RussELL, Sur la Logique des relations

METHODOLOGIE 35

découvre des propositions nouvelles ^ C'est donc méconnaître ou déplacer la question que d'opposer à la Logistique une prétendue Logique de l'invention qui n'aurait aucune règle précise, si ce n'est de prendre le contre-pied de la vraie Logique démonstrative.

La méthode logique consiste dans un double processus de réduction : réduction des notions les unes aux autres, par la définition ; réduction des propositions les unes aux autres, par la démonstration. Démontrer une proposition, c'est la déduire de certaines autres, admises ou données comme vraies, au moyen des seuls principes de la Logique, ou, au point de vue formel, par des transformations permises par les règles du Calcul logique. Presque tous les principes formels de la Logique peuvent servir de règle ou de type à un mode de raisonnement. Tels sont, non seulement le principe du syllogisme, mais le principe de simplification, le principe de composition, le principe de contraposition, le principe d'importation et d'exportation et les formules du raisonnement hypothétique {modus ponenSy modus tollens) qui, on Ta vu, en dérivent. Il n'y a pas d'autre mode de démonstration valable en Mathématique que ceux qui sont valables en Logique ^. Tout autre procédé de raisonnement est aujourd'hui considéré comme illégitime, au moins comme moyen de démonstration, et ne peut servir tout au plus que de moyen d'invention ^.

1. Descârtes et Leibniz ont prétendu donner des méthodes d'invention, c'est-à-dire des procédés réguliers et sûrs pour trouver des vérités nouvelles. Mais ces méthodes, qui visaient toujours à résoudre des problèmes définis et déterminés, se réduisaient, au fond, à l'Algèbre et à la Logistique, c'est-à-dire à la Logique démonstrative que nous exposons ici.

2. On verra plus loin ce qu'il faut penser du pinncipe d'induction complèle^ considéré comme le type du raisonnement mathématique.

3. Si c'est ainsi qu'on entend distinguer la Logique de l'invention de la Logique démonstrative, nous n'avons rien à y redire. De tout temps l'intuition et même l'expérience ont servi à découvrir des vérités mathématiques (exemple, la quadrature de la parabole découverte par Archimède au moyen de la balance) ; mais jamais ces procédés empiriques n'ont passé pour des démonstrations mathématiques, ni n'en ont tenu lieu. Cf. M. BôcneR, The fundamental conceptions and methods of mathetnatics (§ VIII : Éléments non déductifs en mathématiques), ap. Bulletin ofthe AmeiHcan Mathematical Society^ t. XI, p. 115-135 (déc. 1904).

En revanche, il y a certains modes de raisonnement que des mathématiciens ingénieux et subtils ont employés, et qu*igiiorait la Logique classique. Tel est, par exemple, le mode de raisonnement employé par ëuglidb (livre IX, prop. 42) et par d'autres mathématiciens, qu*on peut traduire par la formule suivante :

« Si la négative d'une proposition implique cette proposition même, celle-ci est vraie * ». C*est là un mode de raisonnement tout à fait paradoxal, que seule la Logistique explique et justifie *.

Définir une notion, c'est la réduire à une combinaison logique d'autres notions, supposées connues. Au point de vue formel, une définition consiste dans une égalité logique établie entre un terme simple (le défini) et un terme complexe (le définissant). Cette égalité n*est pas affirmée comme proposition, elle n'est ni vraie ni fausse; elle est posée comme convention d'écriture et de langage. Et comme le défini n'a, par hypothèse, pas d'autre sens que le définissant, il peut être considéré comme un simple Jiom donné au définissant pour en abréger l'énoncé. C'est en ce sens qu'on peut dire que toute définition mathématique est nominale; cela signifie, non pas que les concepts mathématiques se réduisent à des noms (ce qui est la thèse nominaliste), mais qu'ils peuvent tous se définir d'une manière logique et explicite « en fonction » de quelques notions premières, et par suite être considérés comme des 7ioms imposés à telles et telles combinaisons de ces notions. L'égalité logique du défini et du définissant permet de les substituer partout l'un à l'autre, soit que, pour « expliquer» le défini, c'est-à-dire en développer et en expliciter le contenu

1. G. Vailati, Di un' opéra dimenticata ciel P. Girolamo Saccheri (Logica demonstrativaj 1697), ap. Rivista filosofica^ sept.-oct. 1903; Sur une classe de raisonnements par l'absurde, ap. Revue de Métaphysique , nov. 1904.

