ROLE DE L'INTUITION EN GEOMETRIE

OU plans qui se coupent, c'est-à-dire qu'on néglige et que Ton considère comme indifférents ces faits d'intuition auxquels la méthode synthétique d'Ëuclide s'attache presque exclusivement. Enfin, dans les divers Calculs géométriques, on définit même les figures fondamentales comme des combinaisons algébriques de points (c'est-à-dire d'éléments indéfinissables), et Ton raisonne sur elles au moyen d'algorithmes formels analogues à celui de l'Algèbre. Dans toutes ces doctrines, on n'invoque jamais, dans les démonstrations, les propriétés intuitives des figures, et Ton n'emploie jamais ces constructions auxiliaires qui sont, en Géométrie synthétique, comme les béquilles du raisonnement; on a pu écrire des traités entiers suivant ces méthodes sans une seule figure, ce qui montre bien que l'on n'a pas besoin de l'intuition, et qu'on ne raisonne plus sur des cas singuliers *.

Dans les Prolégomènes (§ 12), Kant invoque ce fait, que Tégalité géométrique consiste en dernière analyse dans la superposition, qui est un phénomène d'intuition. Il oublie que,

1. Il est intéressant de rappeler ici l'opinion de Schopenhader sur le même sujet, car elle est manifestement dérivée de la doctrine de Kant. Schopenhauer estime que la Géométrie devrait renoncer à la prétention de démontrer ses théorèmes, et imiter l'Arithmétique, qui repose tout entière sur Tintuition du temps, sur l'acte du dénombrement. (Cf. Quadruple racine du principe de raison suffisante, § 39 : « Toute proposition géométrique devrait être ramenée à la perception intuitive, et la démonstration consisterait à faire bien clairement ressortir l'enchaînement qu'il s'agît de saisir. ») Il trouve que la méthode logique des géomètres confine à la « niaiserie » : quelle manie étrange de chercher une certitude médiate pour ce qui offre une certitude immédiate! Pour lui, la Géométrie non euclidienne est un fruit et une preuve de cet abus de la Logique, de cette rage de tout démontrer, de déduire chaque chose d'autre chose. Si Ton cherche en vain une démonstration du postulatum d'Euclide, c'est qu'on ne peut rien trouver de plus évident. La Géométrie non euclidienne est la parodie et la caricature de la méthode d'Euclide (Le monde comme volonté et comme représentation, t. II, ch. xtii; cf. t. I, § 15). Ces attaques contre la méthode des Géomètres et contre la géométrie non euclidienne jugent Schopenhauer comme mathématicien. Mais son exemple nous autorise à dire que sa conception de la Géométrie, comme fondée sur l'évidence intuitive directe, est « la parodie et la caricature » de celle de Kant. On en peut dire autant de sa conception de l'Arithmétique : « Tout nombre présuppose les nombres qui le précèdent, comme ses raisons d'être; je ne puis arriver au nombre dix que par tous les nombres qui le précèdent... >» {Quadruple racine, § 38), que Seydel a fort bien réfutée {jop. cit.).

là OÙ Ton emploie celle mélhode (dont les géomètres modernes les plus rigoureux s'absliennent totalement), on ne se borne pas à constater de visu la superposition; on démontre qu'elle doit avoir lieu, c*e6t-à-dire que les deux figures à superposer sont déterminées d'une manière univoque par les éléments donnés : de sorte que de Tidentité de ces éléments on peut conclure l'identité des figures totales. Or cette détermination univoque repose sur la définition même des figures; par exemple, du fait que deux droites ont deux points communs, on conclura qu'elles coïncident : ce n'est pas là une constatation intuitive, mais une conséquence logique de la définition de la droite; et ainsi de suite ^

Le PARADOXE DbS OBJKTS SYMÉTRIQUES.

Mais ici on peut nous objecter le fameux paradoxe des objets symétriques*. H y a des figures (à 3 dimensions) qui sont « semblables et égales » dans tous leurs éléments, et pourtant « incongruentes », c'est-à-dire qui ne peuvent coïncider : tels sont les triangles sphériques opposés, les hélices dextrorsum et sinistrorsum, les deux côtés du corps humain, les deux oreilles, les deux mains, etc. Cette différence, selon Kant, ne peut être définie ni expliquée par aucun concept, mais seulement par l'intuition, et elle prouve la nature intuitive des figures géométriques et de l'espace lui-même.

11 n'est peut-être pas inutile de remarquer, d'abord, que ce paradoxe avait été invoqué auparavant par Kant pour pruuver une Ihèse toute difTérente, et presque contraire, celle de l'espace absolu'. La diversité des objets symétriques ne pourrait s'expliquer par leurs relations internes (qui sont identiques), et ne serait concevable que parleur rapport à l'espace absolu *.

1. Cf. les recherches de Leibniz de deéerminanlibus et determinatis et de Unico (V. La Logique de Leibniz^ ch. vu, § 10).

2. Dissertation, Ht, 15, C (1770); Prolégomènes, § 13; Metaph. Afangsgrùnde der Naturwissenschaft, ch. i, Déf. Il, scolie 111.

3. Vati dem ersten Grande des Ùnterschiedes der Gegenden im Rautne (1768).

4. Comme le remarque M. VaibiiNger (II, 522, 526), cette idée feparatt