La lettre test l'initiale du mot îao

exemple, si dans « Socrate est homme implique que Socrate est mortel » on remplace le terme Socrate par l'indéterminée x, on trouve : « x est homme implique que x est mortel »; et cette fonction propositionnelle est une implication formelle, car elle est vraie quel que soit x K Non seulement, en effet, on peut substituer à x n'importe quel homme, mais n'importe quel autre terme : car si « x est homme » n'est pas vrai (pour une valeur donnée de x), Timplication matérielle correspondante sera sûrement vraie.

Nous venons de montrer, par un exemple, que la variabilité des variables logiques est en principe illimitée. Nous avons dit, d'ailleurs, qu'une implication formelle vaut pour toutes les valeurs possibles de la variable ^. Si une implication formelle ((px o ^x) ne valait que pour un certain ensemble de valeurs de la variable, cet ensemble formerait une classe a, et Ton devrait écrire l'hypothèse X6 a comme condition de l'implication précédente; on aurait ainsi :

xta .0 . (^xo'^x

Or, dans cette nouvelle implication formelle, x peut prendre toutes les valeurs possibles, sans aucune restriction. Donc toute implication conditionnelle ou limitée revient en définitive aune implication illimitée ou inconditionnée.

La formule précédente est le type des théorèmes de Mathématiques. En effet, une formule mathématique ne vaut, en

i. En efTet, elle équivaut, par définition, à la proposition universelle : « Tout homme est mortel »; en symboles :

aob . = :x ta ,o . X & b

De cette équivalence se déduit la 2* formule du syllogisme. En effet, cette équivalence contient Fimplication suivante :

ao b . o : X za .o . X e b

qui, grâce au principe d'importation, devient la formule en question :

ao b .X ea ,o . X g b

2. Pour faire ressortir cette condition, M. Peano inscrit la ou les variables comme indices au signe o : exemple : ^x o^ ^x. Cette notation a en outre l'avantage de distinguer nettement une implication formelle d'une implication matérielle.

général, que lorsque les variables qui y figurent restent dans un certain domaine de variabilité. Il faut donc énoncer comme hypothèse que les variables appartiennent à tel ou tel ensemble de valeurs. Par exemple, la propriété commutative de la multiplication s*écrira comme suit^.

x^y e^ ,0 .xxy = yXx

« Si a? et y sont des nombres entiers (N), xXy ^=yxx, » Celte implication est toujours vraie, car si or et y ne sont pas des nombres entiers, Thypothèse est fausse. Il en est de même si, au lieu de « nombre entier », on met «nombre rationnel », « nombre réel », u nombre complexe ordinaire » ou « vecteur ». Mais rimplication ne serait plus vraie si Ton mettait « quaternion ». Gela montre la nécessité d'une hypothèse qui limite le domaine des variables. D'ailleurs, le plus souvent, sans une telle hypothèse la thèse n'aurait plus de sens, parce qu'on ne saurait pas la nature des termes qui y figurent. Dans les traités de Mathématiques ordinaires, les hypothèses de ce genre sont énoncées verbalement ou sous-enten'dues dans le contexte. Mais une formule n'est logiquement complète que lorsqu'elle comprend son hypothèse explicitement énoncée en symboles.

On comprend maintenant la différence entre l'implication formelle et l'implication matérielle. D'abord, celle-là enveloppe une infinité de cas, c'est une proposition universelle (exemple : Tout homme est mortel), tandis que celle-ci ne porte que sur un cas particulier (individuel et isolé). En outre, les deux membres d'une implication formelle doivent contenir les mêmes variables, c'est-à-dire porter, au moins en partie, sur le même sujet; tandis que les deux membres d'une implication matérielle peuvent être deux propositions n'ayant aucun terme commun ni même aucune analogie. Au point de vue de la Logique formelle, « César a passé le Rubicon » implique * Socrate a bu la ciguë », et même : « César est vivant » implique « 2 et 2 font 4 », du moment que la première proposition est f usse ou que la seconde est vraie. Seulement, on est habitué à

