Op. cit., ch. Il : Symbolic Logic

2. Cf. G. Peano, Les définitions mathématiques, ap. Bibliothèque du Congrès dé Philosophie, t. III, p. 280 ; A. Padoa, Introduction logique à une théorie déductive quelconque, ibid., p. 315.

3. Pour un exposé plus détaillé des principes de la Logique, nous renverrons le lecteur à notre Traité de Logistique, dont le présent chapitre est le résumé.

4. Russell, op. cit., §§ 14-19; notamment § iS, énumération des dix axiomes du Calcul des propositions.

théorie quelconque, on ne pourrait rien déduire des principes de cette théorie tant qu'on n'aurait pas admis les principes du Calcul des propositions, qui sont le nerf de tout raisonnement. La relation principale de ce calcul est la relation d'implication entre deux propositions : c'en est la première notion indéfinissable. On désignera les propositions par les lettres />, q, r,... et Ton écrira «/? implique q » sous la forme suivante :

poq

Cette formule signifie que « si p est vraie, q est vraie »; ou que « si q est fausse, p est fausse » ; ou que a p ne peut être vraie et q fausse » ; ou que « ou bien p est fausse, ou bien q est vraie » ^ Toutes ces assertions équivalentes (mais dérivées) ne peuvent servir qu'à expliquer l'implication poq, mais non à la définir.

M. Russell définit les propositions comme suit : « Une proposition est ce qui s'implique soi-même. » Autrement dit, il prend pour définition de la notion de proposition le principe d identité. Pour dire que/?, ^,... sont des propositions, il écrit : p op, q o q, etc. On voit déjà ici la dififérence entre les définitions mathématiques et les définitions philosophiques. Au point de vue philosophique, la notion d'implication paraît supposer celle de proposition, précisément parce que seules les propositions peuvent impliquer ou être impliquées ^.

Vient ensuite la définition du produit logique de deux propositions. Nous l'omettons, à cause d3 son obscurité et de sa complication; nous préférons admettre cette notion comme indéfinissable, et l'expliquer verbalement. Le produit logique de deux (ou plusieurs) propositions p, q,,.. est Vaffirmation simultanée de ces propositions : il consiste à dire que p, q,...

i. La dernière de ce3 interprétations verbales est préférable, parce qu'elle est la moins équivoque.

2. M. Russell est ainsi amené à formuler deux autres principes qui nous semblent philosophiquement inutiles ou insignifiants :

poq. o. pop po q. o . qo q

c'est-à-dire : « Si p implique q^ p est une proposition, et q est une proposition. »

sont toutes vraies à la fois. Il s'écrit /> ^ ç', ou bien simplement

pqy comme un produit arithmétique.

L'équivalence de deux propositions peut maintenant se définir

comme suit ^ :

p = q , = ,p o q . q op

« Dire que p égale q, c'est dire que p implique q et que q implique/)*. »

Nous pouvons maintenant énumérer les cinq principes suivants en donnant leur formule symbolique (dans ce qui suit, nous supposerons une fois pour toutes, pour simplifier les formules, que p, y, r sont des propositions) :

1® La loi commutative :

pr.q = qr.p 2° la loi associative :

p r^ [q r\r) = {p r\q) nr

3® le principe de simplification :

« L'affirmation simultanée dep et de q implique Taffirmalion de p. »

4° le principe de composition :

poq.por.o.poqr^r

1. Les points, dans les formules suivantes, remplacent (avec avantage) des parenthèses. Ils servent à séparer les diverses parties d'une formule. On doit d'abord unir les parties séparées par un seul point, puis celles séparées par deux points, et ainsi de suite. 11 en résulte que la copule principale (celle qui constitue la proposition totale) est celle qui est encadrée du plus grand nombre de points. On économise des points au moyen de certaines conventions; par exemple, en admettant que pg or signifie (pq) o ?•, on pourra écrire p . 7 . o . r au lieu de p . g' : o . r .

