IMPOSSIBILITÉ DU XOMBIIE INFINI

rait donc supposer cette dernière suite actuellement prolongée à rinlini. » C'est cette dernière supposition qui est contradictoire. Cauchy le démontrait en faisant remarquer qu'à mesure qu'on avance dans la suite naturelle des nombres, les termes carrés vont s'espaçant de plus en plus : « D'où l'on doit conclure que si la suite des nombres entiers pouvait être supposée actuellement prolongée à l'infini, les termes carrés v seraient en très grande minorité. Or, cette dernière condition, qui devrait être satisfaite dans l'hypothèse dont il s'agit, est pourtant incompatible avec cette même hypothèse, car dans la suite des nombres entiers actuellement prolongée à l'inLini, se trouverait, avec chaque terme non carré, le carré de ce terme, puis le carré du carré, etc.. » (1).

Cet^.e proposition fondamentale peut être démontrée mathématiquemQut en mille manières; Cauchy en fait lui-même l'observation. C'est peut-être parce qu'il se déliait de la force des facultés logiques de ses auditeurs (jue, de tant de manières, il en a choisi une qui laisse une part importante à l'induction (en constatant la diminution croissante du nombre des termes carrés, comparativement à celui des termes non carrés, à mesure qu'on avance dans la série). Il pouvait aisément donner à la démonstration une

(1) Seiit leçons de physiqite gêné rai e,\rdv Augustin Cauchy, avec notice historique et appendices sur rinipossihilitô du nombre actuellemont infini, etc., par M. l'ahbù Moigno, 1SG8.

IMPOSSIIULITK J)I' NOMHHK INFINI,

forme apodictiquement certaine en raisonnant comme il suit :

Je dis que si toute la suite des nombres entiers était actuellement donnée il y aurait deux nombres égaux dont l'un serait plus grand (i[ue l'autre, ce qui est une contradiction formelle, in terminis^immqu on. appelle égales les quantités dont l'une n'est ni plus grande ni plus petite que l'autre. C'est le sens des mots.

Supposons cette suite donnée, nous pourrons former une autre suite toute et exclusivement composée des carrés de la première, car on peut toujours faire le carré d'un nombre. Ainsi, par hypothèse, la seconde suite aura un nombre de termes égal au nombre des termes de la première. Or la première contient tous les nombres, tant carrés que non carrés: la seconde ne contient que des carrés; la première a donc un nombre de termes plus grand que la seconde, puisque contenant tous les nombres elle contient tous les carrés, et qu'elle contient en outre les nombres non carrés. Mais, par hypotlièse ou construction, ces nombres de termes sont égaux; donc il y a des nombres égaux dont l'un est plus grand que l'autre. Mais cette conséiiuence est absurde; donc il est absurde de supposer la série naturelle des nombres actuellement donnée. C. (}. F. D.

J'ai l'ecueilli un certain nombre de manières de démontrer ce théorème; j'en ai essayé moi-même quelques autres. Celle-ci me paraît la plus sim[)le et absolument irréfragable.

LES INTÉGRATIONS.

Les intt'jîrations en matliénuilique et on physique.

Puisque le nombre actuellement infini est impossible, il est clair que la somme de tous les termes d'une série de nombres dont la loi implique le prolongement itidépni est, au moins dans l'expression, une impossibilité logique. Appelons intéfjralion, pour abréger, l'opération (réelle ou simplement idéale) par laquelle on forme la somme d'une suite de termes reliés par une loi. Nous dirons alors que rintégration d'une série indéfinie telle (j[ue

est aussi impossible que celle d'une progression ascendante telle que 1 + 2 + 4+8..., de même et pour la même raison que l'intégration de la suite naturelle des nombres, 1 + 2 + 3 + 4..., est impossible, à savoir, parce que de telles suites ne peuvent être considérées avec tous leurs termes sans supposer l'existence du nombre infini actuel, qui est démontrée impossible.

Cependant les mathématiciens parlent couramment de la somme de tous les termes de la série

comme égale au nombre deux^ et en général de la somme de tous les termes d'une progression géométrique indéilniment décroissante, et de bien d'au-

LES INTEGRATIONS,

très séries à l'iniini, dites convergentes. Ce langage est incorrect. En quel sens faut-il l'entendre ?