ne considérer que des implications formelles, en raison de leur intérêt scientifique et de leur usage pratique, de sorte que même les implications matérielles sont regardées comme des implications formelles. Par exemple, « Socrale est homme implique Socrate est mortel » est une implication matérielle. Mais tout le monde la comprend comme une implication formelle, ou du moins comme un cas particulier, un exemple ou une application de Timplication formelle : « Si a? est homme, X est mortel. » On sent confusément que Tindivi dualité de Socrate est indifférente dans cette implication, et qu'on pourrait lui substituer n'importe quel autre homme (et même, au point de vue formel, n'importe quel individu). La preuve en est que Ton peut affirmer l'implication matérielle : « Socrate est un triangle implique Socrate est mortel », mais elle choque parce que Ton entend par là Timplication formelle fausse : « Si X est un triangle, x est mortel. »

Enfin l'implication formelle est analogue, et même en général équivalente, à la relation d'inclusion entre classes, de sorte que le Calcul des classes coïncide avec le Calcul des fonctions propositionnelles, tandis qu'il ne coïncide pas avec le Calcul des propositions. La confusion illégitime de ces deux calculs est la source de certains paradoxes que nous n'avons pas à discuter ici.

M. Peano n'admet, dans son Calcul, que des implications formelles, dont les deux membres contiennent des variables. Cette restriction est possible en Mathématique, où l'on n'a à considérer que des implications formelles, et elle a l'avantage d'éviter radicalement la confusion que nous venons de signaler; mais elle est trop exclusive, car elle bannit de la Logique l'implication matérielle, qui est, en définitive, l'élément de toute implication formelle.

Nous avons parlé plus haut des classes singulières, c'està-dire formées d'un seul individu. Mais nous n'avons pas défini le nombre un, ni même l'individu. Selon l'habitude des Mathématiques, on ne définit pas l'individu, mais bien Videntité des individus. On dira que deux individus k et / sont identiques, si

le second appartient à toute classe dont le premier fait partie; ce qui s'écrit symboliquement ' :

Il importe de remarquer que Tidentité des individus est logiquement distincte de Tégalité des clas^i^es, de même que les individus ^ et / sont distincts des classes singulières ik et i/. C'est pourquoi nous employons un signe particulier := pour désigner cette relation.

Voici comment on peut définir la classe nulle (c'est-à-dire la classe qui ne contient aucun terme). Nous avons dit que les propositions sont susceptibles de deux valeurs, et de deux seulement, vrai (V) et faux {\). De même, les fonctions propositionnelles sont susceptibles de deux valeurs extrêmes (et en général d'une infinité d'autres), qui sont : toujours vrai (V) et toujours faux {\). Il importe de ne pas confondre ces deux sens des symboles V et \; on les distingue aisément, suivant qu'ils s'appliquent à des propositions ou à des fonctions propositionnelles. Cela posé, soit une fonction propositionnelle (px qui est toujours fausse : on définira la classe nulle comme la classe correspondante; symboliquement :

« Si (&a? est toujours fausse, ^ est la classe des x qui vérifient ^x. » C'est la classe nulle ou vide, puisque par hypothèse aucune valeur de x ne vérifie c&x.

1. Dans le second membre de cette formule la copule o suffit, et n'a pas besoin, comme il semble au premier abord, d'être remplacée par la copule =. En effet, puisque :

on a :

ktti.o^.lea: = : k~z-a .o^ ./-e-a: = :/s-a.o^ . kz - a

Or, dans cette dernière implication, - a est une classe quelconque, on peut donc la remplacer par a, et écrire :

Ainsi de Â: s a . o^ . ^ e a on peut déduire la réciproque :

l ea . o^. k s a et par conséquent Tégalité :

k za * =^ , l ea

Gela posé, pour exprimer qu'une classe a existe, qu'il existe des a ou au moins un a, on dira qu'elle n'est pas nulle, ce qui s'écrit :

«-=A On écrit souvent cette proposition sous la forme :

« il y a des a », qui est plus commode dans les applications mathématiques.

