'est l'expérience qui nous a appris que g varie suivant la latitude du lieu terrestre où Texpérience se fait. On voit qu'on peut en déduire aussi bien la variation du poids que celle de la masse. Newton, se basant sur l'expérience que nous venons de citer et sur d'autres encore plus ou moins précises, pensait qu'il était préférable de prendre la masse comme constante.

Les calculs delà mécanique céleste, basés sur l'hypothèse de l'invariabilité delà masse, conduisent à des conséquences qui toutes se vérifient par l'observation. Et si une observation décèle une cause d'erreur dans les calculs, on cherche immédiatement quelle peut être la masse perturbatrice, tellement les savants sont persuadés de l'invariabilité de la masse. Mais, rien ne prouve a priori que la masse est indestructible et il est bon qu'on se persuade que jusqu'ici tout ce que nous savons de science certaine est en harmonie avec la doctrine de la constance de la masse, mais que cette doctrine ifest, à tout prendre, qu'une hypothèse. Hypothèse vérifiable dans la limite de précision de nos moyens d'observation, mais qu'un fait nouveau pourrait mettre en péril, quelque improbable que cette crainte nous paraisse jusqu'ici.

Si donc la masse est constante, c'est le poids qui varie proportionnellement à l'accélération g. Mais il ne faut pas oublier que cela nous ne. le savons exactement ni par l'expérience ni parle calcul, mais nous pouvons l'admettre comme

vrai, tant qu'une expérience ne nous aura pas ôblîjçés à cesser déconsidérer le système solaire comme un système isolé.

Lorsque nous voulons évaluer le poids d'une planète, nous calculons sa masse m que nous multiplions par l'attraction terrestre g. En opérant ainsi sur tous les corps célestes, c'est donc comme si nous nous bornions à évaluer leur masse; car, le poids n'est calculé que par 7*apport à laterre, afin d'avoir des nombres comparables entre eux.

Si nous calculions le poids d'une planète comme le produit de sa masse par le coefficient d'attraction qui existe sur cette planète, nous aurions un nombre différent. En d'autres termes, pour comparer les poids de corps quelconques de l'univers il faut les rapporter à l'attraction en un même lieu, autrement on ne sait pas ce que l'on compare.

En un mot, le poids n'a de signification que par rapport à un lieu déterminé. C'est de là que vient la haute valeur du coefficient masse.

Remarque. — Dans Texpérience pendulaire la résistance que les masses opposent au déplacement est appelée inertie. L'inertie pour Newton était donc une force que les corps opposent à la force bumaine qui essaye de les déplacer : cette opinion est conforme à la notion anthropomorphique de force. Les corps sont assimilés à des êtres vivants qui résistent par leur force à celle de l'être vivant — homme. C'est une réaction opposée du corps contre l'action de rhpmme. Le principe de l'action = réaction est donc, chez New^ton, une conséquence logique de sa conception de la force et un autre aspect du principe de V inertie.

Newton admettait comme intuitif le principe de la proportionnalité des forces aux vitesses (1).

^1) Voir à ce sujet l'ouvrage de Mach, « La Mécanique ».

En considérant deux points matériels de masse M et M' agissant l'un sur Tautre, il écrivait

Mv + M'v' =

les vitesses v et v' étant opposées doivent être admises comme étant de signe contraire. Il est plus correct d'écrire cette équation sous la forme

Mdv + M'dv =

dv et dv' représentant les variations infiniment petites de la vitesse; et, en divisant par dt on obtient

(4) My-f M'y' =

y et y étant les accélérations. C'était une manière particulière de formuler le principe de l'action = réaction considéré comme expérimental et d'arriver à une définition de la masse.

Nous nous sommes déjà étçndu sur le cercle vicieux qui consiste à définir la masse par la force, considérée comme une entité et la force par la masse et l'accélération.

Mais, étant admises les idées métaphysiques de Newton sur la force et la matière, toute sa mécanique constitue un tout cohérent et permet de résoudre tous les problèmes faisant abstraction, naturellement, des difficultés purement mathématiques qui diminuent constamment à mesure que la science progresse.

Mais il faut être Newton et posséder à la fois sa prudence expérimentale et sa géniale intuition pour ne pas s'exposer à faire fausse route si Ton n'établit pas la science sur des bases philosophiques irréprochables.

Je tiens à ce qu'on me comprenne bien: on peut, lors-

qu'on est bon mathématicien, résoudre parfaitement des problèmes de mécanique dont les conditions sont exactement posées, sans posséder une philosophie correcte de la science. Seulement, il est impossible de faire progresser la science en général sans un système philosophique correct et cohérent. J'ajoute que les débutants dans une science spéciale progresseront difficilement si, à défaut d'une intuition puissante, ils ne possèdent pas des principes absolument corrects et c'est pourquoi il est indispensable de débarrasser l'enseignement de la mécanique comme celui de toutes les sciences de toutes les obscurités métaphysiques et des erreurs de l'anthropomorphisme.

Le principe de Newton exige que les deux masses seules en présence agissent Tune sur l'autre. En réalité, toute masse agit sur toute autre massp de l'univers.

L'équation (1) ci-dessus n'est donc qu'approchée, elle ne s'applique exactement qu'à un système isolée c'est-à-dire fictivement soustrait à toute influence extérieure. Mais, nous pouvons pratiquement faire abstraction des corps célestes sur les corps d^ notre voisinage, en raison de leur grand éloignement ; nous pouvons aussi négliger les corps environnants, à cause du faible coefficient que fournit Tattraction de leur masse.

C'est pourquoi au point de vue purement philosophique il faut considérer le principe comme approximatif, c'est-àdire la masse comme susceptible de très faibles variations, sauf à la considérer comme constante dans les calculs, puisque nous ne prévoyons aucune expérience capable de nous en faire constater une moindre variation mesurable.

Supposons le mouvement de deux points matériels projetés sur les axes coordonnés ; l'équation de Newton donnera lieu à 3 équations semblables de forme. Intégrons deux fois celle relative à l'axe des x, il vient

(M + M')x=at + 6

que nous traduisons ainsi : le centre de gravité d'un système isolé se meut en ligne droite. C'est une interprétation ou une généralisation du principe de l'inertie.

L'accélération, avons-nous dit, est relative aux axes choisis ; on peut donc se demander ce que devient le mouvement du centre de gravité par rapport à d'autres axes? Or, le théorème de Coriolis nous apprend que pour que l'accélération ne change pas, il faut et il suffit que le système de comparaison ait un mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à des axes fixes. Telles sont donc les conditions qui nous permettent de généraliser le principe d'inertie pour un nombre quelconque de corps formant un système isolé : c'est le cas du système solaire à cause de Téloignement énorme des étoiles. Mais, pour les besoins de notre mécanique, nous admettons que les axes fixes passent par le centre du soleil et, comme la force centrifuge composée est négligeable à cause de la faiblesse du mouvement angulaire de la rotation terrestre, nous n'avons qu'à tenir compte du mouvement orbitaire. Comme de plus on peut considérer que, pendant la durée de nos observations, l'arc décrit par la terre est sensiblement rectiligne et le mouvement de translation uniforme, nous pouvons encore négliger l'accélération du mouvement orbitaire, pour peu que les vitesses des corps terrestres auxquels nous avons affaire soient sensibles.

De telle sorte que dans les calculs que nous faisons au sujet de nos machines, nous pouvons traiter, sans erreur appréciable, tous les mouvements comme absolus, c'est-àdire rapportés à des axes passant par des étoiles fixes (1).

(i) Cette question sera examinée d'une façon plus complète et plus rigoureuse dans le chap. qui traite de la rotation de la terre.

Remarque. — Dans certains traités, après avoir soidisant démontré la proportionnalité des forces ^constantes aux accélérations, on donne ensuite de Tinvariabilité de la masse, quand la force varie, une démonstration sur laquelle je désire faire quelques réserves.