Quand on a démontré que la recherche du rapport numérique de certaines droites dans une ligure donnée (par exemple du rapport du côté d'un carré à sa diagonale) ne peut conduire à aucune fraction numérique déterminée, ou ne laisse pas de parler de ce rapport comme s'il existait, puisque l'on dit d^me suite de fractions calculées qu'elles en approchent

autant que l'on veut.

Quand on a démontré que la racine carrée de tel nombre donné ne peut être ni un nombre entier ni une fraction, il semblerait en bonne logique que cette racine doit être dite n'exister pas numériquement, n'être pas un nombre, et le nombre donné n'être pas un carré; mais on passe outre, et l'on admet l'existence de nombres incommensurables, expression dont le sens littéral est : nombres qui ne sont pas nombres, et rapports qui n'ont pas de termes possibles. Cette contradiction, — (lui toutefois n'a même pas l'air d'un paradoxe, tant l'inlinitisme nous en a donné l'habitude, — procède de la môme illusion que les précédentes : si Ton pouvait terminer une certaine opération qu'on ne peut pas terminer, le nombre qui n'existe pas existerait. Cette opération, par cela même qu'elle est interminable, peut se continuer indéfiniment, et, selon le moment où elle s'arrête, elle fournit des nombres qui sont les racines carrées de certains autres qui diiterent de moins en

LES IXTEliU.VrrOXS.

LKS IXTÉfiRATIOXS.

moins du proposé; mais au proposé lui-même, à sa racine, on ne saurait atteindre de cette manière, puisqu'il n'est })oint un carré.

Quand on a démontré (^ue deux rectangles qui ont un côté commun sont entre eux comme leurs côtés dilterents, ceux-ci étant supposés commensurables, on prétend <pril en soit de même lorsqu'ils ne le sont pas ; mais cet énoncé est contradictoire en soi, puisque ces côtés dilTérent^ ne peuvent alors se traduire simultanément en nombres, à savoir au moyen d'une même unité linéaire. La vérité, c'est que Tun de ces côté a peut être remplacé à volonté par des droites, a% cr. tC'\ etc., formant une suite indéfinie, toutes commensurables avec l'autre côté '>, et aussi peu différentes que l'on veut de a dont ils approchent indéfiniment, en sorte que la propriété en question, de la(|nelle dépend toute la théorie des mesures en géométrie, s'applique réellement à deux rectangles dont l'un est le premier rectangle donné, et dont Tautre est un rectangle aussi peu différent que l'on veut du second rectangle donné. L'opération indéfinie cause l'illusion d'une marche qui, d'approximation en approximation, conduirait à la détermination d'un rapport qui en réalité n'existe pas, tandis que l'objet dont on approche réellement et indéfiniment, c'est l'un des rectangles donnés avec lequel l'autre n'est pas commensurable et que l'on remplace par d'autres qui le sont et qui différent du premier aussi peu que l'on veut.

Enûn quand on a démontré qu'un cercle et sa circonférence sont toujours compris entre les aires et les périmètres de deux polygones rectilignes réguliers dont on considère le nombre des côtés comme indéfiniment croissant, et dont on peut rendre les mesures respectives aussi peu différentes que l'on vent l'une de l'autre, on en conclut que cette figure courbe a les mêmes mesures, superficielle et linéaire, que les polygones, en remplaçant le périmctre recUlignex^^v la longueur de la ligne courhe et l'apothème par le rayon. Mais, de quelque façon qu'on s'y prenne pour justiiier cette identité, en puissant, comme on dit, à la limite, on n'évite pas le sophisme de confondre la longueur courbe et la longueur rectiligne, en tant que rapportées à une même unité linéaire empruntée à ce dern ier type. La seconde de ces longueurs est telle, qu'entre deux points quelconques de la ligne sur laquelle on la mesure, il n'en est aucun qui ne soit sur la même droite ou direction qu'eux ; la première de ces longueurs est telle, au contraire, que, entre deux quelconques de ses points, quelque rapprochés qu'ils puissent être, on peut toujours en assigner d'autres, et en tel nombre que Von veut qui ne sont point sur la même droite qu'eux (1). Il est donc parfaitement clair qu'il n'y a pas de mesure commune entre la droite et la courbe. Le prétendu passage à la limite est un

(1) Cetle formule est la vraie délmition d'une ligne courbe.