La classe nulle jouit de propriétés paradoxales, qui dérivent de celles de^ l'implication matérielle. Ainsi, puisqu'une proposition fausse implique toute autre proposition, la classe nulle est contenue dans toute autre classe, en vertu de l'implication

générale :

epa? o <j/x . o : 0? 3 cpa? . o . X 3 ^0?

ou de l'équivalence analogue :

X ea ,0 .xtb: = ,aoà

Comment exprimera-t-on, maintenant, qu'une classe a est singulière, c'est-à-dire ne contient qu'un individu (qu'il n'y a qu'un a)? On exprimera, d'abord, qu'elle existe (n'est pas nulle), et ensuite, que si deux individus quelconques lui appartiennent, ils sont identiques. En symboles :

a- = j^:xta,yea.Ox,y'X^y

C*cst là, en même temps, la définition logique du nombre 1, de même que la définition de la classe nulle est la définition logique du nombre 0. Et ces deux définitions sont exemptes de tout cercle vicieux, car elles n'impliquent que les relations logiques e, o, et les relations d'identité et de diversité entre individus que nous avons définies ci-dessus. Nous avons exposé en détail cette définition, parce qu'elle est d'une importance capitale pour la démonstration de cette thèse, que l'Arithmétique repose sur des fondements purement logiques; car cette thèse est bien près d'être démontrée quand on Ta établie pour les deux premiers nombres entiers, et 1 *.

1. Nous devons déclarer, à ce propos, que les explications précédentes annulent les conclusions de notre article Sur une définUion logique du

§ C. — Calcul des Relations*.

Les deux Calculs des propositions et des classes ne suffisent pas encore à l'analyse logique des Mathématiques. Il faut leur adjoindre le Calcul des relations, qui est beaucoup plus général et plus important à cet égard que les précédents. C*est la partie la plus originale et la plus neuve de Tœuvre de M. Russell. En effet, il a été obligé, d'une part, de compléter sur ce point le symbolisme de M. Peano, et, d*autre part, de réformer radicalement le symbolisme de Peirce et de Schrôder, qui sont les fondateurs de ce nouveau Calcul. Ces deux auteurs se plaçaient au point de vue de l'extension, et considéraient une relation comme un ensemble de couples. Voici ce que cela veut dire. Soit une relation binaire (à deux termes) R^ nous écrirons (avec M. Russell) « xRy » pour exprimer qu'elle existe entre les individus x et y, c'est-à-dire que a? a la relation R avec y. Supposons qu'elle existe aussi entre u et t?, entre z et iv^ etc. Nous écrirons : m7?w, zRw^ etc.

Au lieu de cela, Peirce et Schrôder, faisant abstraction de la relation, la considéraient comme définie uniquement par les couples (ar, y), (w, v), (2, w) entre lesquels elle existe, et la représentaient simplement par l'ensemble de ces couples, qu'on peut appeler Y extension de la relation. Or cette méthode donne lieu à des difficultés logiques. D'abord, deux ou plusieurs relations

nombre, ap. Revue de Métaphysique, t. VIII, p. 23-36 (janv. 1900). Les critiques que nous y adressions à la définition de Sclirôder ne portent pas contre la définition de MM. Peano et Russell, parce que ceux-ci emploient un symbolisme logique plus complet et plus rigoureux, et distinguent nettement l'individu de la classe singulière quMl forme. La définition logique des premiers nombres entiers se trouve déjà dans Leibniz {Gerh, Phil., VII, 225; Opuscules inédits, Phil., VII, B, 11, 17 verso; VU, C, 48) sous la forme suivante :

tt Si a est m

b est m j . . . J """^ f (^Pia

c est m ( ) ^ quatuor m. »