Elle se base sur ce que l'accélération ne dépend que d'un déplacement infiniment petit pendant l'élément de temps dt et que dans le cas de la force variable, elle ne dépend que d'un infiniment petit de Tordre de dfl de celle du cas de la force constante.

Or, cela n'est pas évident du tout. Il semble même, dans une vue superficielle, qu'on puisse admettre que l'accélération y d'une force F étant y-^-dy un instant après dt, la

F + dF force étant devenue rfF, le rapport — , . diffère d'un in-

F Animent petit de Tordre dt du rapport — = ?w. Nous allons

voir qu'il n'en est rien. Remarquons, en effet, que pendant l'intervalle de temps dt, dF et dy doivent être considérés comme constants. On peut donc supposer la force F -{-dF remplacée par deux forces constantes F et dF qui ont à peu près la même direction et Ton a

F dP F -f (JF

y dy y ~\~ dy donc F -f dF = m (y -|- dy)

Nous n'avons requis qu'une seule approximation, c'est que les forces F et dF ont même direction. Or, cela est légitime, ainsi que je vais le démontrer. En effet, dFpeut se décomposer en deux forces dont Tune est la projection sur îa direction de F et égale à dF cos da (da étant l'angle de deux directions infiniment voisines) on peut écrire

cos doi = 1 —

en négligeant un infiniment petit du 3® ordre .et la composanté de la force = — - — ; l'autre composante est égale (les axes étant rectangulaires) à

dF sin da = dF (da — ^ )

est négligeable devant dF comme étant un infiniment petit d'ordre supérieur. (Il en est de même pour Taccélération) .

On voit donc que, même en tenant compte de l'angle infiniment petit entre les deux directions, le rapport des accélérations reste égal à ?w. Mais cela n'était pas évident.

Il est bien entendu que cette démonstration ne touche en rien au plan de notre, exposé et n'a d'autre but que de rectifier une démonstration défectueuse qui se trouve dans bien des traités. La définition de KirchofF à savoir que la force est la valeur numérique du produit de la masse par l'accélération suppose l'accélération constante, c'est-à-dire le mouvement uniformément varié. Or, Ton démontre facilement qu'un mouvement infiniment petit quelconque est le mouvement résultant: l^d'un mouvement uniforme infiniment petit du premier ordre ;

2" D'un mouvement infiniment petit du second ordre où l'accélération est constante ;

3** De mouvements d'ordre supérieur, que nous négligeons.

On peut donc dire que l'accélération d'un mouvement varié quelconque reste constante pendant un temps infiniment petit ; il en est donc de même de la force.

II est donc lég-itime d'étendre la définition de KirchofF aux forces variables.

Nous pouvons ainsi conserver le nom de force pour la commodité des calculs de la dynamique et pour ne rien changer aux théories mathémathiques reçues et, sachant bien ce que nous entendons par ce mot, l'emploi que nous en ferons n'a aucune espèce d'inconvénient.

La force a aussi conventionnellement la direction de l'accélération : on peut donc la traiter comme un vecteur et la théorie de la composition et de la décomposition des forces en découle tout naturellement puisqu'elle est calquée sur celle des accélérations. Nous pouvons aussi considérer comme une force le produit mg de la masse par l'accélération de la chute, ce produit que Newton a identifié au poids. Et, à l'aide de la machine d'Atw^ood nous démontrons que les accélérations sont proportionnelles aux poids qui déterminent le mouvement ; ces poids jouent donc exactement le rôle des forces de KirchofF.

(2) Remarque sur les pesées. — Ceci nous amène, tout naturellement, à dire quelques mots sur l'usage de la balance. Nous supposerons, pour simplifier, les fléaux rigoureusement égaux. Le poids type étant mis dans le plateau de droite, par exemple, celui-ci arrive au contact avec la terre ; le poids est équilibré par la réaction du sol (nous avons analysé le cas).

Puis, si on met dans l'autre plateau des quantités successivement croissantes du corps à peser (réduit, si l'on veut, à l'état de sable) la résultante des poids placés dans les deux plateaux aura son point d'application en des points de plus en plifs rapprochés de Taxe de suspension, du côté droit, et la réaction du sol va constamment en diminuant. Enfin, quand le poids de gauche est devenu — par suite

des additions croissantes de ce sable — égral à celui de droite, la résultante passe par Taxe de suspension et la réaction du sol disparaît.

Si les fractions d^ corps pesants ajoutées à gauche étaient infiniment petites et sans vitesse^ au moment où les poids deviennent égaux, il ne se produirait rien. La balance resterait dans un état d'équilibre indifférent et le plateau de droite en contact avec le sol, sans réaction aucune. Mais, dans la réalité, les choses se passent autrement. Ce sont des quantités finies qu'on ajoute à gauche et qui subissent une certaine chute. Il se produit, en d'autres termes, un travail mécanique à chaque addition de matière. De telle sorte qu'au moment où l'équilibre des poids est obtenu, le fléau a acquis une certaine vitesse d'oscillation qui n'arrive à cesser que par suite du travail mécanique dû au frottement qui a lieu entre le couteau de suspension du fléau et son support. Plus ce frottement est réduit (par une habile disposition des surfaces) plus les oscillations sont longues à s'éteindre. C'est pourquoi les pesées sont d'autant plus difficiles que la balance est mieux construite.

Il faut ajouter, il est vrai, que la résistance de l'air intervient pour réduire les oscillations.

(3) Comparaison des forces statiques et des forces dynamiques. — La définition de la force que nous avons donnée est purement dynamique. El, en effet, nous avons déjà fait remarquer que la force statique est inconcevable. Elle ne se présente, dans le langage, que sous une désignation anthropomorphique que nous voudrions voir bannir de la science.

La mécanique classique, incapable de définir la force statique, la traite cependant comme un vecteur et, chose singulière, passe à l'emploi de la force dynamique sans dé-

montrer que les deux choses n'en font qu'une. Et, cela n'est pas étonnant puisque la force statique est indéfinissable tandis que l'on a l'expression analytique de la force dynamique comme produit de la masse par l'accélération. Il y a là une véritable lacune fort regrettable au point de vue philosophique.

Nous allons examiner quelques cas particuliers où l'on verra bien que la prétendue force statique n'existe pas.

Dans l'expérience de la machine d'Atwood on a

w étant le poids supplémentaire et y l'accélération du mouvement. C'est la force qui détermine le mouvement d'accélération y ; c'est bien une force dynamique.

Soit un corps pesant reposant à terre sur un plan horizontal indéformable. On assimile le poids de la masse aune force et on dit que, puisqu'il y a équilibre, c'est qu'une force verticale de bas en haut est opposée à la force verticale de haut en bas ; c'est la réaction du plan. Donc, l'action = réaction.

Mais cette prétendue force n'existe que par définition. Elle ne se manifeste que par l'absence de qualités, pour employer le langage de la logique générale ; elle est inexistante, au point de vue mécanique. Pour donner un semblant de réalité à son existence hypothétique, on suppose le plan d'appui indéformable, alors que l'expérience ne nous fait connaître aucun objet de ce genre.

Pour savoir ce qui se passe lorsqu'un poids repose sur

un plan horizontal, il faut précisément admettre qu'il y a

• déformation de la matière, ainsi que l'expérience l'indique

et, de plus, admettre le frottement (1) qu'on néglige dans les équations de la dynamique, à titre de première approximation. Car il faut bien, lorsqu'on veut appliquer ces équations à des corps matériels, tenir compte des lois expérimentales du frottement, faute de quoi il est impossible de se rendre compte du travail mécanique dans les machines (2). Supposons donc un instant le plan indéformable.

On remarque ainsi que deux molécules m^, m^ situées sur la même verticale se rapprochent par suite de l'accélération g de la pesanteur de ?ni ; puis il se développe entre îWietm^ce qu'on appelle des forces élastiques, c'està-dire une accélération en sens inverse de la pesanteur. Le

(1) Le frottement apparaît sous Taction même de la gravité si le plan de support se déforme et que le centre de gravité du corps ne se projette pas au centre de gravité de la surface de contact.