2. H ne faut pas croire que cette formule constitue un cercle vicieux, parce qu'on y emploie comme copule principale le signe à définir =. Ce signe n'a pas le même sens dans les deux cas. Comme copule principale, il signifie : « égale par définition », et cette espèce d'égalité, conventionnelle et arbitraire en quelque sorte, est bien différente de Véquivalence. Une définition, en Mathématique et en Logistique, consiste h donner un sens à un symbole qui n'en a pas encore, en le posant comme équivalent à un ensemble de symboles où il ne figure pas, et qui a déjà un sens. Aussi une définition mathématique ou logique n'est-elle qu'une convention d'écriture, une abréviation. Ce n*est pas une proposition (qui serait nécessairement vraie ou fausse), encore moins un principe. Cf. § D : Méthodologie,

CALCUL DES PROPOSITIONS il

« Si p implique q^ et si p implique r, p implique q r.r (l'affirmation simultanée de 9 et de r). » 5° le principe du syllogisme (hypothétique) :

poq.qor.o.por

« Si p implique q, et si q implique r, p implique r. » Dans le langage de la Logique des relations, ce principe signifie que la relation d'implication est transitive.

On considère généralement le principe du syllogisme comme le fondement ou le type de toute déduction. Mais tous les autres principes de la Logique, qui sont indépendants de celui-là, peuvent servir, et servent en fait, de type et de fondement à deâ déductions. Il y a plus: le principe du syllogisme, comme les autres, ne peut justifier une déduction particulière quelconque qu'en vertu d'un autre principe, qui s'énonce : « Si Ton a une implication (vraie) poq^ et si l'hypothèse p est vraie, la thèse q est aussi vraie, de sorte qu'on peut l'affirmer isolément ». Et en effet, en quoi consiste une déduction, par exemple une déduction syllogistique? Elle ne consiste pas simplement à constater et à affirmer une relation d'implication entre les prémisses et la conclusion : elle consiste en outre à constater que les prémisses sont vraies (ou supposées telles), et à affirmer la conclusion « absolument », c'est-à-dire isolément. Or cela ne peut se faire qu'en vertu du principe précédent. Ce principe est donc indispensable et fondamental en Logique : c'est le nerf de toute déduction, puisque seul il permet de passer des prémisses à la conclusion : de remplacer celles-là par celle-ci, et par suite d'avancer par étapes dans un raisonnement. Pour cette raison, nous l'appellerons désormais le principe de déduction K

11 est remarquable que ce principe ne peut pas s'exprimer symboliquement. On pourrait être tenté de l'écrire :

1. C'est aussi le principe du raisonnement hypothétique {modus ponens) : • Si p est vraie, q est vraie; or p est vraie; donc q est vraie. » Le modus

i2 PRINCIPES DE LA LOGIQUE

mais celte formule est indissoluble, et ne permet pas d'afOrmer séparément q. Pour pouvoir le faire, il faudrait pouvoir supprimer Thypothèse p. /? o qf, ce qui ne se peut qu'en vertu du principe en question. Gomme le remarque M. Russell, ce principe marque la limite du symbolisme. Il n*y a rien d'étonnant, d'ailleurs, à ce que le symbolisme ne réussisse pas à traduire tous les principes, car il faut évidemment définir verbalement les premiers symboles et les premières formules.

Ce n'est pas tout : à ce principe il faut adjoindre le principe de substitution, qui s'énonce : « Dans une formule générale, à un terme général ou indéterminé on peut substituer un terme particulier ou individuel ». Cela est évident, puisqu'une formule générale n'a de valeur et même de sens qu'en tant qu'elle peut s'appliquer à des termes particuliers. Ce principe, comme le précédent, ne peut pas se traduire en symboles, justement parce qu'il fonde l'emploi des symboles; et, en effet, on ne pourrait l'exprimer, y compris la notion de « terme particulier », qu'au moyen de symboles généraux; mais, pour l'appliquera des termes réellement particuliers, il faudrait pouvoir substituer ceux-ci aux termes généraux qui les représenteraient dans la formule, ce qui ne se peut qu'en vertu du principe lui-même *.