d est m

et a, b, c, d sunt

disparata, erunt

1. Russell, op. cit., §§ 27-30; Sur la Logique des relations.

peuvent avoir même extension sans être identiques, c'est-à-dire sans avoir le même sens. Mais cela n*est pas un vice rédhibitoire, car dans la Logique des classes on admet que deux concepts sont équivalents dès qu'ils ont la même extension, ce qui conduit à égaler entre eux des concepts de compréhension différente (par exemple triangle et trilatère). La difficulté la plus grave est celle-ci : les couples par lesquels on prétend défînir la relation ne sont pas des classes, car ils comportent un ordre déterminé : il n*est pas permis, par exemple, d'intervertir x et y, et d'écrire (y, x) au lieu de (x, y). Or la notion d'ordre est elle-même une relation, ou du moins suppose une certaine relation entre x et y. 11 y a donc une sorte de cercle vicieux (philosophique, sinon logique) à définir une relation par des couples ordonnés *.

On peut ajouter qu'en Mathématiques, où Ton étudie constamment des relations ou des types de relations, il est nécessaire de représenter chaque relation ou type de relations par un symbole spécial facilement maniable et reconnaissable; cela suffit à assurer une supériorité pratique au symbolisme de M. Russell, en dehors même de ses avantages théoriques. D'ailleurs, même en Logique, nous avons eu à considérer diverses relations, figurées par les symboles =, o, e; il est naturel de généraliser cette notation si commode, et de représenter une relation quelconque entre deux termes x ely par une lettre (majuscule) intercalée entre eux.

Dans cette conception unitaire des relations, une relation peut servir à défînir des classes, au lieu d'être définie par elles. Toute relation a un sens, de sorte qu'on peut et doit distinguer son premier terme et son second terme, son antécédent et son conséquent ^. On appelle domaine d'une relation

1. Selon la remarque de M. Russell, celte erreur vient du préjugé traditionnel, hérité de la Logique classique, qui considère les relations des classes comme antérieures aux autres relations. C'est en vertu du même préjugé qu'on réduisait tous les jugements à des jugements de prédication. Cf. Russell, A criticat exposition of tke phitosopliy of Leibniz, § 10 (Cambridge, 1900).

2. Les mots anglais sont : réfèrent et retatum. On ne peut les traduire en français que par les barbarismes : relatant et relaté. Mais dans une

rensemble de ses antécédents. Nous proposons d'appeler codomaine de la relation Tensemble de ses conséquents *. L'ensemble des antécédents et des conséquents sera le champ de la relation : c'est donc la sonune logique de son domaine et de son codomaine.

Un exemple simple fera comprendre ces définitions. Soit la relation père : son domaine est l'ensemble des pères, son codomaine est Tensembie des enfants (fils ou filles). On voit immédiatement qu'ils ne sont pas égaux. Quant au champ, il est la somme logique des deux ensembles, c'est-à-dire l'ensemble des hommes (ici égal au codomaine). La relation mari a pour domaine l'ensemble des hommes mariés, pour codomaine l'ensemble des femmes mariées, et pour champ l'ensemble des gens mariés.

Un premier axiome du Calcul des relations est le suivant : « Si R est une relation, xRy est une proposition pour toutes les valeurs de a? et de y ». Bien entendu, cette proposition peut être vraie pour certains couples de valeurs et fausse pour les autres.

Un second axiome est celui-ci : « Toute relation a sa converse ». Cela veut dire que, si la relation R existe entre deux termes quelconques x et y, il existe entre y et x (pris dans Tordre inverse) une relation ^R, appelée la converse de 7?; et que, R étant la même, ""R est toujours la même. Convertir une relation, c'est remplacer a?7?i/ par y^Rx, La conversion s'exprime, en langage symbolique précis, par la formule suivante :

xRy.=^x,y' y'^Rx

qui signifie que xRy implique y^Rx, et réciproquement, quels que soient x et y. La conversion ayant pour effet d'intervertir les antécédents et les conséquents, le domaine de la relation

langue artificielle comme VEsperanto, on dira fort bien : rilatanto, rilatato (ce participe passif serait d'autant mieux justifié qu'en Espéranto le verbe rilati peut être employé comme actif).