(t) On enseigne la dynamique en faisant d'abord abstraction du frottement, à titre de première approximation et afin de graduer les difficultés. Mais il faut savoir que la dynamique sans le frottement n'estqu'une abstraction dépourvue de toute possibilité d'application. Si on supprime le frottement, la mécanique ne sert plus à rien, attendu qu'elle ne peut s'appliquer aux corps ni aux mouvements réels. où il y a toujours frottement; seulement, il y a des cas où il est négligeable.

Sans frottement, il n'y aurait pas de travail manuel; l'homme ne pourrait même pas se mouvoir. Sans frottement, l'arbre d'une machine ne tournerait pas et il n'y aurait pas transmission du mouvement de l'arbre à l'outil ; en un mot, il n'y aurait pas de travail mécanique matériel.

S'il n'y avait pas de frottement, nous ne pourrions même pas faire une pesée à la balance, car le fléau oscillerait indéfiniment, sans arriver à l'équilibre. C'est ainsi que j'ai pu dire que la statique n'existe pas en réalité; en un mot, c'est une abstraction. L'équilibre aussi n'est qu'une abstraction : voilà ce qu'il est nécessaire d'enseigner aux élèves en leur faisant comprendre que ces simplifications et ces abstractions ne sont nécessaires que pour établir des étapes dans l'enseignement et pour préparer l'esprit à saisir les choses compliquées de la réalité.

même phénomène se produisant sur toute la hauteur de la pile, il en résulte : d'une part, une compression plus grande des parties les plus rapprochées du plan de support et, de l'autre, un mouvement oscillatoire d'étendue excessivement petite. Si Ton restitue ensuite au plan de support les qualités physiques des solides, c'est-à-dire l'élasticité, il participera à ce mouvement oscillatoire et, par la masse même de la terre qui y est intéressée, éteint peu à peu les oscillations sur la pile verticale. Il faudrait, pour être complet, tenir compte des forces élastiques développées dans tous les uzimuths autour du point ?Wi, c'est-à-dire tenir compte des effets de toutes les piles verticales dans lesquelles on peut décomposer le corps.

C'est un problème mathématique très ardu, qu'on peut négliger à cause de la petitesse des déformations produites, dans la pratique. 4

Ce qu'il y a de certain, c'est qu'il n'y a pas de repos absolu et qu'un corps placé sur le sol est l'objet de mouvements internes provoqués par le jeu des déformations élastiques dues àl'accélération de la pesanteur qui agit sur toutes les molécules à la fois, d'une façon instantanée et continue.

Les déformations que nous appelons frottement sont accompagnées de manifestations calorifiques dont l'étude est inséparable delà mécanique et qui en fontunedes branches les plus importantes. L'équivalence mécanique de la chaleur est en effet un des principes fondamentaux de la physique moderne.

Le poids est déterminé expérimentalement par la balance et nous avons expliqué que ce n'est pas une expérience d'équilibre véritable, au sens mécanique, mais la constatation d'un mouvement amorti dont l'équilibre serait la limite. Ensuite, comme force^ le poids figure expérimentalement dans les lois de la chute des corps.

Dans un ouvrage très intéressant à plusieurs litres, M. Andrade a préconisé la mécanique du fil dans le but louable d'échapper à la notion métaphysique de la force et il en déduit intuitivement les lois de la statique. Seulement, il est obligé de faire des hypothèses absolument a)ntredites par l'expérience et des postulats aussi scabreux que celui même de la force.

Il n'évite pas, il complique même la confusion qui existe entre la force statique et la force dynamique, loin de Téclaircir. Pour M. Andrade, le type de la force, c'est la tension d*un fil sans masse et inextensible : c'est la substitution pseudo-expérimentale d'une entité à une autre.

L'intérêt de la méthode de Tauteur, c'est qu'elle reproduit, en quelque sorte, l'histoire des intuitions ancestrales et pourrait, à cet égard, être utile dans un exposé élémentaire de la mécanique à la condition qu'on expliquât au débutant que ce ne sont là que des images fort déformées de la réalité et peu satisfaisantes pour une explication philosophique.

Prenons donc un de ces fils et suspendons-y un poids P. Dans ce cas, la figure comprise entre un point M du fil et le poids P est dite en équilibre par suite d'une tension T égale et opposée au poids : la tension est la réaction du fil contre le poids.

En fait, cela est matériellement inexact puisque l'expérience prouve que les fils — les fils métalliques surtout — sont très extensibles et que l'équilibre ne se produit, à la limite, que lorsque Tallongeihent a cessé.

L'allongement est proportionnel, pour un fil donné, au poids suspendu et pourrait ainsi servir de mesure au poids. En d'autres termes, le fil est un véritable dynamomètre à la condition d'être extensible et d'avoir de la masse, c'està-dire précisément les propriétés que lui refuse M. Andrade.

Les Principes do ïa mécanique. 3

De plus, l'allongement est un mouvement; le poids n'intervient donc pas comme une force statique, mais essentiellement dynamique. Si Ton ajoute successivement des poids au poids P, l'allongement continuera jusqu'à un certain point où la rupture se produit. C'est une discontinuité dans la loi d'allongement. ^

Si l'on décroche le poids avant la rupture, le fil reprend sa longueur primitive si le poids n'a pas été trop grand et n'a pas élé suspendu trop longtemps. Puis, si on y suspend un nouveau poids, il suit une nouvelle loi d'allongement et le poids de rupture peut être différent qu'il eût élé si le poids n'avait pas été attaché pendant un temps plus ou moins long.

On voit, par ces explications de détail, que le phénomène est physiquement et mécaniquement fort complexe et essentiellement dynamique. De force statique on n'y en voit pas.

Au fond, ridée de force statique nous vient des ancêtres de la mécanique qui réduisaient tous les problèmes à l'équilibre. De là aussi nous est venu le principe de l'action = réaction qui est à la statique ce que le principe de d'Alembert esta la dynamique. Cela est tellement vrai que l'obstacle principal que rencontraient les anciens dans la mise en équation des problèmes dynamiques provenait des liaisons auxquelles sont assujettis certains points dans les mouvements de tous les systèmes matériels sans exception. Cet obstacle a été précisément levé par le théorème des travauxvirtuels qui a donné une méthode uniforme pour les problèmes de statique aussi bien que de dynamique et qui a précisément tout ramené à la dynamique, contrairement à ce qu'on dit d'ordinaire, puisque leiî équations qu'on pose sont celles d'un travail mécanique virtuel c'est-à-dire compatible avec les liaisons. (Car il est inutile de parler de travail

virtuel pour les points libres, auxquels tous les déplacements imaginables sont possibles, par définition même.)

Il se trouve que les équations sous forme finie qu'on déduit des équations différentielles du travail, ont précisément la forme des équations de l'équilibre, et c'est ce qui fait dire, faussement, que le problème de dynamique est réduit à un problème de statique.

Prenons encore l'exemple d'un dynamomètre attaché à un mur, que nous supposerons de masse infinie c'est-à-dire inébranlable. [Car s'il n'était pas de masse infinie, le principe même de l'action = réaction sous la forme que lui a donnée Newton,

MF + my =

fausserait les résultats des mesures.] En exerçant une traction sur le crochet du dynamomètre, je constate que l'aiguille s'arrête au chiffre 30. J'ai donc exercé une traction de 30 k. ou la déformation que j'ai produite dans le système est la même que celle que produirait un poids de 30 k. suspendu au crochet, Taxe de suspension étant vertical.