Il convient d'introduire dans le Calcul logique deux termes particuliers, le vrai (V) et le faux {\). On peut les définir formellement comme suit :

Jiox , xo\

quelle que soit la proposition x\ autrement dit, « le faux implique tout, et le vrai est impliqué par tout ». On peut démontrer que les termes ainsi définis sont uniques. Cette

tollens (« or q est fausse; donc p est fausse ») se déduit du précédent au moyen du principe de conlraposition (voir plus bas).

1. Quant au principe de la substitution des équivalents, mis en avant par Stanley Jevons, ce n'est pas un axiome, mais un théorème ou plutôt un ensemble de théorèmes qu'on démontre pour chaque relation ou opération particulière. Il constitue en efTet une propriété spéciale de certaines relations ou opérations, à savoir ^uniformité, î^ar exemple, l'axiome d'Euclide : « Égal ajouté à égal donne égal » signifie que l'addition est une opération uniforme; et ainsi de suite.

CALCUL DES PROPOSITIONS iS

défiDition un peu paradoxale se justiCe par toutes les conséqueuces qu'on en déduit formellement.

On peut définir la tomme logiqtte de deux propositions comme suit : La somme logique de deux propositions p el q est une proposition s qui est impliquée par chacune d'elles, et qui implique toute proposition impliquée par chacune d'elles. Celte définition formelle se traduit par les formules :

pos.qos:pox,qox.o,sox

On s'aperçoit aisément que la somme logique de deux propositions est leur alternative : « ou p est vraie, ou q est vraie », ou simplement : a p o\x q ». On la représente par p^g. Les formules précédentes deviennent en conséquence :

pop^q^qop^qipox.qox.o.p'^qox

Les deux premières s'appellent, par analogie, principe de simplification-, la dernière, prmczpe de composition.

On peut maintenant définir formellement la négation, La négation (ou mieux, la négative) d'une proposition p se représente par -p, qui s'énonce : non-p. C'est, par définition, une proposition qui vérifie avec p les deux relations suivantes :

« L'affirmation simultanée dep et de non-p est fausse; l'alternative de p et de non-p est vraie. » La première de ces formules est le principe de contradiction : « p et non-p ne peuvent être vraies à la fois ». La seconde est le principe du milieu exclu : « ou p est vraie, ou non-p est vraie ». Ainsi ces deux « principes » constituent en réalité, réunis, la définition de la négation. Ils sont donc indépendants l'un de l'autre, et indépendants chacun du principe d'identité *.

Pour démontrer que la négative d'une proposition est unique,

i. Toutes les démonstrations par lesquelles on a prétendu déduire ces deux principes, soit l'un de l'autre, soit du principe d'identité, présupposent la notion de négation, et constituent par conséquent un cercle vicieux (ou tout au moins une pétition de principe, si l'on prend la négation pour notion première).

il faut admettre encore une proposition première, le principe de contraposition * :

poq .0 .-qO'p

« Si p implique y, non-g^ implique non-p », d*où Ton déduit la loi de double négation :

« La négative de non-p équivaut à p », ou, comme on dit vulgairement : Deux négations valent une affirmation.

Pour compléter le Calcul des propositions, il faut introduire un dernier principe, que nous appellerons le principe d'assev' tiouj et qui s'énonce par Tune ou l'autre des formules suivantes 2 :

quelle que soit la proposition p. En d'autres termes, une proposition quelconque p équivaut à l'affirmation : ^< p est vraie », ou à l'affirmation : « non-p est fausse » ^.

Du principe d'assertion on peut déduire le principe d'importation et d'exportation^ que M. Peano prend pour proposition

première :

p.o.^or: = .pnç'or

« Dire que p implique que q implique r, c'est dire que p et j réunies impliquent r, » Ce principe peut se décomposer en deux implications inverses, le principe d'importation :

p.o.^orio.pngor

en vertu duquel on peut importer dans Timplication qor

1. Ainsi appelé parce qu'il est le fondement de la contraposition classique (par laquelle de « Tout â est 6 » on déduit « Tout non-6 est non-a ■). C'est aussi, comme nous l'avons dit, le fondement du raisonnement hypothétique {modus tollens), et par suite de tous les raisonnements dits par l'absut'de, si fréquents en Mathématiques.