1. Parce que le codomaine est, comme on le verra plus loin, le domaine de la relation converse.

30 PRINCIPES DE LA fX)GIQUE

primitive devient le codomaiDe de la relation converse, et inversement.

Un troisième axiome est le suivant : « Toute relation a sa négative, qui est une relation ». Gela signifie que nier la relation xRy, c'est affirmer une relation xRy entre les mêmes termes, et que la relation R' est la même tant que R reste la même. Symboliquement, on a, en représentant la négative

de R par-/î:

- (xRy) = X - % (i)

Naturellement, la relation négative est convertible comme la relation positive; et Ton démontre aisément que la converse de la négative est identique à la négative de la converse.

Les relations sont susceptibles d*une combinaison spéciale qu'on appelle la multiplication relative. Soient deux relations quelconques R, S; si Ton a entre les individus ar, y, z les relations xRy, ySs, on a entre les individus a? et z une relation complexe qu'on représente par R*S et qu'on nomme le produit relatif de R et de S, Cela implique un axiome, qu'on formule comme suit :

« Le produit relatif de deux relations est une relation. »

En d'autres termes, s'il y a une relation entre ar et t/ et une autre entre y et z, il y a entre a? et z une troisième relation qui est uniformément déterminée par les deux premières. Cette opération est 1res connue et très fréquente dans la pensée la plus vulgaire. Les relations de parenté en offrent des exemples nombreux et variés. Si x est le frère de t/, et y le père de z, x est l'oncle de z. Ainsi la relation oncle est le produit relatif des relations frère et père, ce qu'on exprime dans le langage en disant : « l'oncle est le frère du père ».

Il importe de remarquer que la multiplication relative n'est pas commutative comme la multiplication logique : on n'a pas, en général : R* S = S* R, Par exemple, le père du frère n'est pas l'oncle, mais le père ou le beau-père 2.

1. Nous avons appliqué par avance cet axiome quand nous avons fait porter le signe de négation sur la copule e, et non sur la proposition tout entière (p. 20, note i).

2. Nous passons sous silence, comme M. Russell, Vaddiiion relative,

Les relations peuvent se classer d'après les propriétés dont elles jouissent par rapport aux opérations ci-dessus définies. Une relation R est dite symétrique, si xBy entraîne toujours et nécessairement yRx, c'est-à-dire si elle est identique à sa converse (car xRy entraine formellement y^Rx). Elle est dite non-symétrique dans le cas contraire, et asymétrique, si jamais on n'a à la fois xRy et yRx (quels que soient x et y).

Une relation R est dite transitive, si xRy et yRz entraînent toujours et nécessairement xRz, c^est-à-dire si le produit relatif de cette relation par elle-même est identique à cette relation. Elle est dite non-transitive dans le cas contraire, et intran^ sitive si xRy et yRz excluent xRz (c'est-à-dire si ces trois relations ne coexistent jamais ').

Pour illustrer ces définitions par des exemples, légalité (mathématique ou logique) est une relation symétrique {a=zb . , b = à) et transitive (a = ô . 6 = c . o . a = c) ; les relations plus grand que^ plus petit que sont asymétriques et transitives; la relation d'implication (o) est non symétrique (a o b n'entraîne ni n'exclut b o a) et transitive (en vertu du principe du syllogisme : ao b . b o c. o . a o c); enfin la relation d'appartenance à une classe (i) est asymétrique et non transitive, comme nous Tavons vu.