Si le mur est de masse infinie ou, du moins, de masse telle que son déplacement produit par ma traction soit négligeable, les mécaniciens classiques disent que la réaction du mur est aussi de 30 k. ; le mur, un personnage qui se met en antagonisme avec moi! En réalité, le phénomène est bien plus compliqué que cela. Si je n'exerçais par mon poids aucune déformation sur le sol, c'esl-à-dire s'il n'y avait pas frottement, je ne pourrais plus exercer ma traction de 30 k. sur le dynamomètre. Au contraire, l'ensemble du mur et de l'instrument constituerait ce que les mécaniciens appellent une force extérieure et en raidissant mes muscles sur le crochet de traction, c'est moi qui serais

attiré. Le frottement de mes semelles sur le sol est donc la force extérieure dont j'ai besoin pour réagir contre le mur. Voilà l'inextricable complication — non point d'équations — mais d'explications à laquelle conduit le langage anthropomorphique. Seulement, il y a de tout là-dedans, sauf de la statique. On y voit un être vivant, ma personne, en prise avec des personnages métaphysiques, qui se disputent en produisant des mouvements relatifs les uns par rapport aux autres.

La question serait encore plus compliquée si je faisais intervenir les déplacements musculaires par rapport à mon centre de gravité, la chaleur dégagée par mon corps pendant la traction, les variations de chaleur du dynamomètre, soit pendant la traction, soit pendant les oscillations très rapidement amorties par son retour à l'équilibre lorsque je lâche le crochet, etc.

Les phénomènes matériels les plus simples mettent toute la mécanique et toute la physique à contribution lorsqu'on veut les analyser d'une façon complète.

(4) Définition de la masse par Mach — Application à la machine d'Atwood. — Mach (1) définit ainsi la masse :

« On appelle corps de même masse deux corps qui, agissant l'un sur l'autre, se communiquent des accélérations égales et opposées. »

Cette définition aboutit immédiatement à l'équation fondamentale de Newton

(1) La Mécanique (exposé historique et critique de son développement). Traduction française, Paris, librairie scientifique, A. Hermann, 1904.

qui est une autre façon de présenter le principe d'action = réaction.

En choisissant un corps A comme unité de masse, on en déduit la valeur numérique de la masse.

On dira qu'un corps est de masse 7W lorsque ce corps agissant sur le corps A lui communique une accélération égale à m fois celle qu'il reçoit par réaction du corps A sur lui.

Le rapport des masses est de signe contraire à celui des vitesses ou des accélérations, comme Texpérience nous l'apprend.

Cette définition de la masse, purement expérimentale, ne diffère point, au fond, de la mienne.

Mach explique qu'il y a, cependant, une petite difficulté qui tient à ce qu'il n'est pas évident que deux corps B et G agissant séparément sur A se comportent comme étant de masse égale dans une action mutuelle et que si nous pouvons l'affirmer, c'est que l'expérience nous l'apprend.

Cette difficulté, soulevée par Mach, n'est autre que la question de la proportionnalité des masses aux accéléralions. En d'autres termes, il s'agit de prouver que les rapports de masses de deux corps, mesurées expérimentalement dans la machine d'Atwood ou par un autre procédé où les accélérations ne proviennent que de la pesanteur, ne changent pas lorsque les circonstances des mouvements réciproques sont autres.

Je crois qu'il suffit de répondre que, dans l'expérience de la machine d'Atwood on a comparé deux mouvements : l'un où la chute est libre et où l'accélération est gr, l'autre dans une chute qui n'est pas libre, c'est-à-dire qui est un mouvement conditionné d'une certaine manière et où l'accélération est différente ; et que, de quelque manière qu'on fasse l'expérience, c'est-à-dire quelles que soient les conditions

par lesquelles on fait varier Taccélération, on trouve toujours que ces accélérations sont proportionnelles aux poids qu'elles affectent. Il en résulte que la difficulté soulevée par Mach est résolue par les expériences mêmes qui nous ont servi à déterminer la masse.

En d'autres termes, p étant le poids additionnel et P le poids de chacune des masses identiques suspendues au fil, les accélérations respectives dans la chute libre de p et dans la chute retardée par les masses P sont, d'après la théorie

Gt ~ ; = y . ,

avec un poids additionnel p\ elles sont

et l'expérience vérifie exactement ces nombres.

La réalité de la masse, dit-on quelquefois, est intuitive ; cela n'est pas exact. Newton et Huyghensn'en ont eul'intuition qu'après des expériences qui sont décrites dans leurs œuvres.

Les expressions de y et de / se prêtent à une transformation simple ; on a

Les masses en mouvement M et M' sont dans la proportion suivante

M 2P-f p M'""2P+|>' d'où My p

MV~p^

En choisissant convenablement l'unité de niasse, on aura

My = p M y' = p

C'est-à-dire que la force qui détermine le mouvement est égale au produit de la masse par l'accélération : c'est la forme usuelle adoptée en mécanique.

On aurait encore pu raisonner de la façon suivante. Le système des corps pesants en mouvement sur la machine d'Alwood est dans le cas d'un système isolé qui prend une accélération y ; et, par conséquent le corps de poids p qui détermine le mouvement a une accélération relative g — y ; on doit donc avoir d'après la loi de Newton :

masse depig — y) = masse de 2P X y

y masse de p

g — y masse de 2P \^)

ou

Or, l'expérience de la machine d'Atwood prouve que l'on a :

donc

9^7 mnssedcp masse de 2P

Donc le rapport des masses est le même que celui des poids, en un lieu donné.

Si Ton désigne par m et M les masses de p et 2P l'équation (2) peiit s'écrire

ou {^^ + p)y=gp

ou, enfin

(2MX»w)y = m.gr (3)

Donc, si l'on convient d'appeler force le produit de la masse par Taccéléralion, l'équation (3) signifie que dans la chute libre la force qui détermine l'accélération g est mg et la même dont la chute retardée de la masse 2M-|-w détermine l'accélération y.

Remarque IL — Nous avons mesuré la masse dans des cas d'accélérations toutes verticales; on peut se demander si on n'obtiendrait pas des nombres différents dans des mouvements de direction quelconque. Comme une accélération peut toujours se décomposer en deux, Tune verticale, l'autre horizontale, la question ne porte donc que sur les composantes horizontales des mouvements. La réponse nous est fournie par l'astronomie. En appliquant le calcul à chacun des mouvements composants des corps célestes on aboutit à des formules toutes vérifiées par l'observation. Nous pouvons donc adopter, de confiance, comme mesure de la masse d'un corps quelconque, le nombre qui nous est fourni par Texpérience d'un mouvement suivant la verticale.

(5) Définitiox^ de M. Appell. — M. Appell(l) prend également le point de départ newtonien adopté par Mach (2) pour la définition de la masse : mais, sous une forme plus générale et particulièrement intéressante.

Il appelle premier principe le postulat de l'inertie ; « tout point matériel supposé seul ne prendrait pas d'accélération. »

Deuxième principe. — « Deux points matériels déterminent l'un sur l'autre des accélérations dirigées suivant la droite qui les joint et en sens opposé. »

(1) Appelle Trailé de Mécanique, cf. p. 82 et suiv.

(2) Mach, La Mécanique, cf. p. 213.

Il considère ce principe comme établi par la physique expérimentale.

Troisième priîicipe. — « La valeur numérique des accélérations que deux points matériels quelconques déterminent Fun sur l'autre est constant; autrement dit, ce rapport est le même quelles que soient les- conditions physiques qui produisent l'accélération, que ce soit la pression mutuelle, lattraction newtonienne, etc. »

Ce principe est donè également expérimental. Dételle sorte qu'on peut former le tableau de nombres

• iWa, mb, me . - . . twk

relatifs à des corps a, fc, c, d, et où un seul des nombres a été arbitrairement choisi. Et, si l'on veut savoir quel serait le rapport des accélérations qu'auraient les corps a et /"mis en présence on aurait

accélération de f ma

accélération de a mf On pourrait encore écrire d'une façon plus générale

acccélération de f rapport d'accélération de f et a accélération de e rapport d'accélération de ^ et a

On est donc en mesure de trouver le rapport d'accélération de deux points matériels quelconques et les nombres ^n^^Mh ' . . mic s'appellent les masses des points a, 2^, (;. . . Cette manière de poser la question est évidemment d'une correction absolue et permet d'aborder, en toute sécurité, la mécanique analytique. Mais elle ne dispense pas des recherches sur les principes.

