Cette distinction est due à M. Peano

bien distincte de la précédente. Au point de vue du calcul, la relation e diffère de la relation o en ce qu'elle n'est pas (ransitive : de (x e y . y & z) on ne peut pas conclure x t z, parce que y est une classe dont x est un individu, et que z est une classe dont la classe y est un individu : z est donc une classe de classes analogues à y, et ne peut (en général) comprendre x parmi ses éléments.

Ces considérations obligent à distinguer même une classe singulière de l'individu unique qu'elle contient, de sorte qu'on ne peut pas poser en général : x e x. La classe singulière formée du seul élément x sera représentée par ix^ « égal à x » ^ On définit formellement ce symbole comme suit :

ix = y3{y=zx) D'où : y Eix . = .y = x

ce qui montre que la combinaison des deux symboles e et i équivaut au symbole =. On a donc toujours : x eix.

inversement, si a est une classe singulière, son élément unique sera représenté par ta, qu'on peut lire : « le a ». En résumé, le signe t transforme un individu en une classe singulière; et le signe inverse î transforme une classe singulière en un individu. On a les deux égalités équivalentes :

Nous pouvons maintenant définir Vimplicalion formelle. C'est l'espèce d'implication qui existe entre deux fondions propositionnelles contenant les mêmes variables, et qui vaut pour toutes les valeurs possibles de ces variables. Une implication formelle enveloppe donc l'affirmation simultanée d'une multitude d'implications matérielles, dont chacune correspond à une valeur différente des variables : et elle n'est vraie que si toutes ces implications sont vraies. C'est donc, à proprement parler, un ensemble d'implications. On obtient une implication formelle (vraie ou fausse) quand dans une implication matérielle on change une constante en variable. Par