LES INTÉGRATIONS.

changement sophistique de délinition et d'essence; eu d'autres termes, la lujtUc n'existe pas, puis(iue l'opération par la(iuelle on considère des polygones dont le nombre des côtés croit indéliniment est une opération Ulnnltée, Le calcul du nomhre r. -o,14ir)0-2G5... exprime bien par sa série interminable cette vérité, que le rapport de la circonférence au diamètre n'est pas réellement un notahre, n'est pas réellement un rapport. La limite qui déterminerait ce rapport serait la limite d'un calcul prolongé sans limite ! Voilà ce que dit la logi(iue ; on le reconnaît quand on déclare impossible la quadrature du cercle ; on le nie implicitement quand on veut pouvoir regarder le nonthre r. comme un nombre. L'aflirmation de l'infini actuel est donc le fond des méthodes mêmes dont l'emploi a pour but, à ce qu'on prétend, d' « éviter la considération de l'infini ».

On comprend bien que je n'atta(iue ni les propositions de géométrie ni le calcul. Je ne suis pas si ignorant. J'attaque le langage inlinitiste de la science de la quantité, et, véritablement, il a tant d'importance, ce langage, les formules reçues de l'enseignement dénotent Fexistence d'une habitude d'esprit vicieuse et d'un préjugé inlinitiste si profond, que, le jour où l'on reconnaîtrait la nécessité logique de changer ces fornuiles, on se trouverait à l'entrée d'une réforme étendue de proche en proche à toutes les parties de la philosophie.

Il est aisé de voir en quoi consiste et combien

LES INTEGRATIONS.

facile serait le changement des énoncés et des formules. Le moyen de comprendre logiquement, en la rapportant au type rectiligne, la mesure d'une ligne courbe, — la ligne courbe étant déiinie dans les termes ci-dessus, — c'est de substituer à cette dernière un polygone aux éléments ivctilignes de nombre indéfiniment croissant et de grandeur indéliniment décroissante. Ce polygone seul sera dit mesurable, seul arilhméllquemcnt défini; comme tel, il différera toujours de la courbe, donnée géométrique.^ mais de moins en moins et aussi peu (^ue l'on voudra pour llntuition et pour tout usage pratique. Un problème impossible est ainsi remplacé par un problème d'approximation indéfinie, qui est résoluble. Ce n'est pas la valeur d'une mesure ina^signable, qui doit être dite approchée, comme on la dit à tort, puisqu'on ne saurait approcher que de ce qu'on suppose exister, mais c'est la ligure mesurable et mesurée (jui est approchée : approchée de celle qui n'est pas proprement mesurable.

La même réfoi'nie de conception et de langage s'applique, sans qu'il soit besoin de plus d'explications, aux autres cas de valeurs incommensurables et de séries indéflnies de termes, mentionnés ci-dessus. Par exemple, la quantité représentée parla formule indéfinie

ne doit pas être regardée comme identique à l'unité, puisque Tunité ne serait atteinte qu'au terme d'une

LES INTEGRATIONS.

sommation sans terme, ce qui est contradictoire; mais bien comme l'expression symbolique de nombres indéterminés que Ion peut déterminer à volonté de manière à ce qu'ils dilt'érent aussi peu ([ue l'on veut do l'unité. Le signe de l'égalité dans

1 zz — ^ - -j h etc.,

doit s'entendre dans ce sens et devenir tout symbolique.

La mathématique ne serait donc plus du haut en bas, quand elle veut généraliser les notions de nombre et de mesure, qu'une méthode de solution de problèmes par approximation? Oui, mais une méthode iVa2)proxi)HaUo/i indcfaie est, pour quiconque s'en est bien rendu compte dans la plus haute forme de cette méthode : le calcul diltërentiel et intégral, tout autre chose qu'une méthode (ï approximation ordinaire. Elle donne, à l'aide d'expressions et de formules convenablement expli(j[uées, où les signes dits do rinllni et de l'inliniment petit ne sont que les symboles de Vindêfinilc, des théories parfaitement rigoureuses pour la solution de problèmes que la doctrine iniinitiste, ouvertement, et la méthode dite des limites, insidieusement, voudraient faire dépendre d'un art de nombrer ce qui n'est pas nombrable, et d'atteindre un résultat refusé par la nature de l'opération destinée à le poursuivre (1).

(1) Voir la Critique philo.^^opJtique , proniiéro série, VI^ année, t. I, pp. loO et suivantes, 135 et suivantes.

iit< iiir ii'i »

-méÊt

LES INTEGRATIONS.