La méthode de l'éminent géomètre suffit à des savants

qui ont réfléchi à tous les problèmes de philosophie que soulèvent les principes de la mécanique ; elle suffit aussi aux élèves qui étudient un traité de mécanique rationnelle au point de vue de la mise en équation des problèmes de la physique. Mais elle appelle des explications complémenlaires lorsque Ton se préoccupe de la philosophie de la science. J'ajoute que les étudiants en mécanique, euxmêmes, ne peuvent se dispenser de compléter leur éducation par un examen plus approfondi des principes. Car ces principes leur étant donnés Tun comme un postulat, les autres comme des résultats d'expérience, ils auront nécessairement la curiosité, d'une part, de savoir si nous ne pourrions pas nous passer du postulat ou pourquoi il s'impose à nous ; de l'autre, de connaître les expériences dont on invoque la réalité pour formuler les autres principes. Enfin, il faudra qu'ils se rendent compte de la concordance des expériences et des principes ; question d'autant plus ardue qu'il ne s'agit pas au fond de véritable expérience (et qu'ils n'en feront certainement aucune), mais, simplement; de possibilité d'expériences et, alors, l'esprit a le droit d'être beaucoup plus exigeant.

La définition adoptée par M. Appell a donc l'avantage de supprimer toute idée métaphysique dans la définition de la masse, mais ne dispense pas d'un examen philosophique des principes.

J'en arrive ainsi à l'examen du premier principe que j'ai appelé postulat.

L'esprit a de la peine à se figurer un point matériel complètement isolé. J'ajoute que philosophiquement, nous ne savons même pas ce qu'on peut entendre par là. Car, enfin, puisque nous ne concevons rien que relativement, nous ne pouvons pas concevoir de corps isolé ; d'ailleurs, même en étant unique, il ne serait pas isolé puisqu'il y a nous

observateur. Il y a donc antinomie dans les termes. Un point matériel a une vitesse par rapport à un autre point. Il n'y a pas de vitesse absolue pas plus que d'accélération absolue.

Ce premier principe, destiné à faire disparaître toutes les difficultés, les réunit au fond toutes ; et il revient à dire ceci : Supposons toutes les difficultés résolues ou réservonsles pour un examen ultérieur.

La rédaction de ce premier principe qui avait pour but d'échapper au langage métaphysique qui figure habituellement dans les traités, n'arrive donc à ce résultat qu'au prix d'une impossibilité logique. Je crois donc qu'il y a tout intérêt à la remplacer par celle de M. Poincaré qui a les mêmes avantages et auquel aucune objection philosophique ne peut être faite. Le principe de l'inertie généralisé de M. Poincaré, considéré comme un principe expérimental, permet alors de dresser le tableau des coefficients ma, Wb, Wc de M. Appell, d'où nous tirerons

les rapports d'accélérations de deux corps quelconques agissant l'un sur l'autre.

(1) Indépendance des vitesses et des accélérations dans les mouvements en lesquels peut se décomposer un mouvement quelconque. — Contrairement aux théories de la mécanique classique qui fait intervenir un postulat parfaitement inutile, je considère cette question comme une simple interprétation des propriétés projectives des figures ou, si Ton préfère, de la théorie géométrique des vecteurs. On peut Fexposer, soit géométriquement, soit analytiquement. Nous aurons recours, alternativement, à Tune ou l'autre méthode.

Considérons d'abord les vitesses.

Un exemple classique et élémentaire de composition de vitesses simultanées est le bateau se déplaçant d'un mouvement uniforme et rectiligne dans un canal et sur le pont duquel un mobile se meut également d'un mouvement uniforme et rectiligne par rapport au bateau.

Le mobile M n'a qu'un seul mouvement réel, c'est-à-dire

qu'il n'a à la fois qu'un seul couple de coordonnées par rapport à des axes (O4X1Y1) dans un plan hori- Fig. 3. zontal supposé fixé à la

surface de la terre. Nous voyons de nos yeux, nous concevons par conséquent le

mouvement rectiligne et uniforme de M par rapport à des axes coordonnées (OXY) fixés au bateau et pour calculer le mouvement de M par rapport à (OiX^Y^), on dit qu'il est la résultante du mouvement relatif aux axes (OXY) et du mouvement d'entraînement de ces axes par rapport au système (O4X4Y4) .

V étant la vitesse du bateau par rapport à la rive

O4A = vt

V étant la vitesse relative du mobile par rapport au bateau, on démontre facilement par des considérations géométriques élémentaires que la droite O4A est la trajectoire de M par rapport aux axes fixés à la terre.

Analytiquement, voici comment le problème se résout.

Soient (a, /3) les cosinus directeurs de la droite 00| et V la vitesse du bateau par rapport à la rive; puis (01',!^') les Cosinus directeurs OA (considérée comme une droite qu'on aurait tracée sur le pont du bateau) et v la vitesse du mobile sur OA. Soient Xi et y^ les coordonnés de A, tel que OA = vt On a *

x^ = (OOi ou \t) a -f- (OA ou vt) oJ ^ ^ y^=z (OO4 ou \t) P + (OA ou vt) P'

D'où, en éliminant t

(2) a^^(V/3 + i;3')=2/i{Va + i;«')

L'équation linéaire (2) est celle de la trajectoire, qui est donc une li;?^ne droite.

Mais, les équations (1) nous apprennent que le mou-

vcment que nous calculons est le vecteur résultant de deux vecteurs qui sont précisément, d'une part, le mouvement d'entraînement qui est celui du bateau et, de l'autre, le mouvement relatif du mobile par rapport à ce bateau ; ces deux mouvements étant les vecteurs composants dont la résultante géométrique est le mouvement résultant que nous cherchons.

C'est ce qu'on exprime d'ordinaire en disant que le mouvement absolu s'obtient par la composition des deux mouvements simultanés (d'entraînement et relatif) de la même façon que s'ils s'étaient produits successivement. Cette façon de parier est extrêmement vicieuse, ainsi que nous l'avons répété plusieurs fois mais, l'exemple élémentaire que nous avons choisi pour simplifier l'exposé, montre que cette prétendue composition de mouvements simultanés n'est autre chose qu'une propriété projective des figures, et une manière de calculer les coordonnées, par rapport à certains axes, d'un point matériel mobile lui-même rapporté à un système d'axes qui se déplace par rapport aux axes choisis.

Le procédé revient à écrire que chaque coordonnée du point M rapportée au système (O^X^Yj) est égale à la coordonnée du point augmentée (algébriquement) de la coordonnée de M par rapport à 0. Les coordonnées partielles ne sont pas plus successives que simultanées et les formules employées sont simplement les formules de changement d'axes coordonnés employés en géométrie analytique.

Lorsque l'on passe à un mouvement quelconque dans l'espace à 3 dimensions, on procède exactement de même. Seulement, les cosinus directeurs des axes mobiles sont des fonctions de t plus ou moins compliquées. On différencie alors les équations qui donnent les variations infiniment petites dXi di/i dz^^ en fonction de dx dy dz ; et comme ces

LEf MOUVEMENT RELATIF 77

équations sont linéaires on a les composantes de la vitesse absolue en fonction des composantes de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement, en divisant les deux membres de chaque équation par dt. Et la vitesse du mouvement dit absolu se trouve encore être la somme géométrique des vitesses des mouvements composants, parce que les projections de ces dernières forment une somme algébrique égale à celles de la vitesse du mouvement dit absolu.

