LE PARADOXE DES OBJETS SYMÉTRIQUES

Ainsi du même fait il a conclu d*abord à la réalité, puis à ridéalilé de l'espace. Cela fait présumer que, dans les deux cas ou tout au moins dans Tun d'eux, l'argument n'est pas probante 11 serait intéressant de rechercher comment Kant a pu employer le même argument tour à tour en des sens si divers. Nous croyons qu'on en trouverait Texplication dans son opposition à Leibniz : dans le premier cas, il soutient la thèse newtonienne de l'espace absolu contre la thèse leibnizienne de la relativité de l'espace; dans le second cas, il soutient la nature intuitive de l'espace contre l'intellectualisme de Leibniz, qui y voyait un ordre purement intelligible. Mais cette ques> lion historique et psychologique sort de notre sujet. Il s'agit de savoir quelle est la valeur de l'argument tel qu'il est présenté dans les Prolégomènes.

Nous croyons que l'argument pèche par la prémisse : « il n'y a pas là de différences intrinsèques qu'un entendement quelconque puisse seulement concevoir ». Cette prémisse suppose qu'il n'y a pas entre les éléments des figures d'autres relations que des relations de grandeur : or c'est là une erreur. Il y a aussi- des relations d'ordre, et ce sont ces relations d'ordre qui diffèrent, ou plutôt qui sont inverses dans les figures symétriques. Dira-t-on que ce sont des relations purement intuitives et logiquement indéfinissables? Ce serait encore une erreur : car toutes les relations d'ordre peuvent se définir au moyen de la Logique des relations. Au fond, deux ordres inverses l'un de l'autre correspondent à des relations converses l'une de l'autre; et la conversion des relations est une opération logique absolument indépendante de l'intuition 2. Il y a donc une différence parfaitement intelligible et purement logique entre deux figures symétriques : c'est ce que Kant néglige quand il dit qu'elles sont « semblables et égales » dans toutes leurs parties et dans

dans une phrase des Prolégomènes, où Kant affirme que dans l'espace les parties ne sont possibles que par rapport au tout.

^. C'est l'opinion de M. Vaiiîinoer (t. H, p. 527).

2. Par. exemple, on conçoit fort bien que la relation de principe à conséquence est inverse de celle de conséquence à principe, sans avoir besoin de la • construire » dans le temps ou dans Tespace.

toutes leurs relations internes; leurs parties sont bien égales (et par suite semblables), mais non pas « semblablement disposées » ; en d'autres termes, toutes les relations de grandeur sont les mêmes, mais les relations d'ordre sont inverses.

Pour préciser, voici comment, en fait, on parvient à définir progressivement les figures solides symétriques. On distingue deux sens opposés pour les segments dirigés ou vecteurs d'une même droite, et on leur fait correspondre respectivement les nombres positifs et négatifs. On distingue de même deux sens opposés pour les angles d'un même plan. Deux segments ou deux angles égaux (donc de même sens) peuvent coïncider par un simple glissement; deux segments ou deux angles symétriques (de sens contraire) ne le peuvent pas. Il en est de même pour les triangles dirigés (c'est-à-dire doués de sens) situés dans un même plan. La symétrie des trièdres est tout à fait analogue à celle des triangles; seulement la figure a une dimension de plus, de sorte que les trièdres symétriques ne peuvent coïncider par un déplacement dans l'espace à trois dimensions. Plus généralement, on distingue des segments (parallèles), des angles (d'un même plan) et des trièdres homotaxiques et antitaxiques, suivant qu'ils sont disposés dans le même sens ou en sens contraire (sur la droite, sur le plan, dans l'espace *). Or pour transformer un trièdre donné en un trièdre antitaxique, comme pour transformer un angle plan en un angle antitaxique, il suffit de changer le sens d'un de ses côtés, c'est-à-dire de remplacer une demi-droite par son opposée (de

1. Voir dans Méray, Nouveaux Éléments de Géométrie^ la définition de rhomotaxie et de l'antitaxie des segments (132), des angles (177), des angles dièdres (192), des triangles (217), des trièdres (34$), des tétraèdres (370). D'autre part, on appelle isomères les figures dont les éléments sont égaux chacun à chacun; et Ton démontre que, pour que deux figuras soient égales (superposables), il faut et il suffit qu'elles soient à la fois isomères et homotaxiques (373). Si elles sont isomères et anti taxiques, eUes sont symétriques (41S). Cela est également vrai : i^ des segments assujettis à rester sur une même droite; 2° des angles, triangles, polygones... assujettis à rester sur un môme plan; 3° des trièdres, tétraèdres, polyèdres... situés dans le même espace à 3 dimensions. Tous les cas d'antitaxie procèdent de ce fait primordial, qu'il y a deux sens contraires sur une droite, et deux sens contraires de rotation dans un plan.