Nous avons, dans ce qui a été dit (dans la première des notes ci-dessus) au sujet des masses continues et de l'état où leur supposition nous forcerait à nous représenter la matière, un moyen de comparer deux manières de traiter l'inlini et de comprendre l'intégration des éléments de grandeur. La première et la plus commune manière est toute tirée des sens et de rimagination ; elle consiste à imaginer des points matériels contigus, en contact rigoureux les uns avec les autres, assez grands pour ne pas s'identifier avec leurs proches voisins, et dès lors tous entre eux de proche en proche, et assez petits pour que chacun d'eux puisse être considéré comme ne pouvant se diviser en d'autres points. Cette vue qui, à l'examen, se trouve contradictoire, est le vrai fond de l'interprétation habituelle du calcul intégral en mécanique rationnelle et dans la physique mathématique, aussi bien que de rinllnitisme le plus vulgaire. L'autre manière est la seule vraiment scientili({ue. Elle s'attache aux termes abstraits de la question et à l'idée de rindélini, idée toute rationnelle et claire. Elle définit la masse continue un système de points dits matériels (ou molécules inétendues, sièges de forces, notions (jui sont au fond équivalentes) tels que, entre deux d'entre eux, quelque rapprochés qu'on les suppose, il peut toujours en être assigné d'autres. Voilà l'idée du continu ; aussi est-ce celle des essences géométri({ues, et do leur divisibilité non pas infinie, ou actuelle, mais indéfinie ou potentielle, et enfin du

LES INTÉGRATIONS.

calcul inlinitésimal interprété rationnelleiiieiit. Par quel procédé, par quels raisonnements, ce calcul arrive-t-il à des résultats rigoureux en employant des signes, des symboles qui semblent être ceux de la doctrine infinitiste, c'est à-dire de la division infinie actuelle, on devrait le savoir depuis Leibniz, si Ton avait saisi la rigueur logique de la brève justilication que ce philosophe, le plus concis de tous les penseurs, a donnée de son merveilleux algorithme. Mais ce n'est pas le lieu de revenir sur ce point (1).

Il se présente ici une ditUculté curieuse, facile à lever, d'après nos principes. Tout purement indéfinitiste que soit le véritable esprit du calcul inlinitésimal, et qu'il doive Petre aux yeux de quiconque se rend à la démonstration mathématique de l'impossibilité du nombre in Qui, il ne laisse pas d'être logiquement inapplicable aux intégrations concrètes: ou bien il faudrait, comme certains le veulent, — et malheureusement Leibniz a été le premier de ceux-là, — que les êtres naturels, les corps, pussent se former de multitudes de monades, données réellement et distinctement les unes des autres, et ne constituant pourtant pas toutes ensemble des touts numériquement déterminés. Pour moi, je ne sais rien de plus clair et convaincant (|ue le raisonnement en quatre lignes, rapporté ci-dessus d'après Cauchy, à l'ellét de démontrer que l'existence actuelle du

(1) Voir Fusais de Critique gcnèralc, Premier Essai, I. L p. 'laVViO.

LKS lN'rE(îUATIONS.

nombre inlini concret impliquerait celle du nombre infini abstrait, laquelle est impossible. Mais alors il est manifeste que le calcul intégral, supposant une différentiation préalable telle qu'entre deux divisions, quelque rapprochées qu'elles soient, on en puisse toujours supposer d'intermédiaires, ne devrait pas *s'aj)pliquer à la sommation des quantités formées d'éléments entre lesquels il existe des vides et dont les sommes sont toujours des nombres. 11 dépasse le but. Nous lèverons cette difliculté en remarquant (ju'il l'atteint de la meilleure uumière possible en paraissant le dépasser. Les nombres d'éléments à envisager dans les cas dont il s'agit (composition atomique ou moléculaire, recherche des centres de gravité, etc.) sont des nombres si grands que la fiction de la continuité est pratiquement, aussi bien que pour la facilité de l'analyse, la mieux adaptée à ce genre de problèmes. Il se passe là quelque chose d'analogue, mais en sens inverse, à ce qui a lieu daus les questions relatives au calcul des incommensurables, aux sommations des séries indélinies de termes et aux rectilications et quadratures de courbes. En effet, dans ces dernières on feint Vexlstence de limites, quoique toutes limites soient réellement exclues par l'indéfinité que pose l'hypolhèse ; dans celles qui concernent rintégration, suivant la méthode infinitésimale, non de dillerentielles, mais de dilierences en réalité Unies, on feint qu'il n'existe pas de limites^ quoi(|ue l'objet que l'on considère en ait