Toutes ces considérations découlent au fond d'un simple théorème qu'on peut énoncer ainsi :

« Lorsque le mouvement d'un point matériel est rapporté à des axes quelconques, les vitessesdu mouvement projeté sur chaque axe sont respectivement les projections sur les axes de la vitesse du mobile sur sa trajectoire définie par les axes choisis; réciproquement la vitesse du mobile sur sa trajectoire rapportée aux axes est la résultante géométrique des vitesses des mouvements sur les trois axes. »

La forme linéaire des équations différentielles tient exactement à la forme linéaire des équations de changement de coordonnées ; et c'est en cela que consiste tout le mystère de la théorie des vitesses des mouvements simultanés et de la vitesse relative. Supposons, maintenant, que le système d'axes (0,X,Y,Z) soit lui-même mobile: ce sera par exemple, un système fixé à la surface de la terre. La terre tournant autour de la ligne des pôles, on supposera, par exemple, un système d'axes formé par l'axe polaire et deux autres axes allant du centre de la terre à deux étoiles fixes. Le mouvement par rapport aux axes (O^X^ Y4 Z^) sera considéré comme relatif et le système par rapport aux nouveaux axes (OgXgYjZg) comme absolu. Mais, la terre tourne et a encore un mouvement de translation autour du soleil. On prendra le centre du soleil comme origine de nouveaux axes, dont l'un sera parallèle à l'axe de la terre les deux autres passant

par les mêmes étoiles fixes que précédemment. A cause de leur éloignement ces axes seront considérés comme parallèles aux précédents et on prendra comme mouvement relatif celui par rapport aux axes passant par le centre de la terre lesquels participeront au mouvement orbitaire qui sera le mouvement d'entraînement.

Quel que soit le nombre de systèmes d'axes en cascade, si on peut ainsi dire, on aura toujours pour le mouvement du point M par rapport aux axes solaires des équations de la forme.

^o"'S ^n) fAn et Vq étant des fonctions de ^seulement.

En d'autres termes, on n'aura encore à différencier que des équations linéaires en x, y, z et, par conséquent, on pourra raisonner comme ci-dessus. Au point de vue géométrique, on aura à composer un nombre quelconque de vecteurs suivant la règle bien connue du polygone et les coordonnées de l'extrémité du résultant sur chaque axe seront les sommes algébriques des coordonnées de l'extrémité de chacun des vecteurs composants. En différenciant, on obtiendra pour les composantes de la vitesse suivant les derniers axes les sommes algébriques des vitesses composantesprojetéessurles axes respectifs et, par suite, la vitesse finale sera la résultante des vitesses suivant les systèmes d'axes successifs auxquels on aura rapporté les mouvements.

La généralité du théorème des projections nous apprend qu'on peut intervertir les mouvements composants dans un ordre quelconque.

Mais, je tiens à le répéter, il ne saurait être question de vitesses sii^ultanées : cette expression est absolument vi-

cieuse et il faudrait la supprimer de tous les traités. Il n'y a jamais qu'une vitesse : celle relative aux axes que Ton désigne. C'est en raison de la faiblesse de notre esprit que nous décomposons un mouvement en plusieurs qui se succéderaient dans un ordre quelconque et le calcul nous montre qu'à la suite de cette opération géométrique on trouve précisément le point à l'endroit où il est arrivé, au bout du temps t, dans le mouvement rapporté aux axes en question.

Les mouvements dits composants sont des étapes de notre entendement; des points de repère nous permettant de diviser le problème en plusieurs problèmes que nous pouvons résoudre séparément et successiveinent. Mais l'existence de mouvements simultanés est une simple façon de parler.

En résumé. Il n'existe pas de vitesses simullaîiées ; un point matériel n'a jamais qu'une seulevitesse à la fois; elle dépend des axes auxquels on rapporte le mouvement. Et si ce mouvement est trop difficile à saisir d'ensemble, nous le rapportons d'abord à des axes par rapport auxquels il est plus facile à saisir et ensuite, le mouvement de ces axes aux premiers. Cette décomposition artificielle du mouvement peut se faire d'un nombre infini de façons et quel que soit le mode de décomposition il donnera toujours le même résultat parce que les équations de transformation sont toutes linéaires.

(2) Théorie des vitesses acquises. — Passons, maintenant au cas du mouvement relatif.

Ici, la question se complique. L'accélération du mouvement (rapporté aux axes dits fixes ou absolus O^X^YiZ^) n'est plus la résultante de l'accélération du mouvement d'entraînement et de celle du mouvement relatif ; il faut y ajouter géométriquement un 3® vecteur qu'on appelle accé-r

lération complémentaire : c'est le théorème de Coriolis. On a:

-T~ = AS + A'r + AV

et une équation analogue par rapport aux axes O4Y4, O4Z4 ; les A sont des fonctions linéaires en (x,y,z) — {x\yj%) —

{x'.y'yV).

Supposons, le point M se déplaçant par rapport à un

système invariable S lié aux axes (OXYZ) qui forment ce qu'on appelle le système de comparaison. M^ étant la

M '— — ~~^M position initiale du mobile,

Fi g. 4. traçons la trajectoire T par

rapport au système de comparaison. Au bout d'un temps dt le système est venu en S'. T' est la position de la trajectoire au bout de cet intervalle de temps et le mobile a pris la position M' sur cette trajectoire. On sait que le mouvement du système S peut être considéré comme le résultant de deux mouvements : l'un une translation M^M' par rapport aux axes (OiX^Y^Z^) l'autre une rotation instantanée autour d'un axe M'I passant par le point M' (1). Ce mouvement a amené le système de la position S^ qu'aurait eu le système S par suite de la translation seule, en coïncidence avec la position finale S' et la trajectoire relative T^ de M'M^ en M'M\ M'M" est infiniment ^ petit de l'ordre de dt, et M'^M' un arc de cercle décrit autour d'un point a de Ml avec une vitesse angulaire a> fmie^ le rayon a M'4 étant infiniment petit de l'ordre de dt. Cet axe de cercle est donc de l'ordre de dtK

(1) La théorie géométrique des déplacements infiniment petits aussi bien que finis des solides est démontrée avant la cinématique.

Le mouvement relatif M'M* est donc le résultant de deux mouvements Tun MM', de Tordre dt et Tautre M'M' de Tordre dP^ c^est-à-dire infiniment, petit par rapport à lui. L'angle M'|M'M* est donc aussi de Fordre dfi et, par suite, négligeable et Ton peut écrire

MTVf^' = M'M' = Vr dt

V, étant la vitesse relative.

Mais on remarquera que l'accélération du mouvement

2M'M' M'M' est égale à — — — et, par conséquent, finie : c'est l'ac-

célération complémentaire.

L'accélération du mouvement dit absolu sera donc la résultante de trois accélérations.

1° L'accélération dans le mouvement d'entraînement ;

2^ Celle dans le mouvement relatif;

3<* Celle dans le mouvement complémentaire.

Tandis que la vitesse dans le 3* mouvement est nulle et que, par conséquent, la vitesse dans le mouvement dit absolu est la résultante de deux vitesses seulement, d'entraînement et relative, la vitesse du mouvement complémentaire étant nulle. La démonstration géométrique qui précède est généralement donnée d'une façon un peu différente et laisse quelquefois à désirer, c'est pourquoi j'ai tenu à la présenter sous cette forme que je crois plus correcte. Elle conduit, d'ailleurs, au même résultat que la démonstration analytique.

Calquée sur la vieille démonstration classique, où Ton ne voit pas bien pourquoi le mouvement complémentaire est introduit, la démonstration précédente met mieux en évidence les raisons pour lesquelles il y a trois composantes de l'accélération et deux seulement de la vitesse dans le

mouvement dit absolu. Elle évite, de plus, de parler de mouvements successifs (qui constituent un artifice absolument inutile) en s'appuyant sur la connaissance qu'on a du mouvement infiniment petit d'un système par rapport aux axes (O1X4Y4Z4).

Enfin, c'est le mouvement M'M", et non M'M/, qui est le véritable mouvement relatif aux axes (OXYX).

L'erreur que Ton commet en appelant M'M' le mouvenient relatif est négligeable, comme on Ta vu ; il n'en est pas moins vrai qu'elle est facile à éviter complètement en présentant le mouvement relatif vrai M'M' comme le résultant des mouvements M'M'^ et M'^M*.

