Russell, op. cit

subordonnée à celle de proposition, et même à celle de fonction. On appelle fonction^ en Logique comme en Mathématique, toute expression contenant une ou plusieurs variables ^ Mais la notion logique de fonction est beaucoup plus étendue que la notion mathématique, car elle comprend même les relations affirmées ou propositions (ce que Ton appelle en Mathématique les équations). Par exemple, en Mathématique, <^ sin x » est une fonction, « sinx=i » est une équation; mais, en Logique, ces deux expressions sont des fonctions.

Maintenant, qu'est-ce qu'une variable? La réponse à cette question est très difHcilc : on peut dire, en gros, qu'une variable est un terme indéterminé auquel on peut substituer un terme déterminé quelconque, qu'on appelle une valeur constante de la variable. On appelle fonction propositionuelle une fondion logique qui, pour toute valeur attribuée à la variable (ou aux variables), devient une proposition. Une fonction propositionnelle n'est pas par elle-même une proposition, car elle n'est ni vraie ni fausse, elle est indéterminée. Elle ne devient une proposition vraie ou fausse que lorsqu'on en détermine le sens en substituant à la variable une valeur particulière.

Cela posé, soit ^ cpo? une fonction propositionnelle d'une variable x. Cette fonction a un sens (est une proposition) pour chaque valeur attribuée à a?; elle est donc (en général) vraie pour certaines de ces valeurs, et fausse pour les autres. Elle détermine ainsi une classe, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de X pour lesquelles elle est vraie. Cette classe sera désignée par le symbole : oyscpa?, qui peut se lire : « l'ensemble des x qui vérifient cpa? ». Le signe 3 est donc un symbole opératoire qui fait correspondre une classe à une proposition^. Il donne lieu à un axiome qui se formule comme suit :

(DX = ^X .0: X 3 OX , = . X'B^^fX

1. V. Frege, Function und Begriff {Jen&, Pohle, 1891), et Was ist eine P<"^klion1 ap. Boltzmann'Festschrift (Leipzig, Barlh, 1904).

Nous désignerons les fonctions par des lettres grecques, pour ne pas

le confondre avec les propositions et avec les classes (voir p. 18, note 1).

Ce symbole se traduit dans le langage par qui, tel que, etc. : « les j:

qt vériûent 90;; lès x tels que qpa; est vraie, etc. » On voit qu'il est

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 2

ce qui signifie : « Si les deux fonctions propositionnelles (px et ^x sont équivalentes, les classes correspondantes sont égales (identiques) ». En termes mathématiques, cela veut dire que la correspondance des classes aux fonctions propositionnelles est uniforme.

Le symbole inverse e fait inversement correspondre une proposition à une classe. Il signifie qu'un terme particulier (un individu logique) appartient à une classe; soit a une classe S la formule : k ta signifie que l'individu k appartient à la classe a ou, comme on dit, « est un a » ^

Combinons maintenant les deux symboles inverses e et 3, et écrivons, par exemple :

A: € (a? 3 cpar)

Cette proposition signifie que k appartient k Tensemble des valeurs qui vérifient la fonction (par, et par suite vérifie <par; autrement dit, que <&k est vraie. On peut donc écrire Téquivalence :

kt(X3(fX)=: ^k

Inversement, il est aisé de voir que l'expression :

représentant l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la proposition « a? e a », représente la classe a elle-même; on peut donc

écrire ;

X3 {xta)=za

et dire, grosso modo, que les deux symboles a? e et a? s se détruisent mutuellement ^

indispensable pour traduire en formules les propositions « relatives •, qui échappaient entièrement à la Logique classique.

1. Nous désignerons les classes par les premières lettres de l'alphabet : a, 6, c,... les individus déterminés parles lettres A:, /, m, n,... et les individus indéterminés (variables) par a?, y, z.

2. De là vient le choix de la lettre e, initiale du mot èatî.

3. L'ordre logique attribué par M. Russell à ces symboles est Tinverse de celui que leur assigne M. Peano. Celui-ci commence par poser comme indéfinissable la relation xta^ puis il définit la relation inverse 3 en

posant :

Mais cela suppose qu'à toute fonction propositionnelle de x correspond

La correspondance ainsi établie entre les fonctions propo-

sitionnelles et les classes permet de définir entre les classes des

relations analogues à celles qui existent entre les propositions.

Ce sont d*abord la relation d'inclusion^ qui correspond à Vim^

plication :

aob,=z:xta,o,xtb

«Dire que la classe a est contenue dans la classe 6, c*est, par

définition, dire que « a? est un a » implique « x est un 6 ». »

Et la relation d'égalité, qui correspond à l'équivalence des

propositions :

a = b. = :xta,=»xtb

« Dire que les classes a et 6 sont égales, c'est dire que les propositions « x est un a » et « x est un b » sont équivalentes ^ » On a par suite Téquivalence :

a = b.:^.aob.boa

entre classes comme entre propositions.

Deux classes égales sont identiques, puisque, en vertu de l'équivalence précédente, tout élément de Tune appartient à l'autre, et vice versa.

On peut définir ensuite la multiplication logique des classes :

«Le produit logique des classes a et A est l'ensemble des x qui sont à la fois des a et des b. » D'où, en opérant sur les deux membres par are, on tire :

xt[aryb).=i.xta,xtb

une classe, c'est-à-dire que toute assertion relative à x revient à affirmer que X appartient à une classe déterminée au moins implicitement. Or c'est là une hypothèse gratuite (c'était le postulat de la Logique classique) et qui donne lieu à de graves difficultés. En tout cas. le symbole s n'a d'usage réel que lorsque la proposition relative à x n'est pas déjà de la forme x t a, i- Cette formule est analogue à celle de l'axiome énoncé plus haut :

qpic = 4/j? . o : a: 3 ça? . = . a? 3 tJ'iP Dîî S, pour qu'elle lui fût identique, il faudrait, d'abord, qu'on pût rempli ;er la copule o par la copule =; ensuite, qu'on pût affirmer que toi Le fonction propositionnelle est réductible aune assertion de la forme: X I a.

« Dire que x est un « a et 6 », c'est affirmer à la fois quex est un a et que x est un h, »

De même, on définit l'addition logique des classes :

av^6. = .a?3(a?ea.w.a?e6)

« La somme logique des classes a et 6 est l'ensemble des x qui sont, soit des a, soit des h, » D'où Ton tire :

« Dire que x est un « a ou b », c'est affirmer que x est un a ou que X est un b ».

De même, enfin, on définit la négative d'une classe :

-a . r= . a? 3 (ar-£ a) (*)

« La négative - a de la classe a est l'ensemble des x qui ne sont pas des a, » D'où l'on tire :

xs-a,= ,x-ea

« Dire que x est un non-a, c'est dire que x n'est pas un a. » Il importe de distinguer soigneusement les deux relations e et o, qui, confondues par le langage, ont été longtemps identifiées par les logiciens ^. Par exemple, dans le syllogisme classique :

Tout homme est mortel

Socrate est homme Donc Socrate est mortel la copule de la majeure est o, mais celle de la mineure et de la conclusion est £. En efTet, o est une relation entre deux classes^ dont la première est contenue dans la seconde, tandis que e est la relation d'un individu à une classe dont il fait partie. Il en résulte que le syllogisme précédent a pour formule :

tandis qu'un syllogisme ordinaire (entre classes) a la formule :

aob.coa,o,cob

1. Le symbole - e est la négation du symbole e; cette négation porte sur la proposition tout entière dont e est la copule.