2. Ces deux formules sont équivalentes, car on peut démontrer, au moyen des principes précédents, que -V = A) et que :

3. Cette traduction est légitime, car, en vertu de la loi de double négation, la négation de -a est a.

rhypothèse p qui en est la condition; et le principe dCexpor^

tation :

p r^qor .o:p .0 .qor

en vertu duquel on peut exporter de Timplication p^ qor une de ses hypothèses, p.

Le principe d'assertion permet encore de réduire une implication à une alternative, au moyen de Téquivalence :

poq . = ,'p rs q

« Dire que p implique q, c'est affirmer non-p ou q », c'est-àdire : « ou p est fausse, ou q est vraie ». On se rappelle que c'est par cette alternative que nous avons expliqué plus haut rimplication.

Le principe d'assertion a encore une foule de conséquences importantes, dont les unes sont évidentes et conformes au bon sens, et les autres paradoxales. En vertu du principe du milieu exclu, on peut affirmer que toute proposition est vraie ou fausse, et, en vertu du principe de contradiction, qu'elle ne peut être à la fois vraie et fausse *. Le vrai et le faux sont donc deux valeurs exclusives Tuac de l'autre, et les seules que puisse prendre une proposition quelconque.

Mais de ce truisme résultent des conséquences comme

celles-ci :

c'est-à-dire : Une proposition quelconque équivaut à une autre proposition quelconque ou à sa négative (et, en effet, de deux propositions qui sont la négative Tune de l'autre, l'une est vraie et l'autre fausse, nécessairement). Toutes les propositions vraies sont équivalentes; toutes les propositions fausses sont équivalentes. Chaque proposition fausse implique toutes les propositions (vraies ou fausses); chaque proposition vraie est impliquée par toutes les propositions (fausses ou vraies). Ces

1. Seul, le principe d'assertion permet de démontrer que « le vrai n'est pas le faux », en symboles : V- = A' Cette formule ne peut pas se déduire des autres principes, comme le prouve le Calcul des classes.

paradoxes inévitables (car ce sont des conséquences nécessaires du calcul, et cela dans n'importe quel système de Logique) s'expliquent par le fait que l'implication ici considérée est Vimplication matérielle^ et non pas Vimplication formelle, qu'on définira plus loin, et à laquelle tout le monde pense quand on parle d'implication. L'implication matérielle (poq) ne signifie rien de plus que ceci ; « Ou p est fausse, ou q est vraie *. » Peu importe que les propositions p eiq aient entre elles un rapport logique ou empirique quelconque; l'implication est vérifiée dès que p est fausse (quelle que soit q) ou dès que q est vraie (quelle que soit p). Voilà pourquoi on arrive à ce résultat paradoxal, que le faux implique le vrai.

Ces vérités paradoxales servent d'ailleurs à résoudre correctement certains paralogismes ou certains paradoxes où le bon sens vulgaire risquerait de s'embarrasser. Tel est, par exemple, le problème de Lewis Carroll : « q implique r; mais p implique que q implique non-r; que faut-il en conclure? » On raisonnera comme il suit : p implique non-q ou non-r; or non-r implique non-q; donc p implique non-y, c'est-à-dire la vérité de p implique la fausseté de q. Mais Lewis Carroll raisonne autrement : Si q implique r, il est impossible que q implique non-r; donc p implique l'impossible, et par suite est faux. Cette conclusion est fausse, parce qu'il est possible que q implique à la fois r et non-r ; seulement alors q est faux (comme impliquant deux propositions contradictoires) ^.

§ B. — Calcul des Classes ^

Tandis que Boole et Schrôder, sous l'influence de la Logique classique, considéraient le Calcul des classes comme antérieur au Calcul des propositions, M. Russell le considère comme postérieur. Pour lui, l'idée de classe est une notion dérivée,

1. Cette équivalence est bien connue en Logique classique, car c'est elle qui sert à transformer un jugement hypothétique en jugement disjonctif, ou inversement.