En résumé, lorsqu'un point se meut relativement à des axes qui se déplacent eux-mêmes, l'accélération à un instant ty rapportée aux axes dits fixes est encore la résultante géométrique des accélérations des mouvements composants dans lesquels on peut décomposer le mouvement infiniment petit du mobile qui résulte du passage de la position initiale à la position finale.

(3) Mouvement le plus général des corps. — Résumé de la théorie précédente. — Supposons un point matériel M formant un système isolé, c'est-à-dire animé d'un mouvement uniforme par rapport à des axes dits fixes de vitesse V ; à un moment donné il entre en connexion avec un autre système S qui modifie les conditions de son mouvement et détermine son accélération à partir de cet instant.

L'accélération à l'instant t-\- dt sera parfaitement définie de telle sorte que l'on ait pour

d^x (Py (Pz "dp ' câ2 ' c^

des fonctions sous forme finie.

Soient (O4X4Y4Z4) les axes dits fixes passant par la positionModu mobile au moment t^=o. Imaginons que des axes mobiles (OXYZ) confondus avec (OiXjY^Zi) à l'instant t soient invariablement liés au système S et subissent un mouvement d'entraînement de vitesse V suivant la direction de cette vitesse. Si nous rapportons le mouvement de M aux axes dits fixes, nous aurons à composer à chaque instant la vitesse v avec la résultante des composantes

dx du dz — > — »

dt dt dt

obtenues par l'intégration des équations qui définissaient

d^x d^y dH

En d'autres termes, le mouvement du point matériel rapporté aux axes fixes sera à chaque instant la résultante du mouvement d'entraînement v et du mouvement relatif par rapport aux axes (OXYZ). C'est ce qu'on exprime dans la mécanique classique, en disant qu'il y a indépendance entre le mouvement acquis et la vitesse due à la force qui produit l'accélération

vu) + \-é) + (dï^)

On vient de voir que nous arrivons au même résultat sans faire intervenir ni la notion métaphysique de force ni le postulat de l'indépendance de la vitesse antérieure et des forces modifiant le mouvement, de sorte que le prétendu postulat n'existe pas.

En rattachant notre démonstration à la théorie du mou-

vemenl relatif, nous avons ainsi établi un théorème qui en est un corollaire.

Nous avons admis, d'abord que la vitesse acquise était constante; mais, il n'y a rien à changer à la démonstration si la vitesse est variable, c'est-à-dire si le mobile avait une accélération dans le mouvement antérieur.

Le mouvement d'entraînement pendant le temps dt sera celui de la vitesse acquise à l'instant t. Cette vitesse ne peut plus être influencée par les événements postérieurs, puisque le mouvement qui lui a donné naissance a cessé et a été remplacé par un autre et c'est pourquoi tout se passe exactement comme si cette vitesse avait été constante dès l'origine.

On peut prendre pour exemple le mouvement d'un pendule dont le fil casse au point M. Il faudra comparer la vitesse acquise V au point M avec le mouvement dû à la pesanteur; c'est le cas du tir des projectiles où la vitesse au sortir de l'âme de la pièce serait V. Cette vitesse n'est fonction que de la chute subie par le point M dans son mouvement circulaire depuis l'origine Mo où le pendule s'est mis en mouvement.

Le théorème subsiste, a fortiori^ lorsqu'on considère deux portions successives d'un mouvement continu, c'està-dire tel que l'arc de courbe parcouru par le mobile puisse être considéré Fig. 5. comme une fonction continue et uni-

forme du temps. Prenons, à titre d'exemple, le cas simple de la chute libre suivant la verticale.

Soit e^ l'espace parcouru au bout du temps /j; ^2 le nouvel espace parcouru au bout du temps /g tel que E désignant l'espace total parcouru et T lé temps total de la chute, on ait

(1) E = ei+e,

On a E = l(/TS^5,(t,+g»

Or

«1 =^ ST'l'

et Srti = Vj

Vi désignant la vitesse acquise au bout du temps t|. On pourra donc écrire

«1 + Cj = Cl + ^</<2» 4- Vitj

j ou

I (3) e^=lgti^-\.\i^

V|/2 est le chemin parcouru avec la vitesse constante V^ pendant le temps t^

gi^^ est celui qui serait parcouru, suivant la verticale, ai

par un point matériel partant de la vitesse zéro pendant un

temps t^.

On voit donc que les deux mouvements s'ajoutent absolunient comme si, à partir de l'instant quelconque t^ le corps avait suivi un mouvement quelconque, comme dans l'exemple précédent ; et l'influence de la vitesse antérieure au temps t continue pendant toute la durée de la chute postérieure.

La vitesse du mouvement (3) est

= !7f2+Vi

ce que nous voulions démontrer.

II est facile de montrer que la loi est générale. A cet effet, traçons la courbe représentative des accélérations, c'est-à-dire Vhodographe de Newton. Soit M^ le

Co,

Fig. 6.

Fig. 7.

point correspondant au temps t^ et M2 celui correspondant au temps /g. Projetons ces points sur Taxe des x. On aura

surface (OM^mi) = e^ surface {M^m^ M<^m^) = Cg

Abaissons M^ p perpendiculaire sur Mgma. Le rectangle Mim^pm^ représente l'espace parcouru, la vitesse OM^ = V^, restant constante. M^M^ est l'espace qui serait parcouru par le point partant du repos en Mj et la vitesse correspondante à ce mouvement est M^Ma. Or, on voit sur la figure que OMg vitesse en Mgest la résultante de la vitesse OMj^zrrV^et de la vitesse M^Mg qu'acquérait le mobile en partant de Mi au repos et arrivant en Mg au bout du temps t^. Le théorème est donc démontré d'une manière générale.

Soit un corps C en mouvement et en particulier un point M de ce corps. Si le corps C arrive en connexion avec un autre corps, les vitesses de tous les points G et, en par-

liculier, celui de M chance. Si ce point était en mouvement uniforme il prend une accélération ; s'il était en mouvement varié, son accélération variera suivant une autre loi.

Supposons que le corps C soit adjoint à un système S composé de corps C', C", C" ; ces corps étant mis en relation, tous leurs points éprouvent des modifications dans leurs vitesses et dans leurs accélérations. Dans la mécanique classique, on attribue ces variations à des forces, ce qui n'apprend rien du tout. D'Alembert (1), dans un théorème célèbre, remplace les forces par des liaisons^ qui consistent, physiquement, en contacts de surfaces. Une classe particulière de liaisons est celle où des points restent à des distances invariables; alors, le point dont on examine le mouvement relatif par rapport à un autre décrit une sphère autour de celui-ci comme centre.

Les équations de ces surfaces sont les équations de condition du mouvement.

Nous ne nous étendrons pas ici sur la théorie analytique de ces mouvements, théorie établie par Lagrange avec une telle perfection qu'on n'a encore rien trouvé à y chanjjer et que les beaux théorèmes de Gauss, de Jacobi et d'Hamilton n'ont fait que consolider.

On sait que les équations de condition peuvent être données sous la forme la plus générale d'équations différentielles qui contiennent les équations des surfaces de contact comme cas particuliers.

(1) Si d'Alembert était allé jusqu'au bout de sa pensée il aurait pu, dès la conception des liaisons, supprimer la notion métaphysique de force et donner ainsi une grande portée philosophique à son théorème. La méthode de Lagrange donne, de la façon la plus élégante, les accélérations des points où les liaisons ont lieu. Cette méthode est beaucoup plus générale que la doctrine du fil de M. Andrade et, par sa généralité même, échappe aux critiques que soulève le cas particulier envisagé par cet auteur.

Peu importe, d'ailleurs, pour Tobjet actuel de notre exposé.

Nous savons, maintenant, comment les points matériels acquièrent ou modifient leurs accélérations par rapport à celles d'autres points des systèmes dont ils font partie.