Une relation est uniforme, quand à chaque antécédent correspond un conséquent, et un seul. Sa converse est uniforme, quand à chaque conséquent correspond un antécédent, et un seul. Nous dirons alors que la relation primitive est couniforme. Enfin elle est doublement uniforme [biuniforme], quand elle est uniforme ainsi que sa converse. Ces trois cas sont désignés en anglais par les épithètes claires et commodes : many-one, one-many^ one-one, qui signifient respectivement que la correspondance a lieu entre plusieurs antécédents et un conséquent*,

coDsidérée rar Peirce et Schrôder, qui n'a aucune utilité logique ou philosophique, et qui sert seulement de contre-partie à la multiplication au point de vue de la « dualité ». C'est une fausse fenêtre pour la symétrie.

1* RussELL, op. cit,, p. 218.

2. Car le même conséquent peut correspondre à plusieurs antécédents.

entre un antécédent et plusieurs conséquents, entre un antécédent et un conséquent.

Il importe de citer la formule qui traduit la première de ces définitions, parce qu'elle montre que celles-ci n'impliquent pas ridée du nombre i, mais seulement la relation d'identité entre individus :

Relation uniforme = Rel r^ R s {xRy . xRz , o^. y ^ z)

a Une relation uniforme est une relation R telle que xRy et xRz impliquent, quel que soit or, que y est identique à 2. »

Les relations sont susceptibles de relations et d'opérations . analogues à celles du Calcul des propositions et des classes. Il convient d'abord de définir Vinclusion et Yégaliié de deux relations.

Une relation /?j est contenue dans une relation R^ lorsque,

toutes les fois qu'elle a lieu entre deux termes quelconques ar

et î/, la relation R^ a lieu entre les mêmes termes, ce qui

s'écrit :

R^ o R^ . = : xR^y . o x,y . xRj/

Comme on voit, dire que la première est contenue dans la seconde, c'est dire qu'elle l'implique ou l'entraîne (exactement comme pour les propositions, et contrairement au préjugé courant qui considère la conséquence comme contenue dans sa prémisse).

Deux relations /?j, R^ sont égales lorsqu'elles sont contenues réciproquement l'une dans l'autre, ce qui s'écrit :

C'est la même définition que pour les propositions.

Cela posé, on peut définir l'addition et la multiplication logiques pour les relations. La somme logique de deux relations /^j, R^ est la relation qui existe entre deux termes quelconques X, ?/, dès qu'il existe entre eux l'une au moins dés relations /if^ R^ ; ce qui s'écrit :

X {R^^R^) y , = : xR^y .^ . xR^y

Le produit logique de deux relations 7?p R^ est la relation

qui existe entre deux termes quelconques x, y, dès que les

deux relations susdites existent à la fois entre eux; ce qui

s'écrit :

X {R^r^R^) y . = : xR^y . ri . xRj/

Bien entendu, il faut se garder de confondre le produit logique de deux relations avec leur produit relatif.

On défînit d'une manière analogue la somme et le produit logiques, non plus de deux relations, mais des relations de toute une classe : ces nouvelles définitions sont nécessaires, parce que les précédentes ne pourraient s'étendre (par induction complète) qu'à une classe finie de relations, tandis que les nouvelles valent pour une classe quelconque, infinie aussi ^bienque finie.

On est obligé de postuler, par des axiomes spéciaux, Texisteuce de la somme et du produit logiques ainsi définis pour toute une classe de relations.

Ces principes établis, on peut démontrer les deux théorèmes suivants :

i® Le produit relatif d'une relation uniforme et de sa converse est une relation transitive et symétrique;

2« Réciproque du précédent : Toute relation transitive et symétrique non nulle peut être considérée comme le produit relatif d'une relation uniforme et de sa converse; autrement dit, peut être analysée en deux relations uniformes de même espèce et de même sens qui unissent ses deux termes à un même troisième. Cette réciproque est très importante : elle constitue le principe d'abstraction, dont on verra la portée dans la théorie du nombre *.

Citons enfin un axiome important. Entre deux individus donnés il existe une relation singulière qui n'existe pas entre deux autres individus quelconques. Cet axiome est évident au point de vue de l'extension, puisque le couple considéré suffit, à ce point de vue, à définir une relation distincte de toutes