Ces vitesses et ces accélérations, différentes suivant qu'on rapporte le mouvement du point M à tels ou tels axes de comparaison pris dans tel ou tel corps du système, sont appelées d'après une locution vicieuse, que nous avons plusieurs fois critiquée, vitesses et accélérations simultanées.

On peut de même les appeler vitesses et accélérations relatives au système d'axes qu'on prend comme système de comparaison.

Le produit de la masse d'un corps par l'accélération du point de contact avec un autre corps est ce qu'on appelle la réaction du second corps sur le premier; on l'appelle encore la force de liaison.

On pourrait très bien se passer de cette dénomination et s'en tenir aux accélérations.

Le cas le plus simple est celui où deux corps G et C^ se meuvent l'un par rapport à l'autre, par l'intermédiaire du contact de deux surfaces qui établissent la liaison.

(4) Equations différentielles du mouvement relatif. — Pour étudier le mouvement du point M sur le corps C^ nous attacherons à ce corps un système d'axes (OXYZ) par rapport auquel nous donnerons les coordonnées (x^y^z) de M en fonction du temps. Nous prendrons de même des axes (O^X^Y^Zi) invariablement liés au corps C, et nous calculerons les coordonnées {Xi,y^,z^)deM par rapport à ces axes» pourvu qu'on nous donne les fonctions du temps qui définissent le mouvement des axes (OXYZ) par rapport au trièdre (O4X4Y1Z4).

Les formules à appliquer sont sim||^Iement celles de changements d'axes de coordonnées que Ton emploie en géométrie analytique savoir :

Vi = vo + A^ + p2y + j33^ (i)

h = ^o + yiX + y^y + 73^

! les 9 cosinus (a^y) des angles que font entre eux les axes de deux systèmes, étant liés par les six relations que Ton con- ^' natt : ces cosinus sont fonctions du temps.

En différenciant leséquations (1) par rapport à ( on a

^vy'v^i étant les composantes de la vitesse de M suivant les axes en 04(1),

On déduit également de ces formules et des équations de condition entre les(a,|S,y), les composantes de la vitesse relative aux axes en O, suivant des formules connues.

On pourrait de même, déduire des équations (1) les {x,y^%) en fonction de(a?|,î/|,^i).

C'est-à-dire qu'on peut choisir au hasard l'un ou l'autre corps comme mobile par rapport à l'autre. Les équations (2) montrent que la vitesse du point M par rapport aux axes 0| est la résultante de deux vitesses, l'une, la vitesse d'entraîne«ment du système d'axes (OXYZ), l'autre la vitesse relative à ce trièdre ou au corps C qui lui est invariablement lié.

Ce sont encore deux vitesses composantes que la mécanique classique traite inutilement de simultanées. L'une

(i) On a adopté les notations de Lagranio^e.

est celle qu'aurait le point M à l'instant t si on le considérait comme invariablement lié aux axes mobiles, l'autre, la vitesse du point M par rapport à ces derniers axes projetée sur les axes (O4X4Y1Z4).

En différenciant à nouveau les équations (2) on a

etc.

et l'on voit que l'accélération par rapport aux axes O^ (ce qu'on appelle l'accélération absolue) est la composante de 3 accélérations : 1° celle d'entraînement ; 2® celle relative ; 3® celle complémentaire, ainsi que nous l'avons vu géométriquement.

On obtiendrait facilement les composantes de l'accélération complémentaire suivant les axes (OXYZ).

Remarque. — Si l'on veut obtenir la vitesse d'un point déterminé du corps suivant les axes mobiles, il faut faire x' = y' = z' = dans les équations (2) et écrire

V =a^x\-\-l^^y\-{-y^z\ etc.

puis, par une transformation facile, on a

Vj, = a + qz'-ry Vy = h -\-rx — pz Vz = c +py—qx

où Vx^yVz sont les composantes de la vitesse suivant les axes mobiles; a,&,c les composantes de la vitesse absolue de projetée sur les axes mobiles ; p,^,r les projections delà rotation instantanée. On voit ainsi que le mouvement général d'un corps solide par rapport à des axes déterminés (O1X4Y4Z1)

est une translation composée avec une rotation, où la grandeur et la direction de l'axe instantané de rotation sont indépendants du trièdre de référence invariablement lié au corps solide. Nous nous sommes servi de ce théorème dans la théorie géométrique du mouvement relatif.

La théorie analytique qui précède figure dans tous les traités. Nous ne l'avons reproduite que pour mieux mettre en évidence ce fait que toute la théorie du mouvement relatif est contenue implicitement dans les formules élémentaires de transformation dqs coordonnées et ne dépend par conséquent, que des propriétés projectives des vecteurs.

Si Ton avait un 3® corps C^en connexion avec C et C^on prendrait des axes (OgXgYgZg) invariablement liés à ce corps et on y rapporterait le mouvement du point M par rapport aux nouveaux axes en écrivant

ou (^4o2/io%) ^^^^ ^^^ coordonnées de O^, (y^yt^^iy^i) les cosinus des angles des axes des systèmes Oi et 0-2 et où (^i,J/i,^i) sont déterminés par les équations (1). Les développements des calculs seraient plus longs, mais ne présenteraient aucune difficulté. Il en serait de même d'un nombre quelconque de corps (*).

(l)En différenciant les équations (4) et en développant, puis, faisant les réductions on obtient des équations telles que

.rfOO,cos (00, X,)-, dxcosiXyX^) dycos ( Y, Y,) rf^cos(Z,Zj.

L di J+[ 7, + 7, + 7i~\

qui indique que la vitesse par rapport aux axes O^ est la résultante de trois vecteurs, au lieu de deux, comme dans le cas précédent ; mais ayant la même signification.

Reprenons les équations (2) ; on peut les écrire

X i-at= oi j^

y^-y^^ — jt

^i-^,-^ di

OÙ Ton voit que si Ton construit le triangle ahcoit ab est la vitesse du point O par rapport à (O^XjY^Zi) et bc celle du point M par rapport à (OXYZ), la vitesse de x par rapport aux axes O^ (dont xîyî%^ sont les composantes) sera la droite })C\ car

a^ac-f- ogî/ + agZ = OM cos (OM1X4) ^K^ + hV + h^ = OM cos (OM4Y4) 71^+^2?/ +>'3^ = OMcos(OM4Z4)

Cest-à-dire que les premiers membres de ces équations représentent les projections de OM suivant les axes O^ (%. 8 et 9).

Supposons, maintenant, que le mouvement d'entraînement soit rectiligne et uniforme ; il faudra, dans les équations (2) et (3) faire a\ = a\ = a'3 = et a!\ = a\ = a^= ; de même pour les j3 et les y on aura alors

y\ = y\ + [fii^' + hV + h^') (2')

^'1 = z\ + hi^' + y^y' +73^')

et

x\ = a^x + «2/ + ajZ" (3')

et d'autres équations analogues.

Supposons que le corps C ait un mouvement de transla-

tion rectiligne et uniforme ; la liaison avec le corps C| consistant, par exemple, en un glissement. Si, ensuite, le corps

Fig. 9.

G vient être mis en connexion avec un corps Cj par une liaison de contact, de telle sorte que le point de contact M se déplace sur le corps G, on aura réalisé l'ensemble des circonstances qui traduisent les équations (2') et (3').

La vitesse de M sera la résultante de la vitesse d'entraînement (qui est la vitesse acquise avant la liaison du corps Gj) et de la vitesse relative dont les composantes suivant les axes de C4 sont les parties entre parenthèse dans les équations (2') et l'accélération, donnée par (3') est complètement indépendante de la vitesse antérieure.

Il en sera de même quel que soit le nombre des corps en connexion, car on pourra toujours composer les mouvements de telle sorte qu'il n'y ait que deux systèmes d'axes, l'un auquel on rapporte le mouvement relatif et à l'autre le mouvement dit absolu.

G'est ainsi que l'analyse donne une grande précision aux résultats précédemment énoncés et ramène à leur juste valeur les prétendus principes des effets des vitesses et des forces simultanées et des mouvements antérieurement acquis.