2. En effet, rimplication -pop équivaut à ralternative p ^ p, c'est-àdire simplement à p. D'ailleurs, puisque le faux implique le vrai, et non inversement, -p ne peut être que fausse, et p vraie.

et pour en démontrer les propriétés, on lui substitue le définissant; soit, au contraire, que pour s'élever à des notions ou propositions plus complexes on éprouve le besoin de condenser l'expression du définissant, auquel cas on lui substitue le défini. Tel est le fondement de cette grande règle de la méthode mathématique, qu'on peut et qu'on doit substituer le définissant au déOni, et réciproquement.

Par la définition et la démonstration, on réduit toutes les notions d'une théorie mathématique à quelques notions indéfinissables y et toutes ses propositions à quelques propositions indémontrables. Il ne faut attacher aucun sens absolu à ces épithètes d'indéfinissable et d'indémontrable : une notion n'est indéfinissable, une proposition n'est indémontrable que par rapport à un certain système de définitions et à un certain ordre de démonstrations ; dans un autre système ou dans un autre ordre, les mêmes notions pourront être définies, et les mêmes propositions pourront être démontrées. H ne faut donc pas non plus attribuer un sens absolu (épistémologique) aux expressions équivalentes de « notion première » et de « proposition première ».

Au point de vue formel, comme les notions prenrières ne sont pas définies, leur sens n'est pas déterminé, et n'intervient nullement dans l'enchaînement déductif des propositions, car celui-ci dépend uniquement des propositions premières et des définitions explicitement formulées. On peut donc considérer les notions premières comme de purs symboles, dont le sens est indéterminé et indifférent, et qui sont seulement assujettis à vérifier les propositions premières. On conçoit donc qu'une même théorie déductive formelle puisse recevoir plusieurs applications matériellement différentes, si l'on peut trouver pour l'ensemble des symboles non définis plusieurs interprétations qui vérifient également l'ensemble des propositions non démontrées. Cette possibilité de trouver diverses inlerpré^ dations pour une seule et même théorie déductive n'est pas seulement « économique » dans les applications scientifiques (puisqu'elle dispense de refaire les mêmes déductions pour

plusieurs ordres d*objets ^), mais elle est précieuse au point de vue logique, car, comme on va le voir, elle permet de découvrir et de démontrer certaines propriétés formelles de la théorie considérée.

Il y a évidemment avantage à ce que, dans une théorie déductive, Tensemble des propositions premières soit irréductible^ c'est-à-dire à ce qu'aucune d'elles ne puisse se déduire des autres; autrement il y aurait une sorte de pléonasme ou de superfluité dans le système des propositions premières, puisqu'on pourrait en supprimer une et la reléguer au rang de théorème. Or, si une proposition première est dépendante des autres, sa négative sera logiquement incompatible avec celles-ci (c'est même un moyen fréquemment employé pour démontrer cette dépendance). Donc, si l'on peut montrer que la négative d'une proposition première est compatible avec toutes les autres, on aura établi que cette proposition est indépendante des autres. Ainsi se justifie la règle suivante pour vérifier l'irréductibilité d'un système de propositions :

Pour qu'un système de propositions soit irréductible, il faut et il suffit que, pour chacune d'elles, on puisse trouver une interprétation des symboles non définis qui vérifie toutes les autres, mais non celle-là.

C'est par cette méthode que les mathématiciens vérifient l'irréductibilité d'un système d'axiomes ou de postulats; nous en verrons de nombreux exemples dans la suite de cet ouvrage.

D'autre part, il y a un intérêt manifeste à ce que l'ensemble des symboles non définis soit, lui aussi, irréductible, c'est-àdire qu'aucun d'eux ne puisse se définir au moyen des autres. Or, si l'un d'eux pouvait se définir au moyen des autres, son sens serait déterminé dès qu'on aurait ^imé le sens de tous les autres, et par suite on ne pourrait le changer qu'en changeant l'interprétation de ceux-ci ^. Donc, réciproquement, si l'on peut

1. On sait que c'est le cas pour beaucoup de Ihéories mathématiques de la Physique.

2. Bien entendu, cela implique que l'ensemble des symboles est soumis

changer le sens d'un seul symbole sans changer Tinlerprétation des autres, ce symbole sera indépendant des autres. Ainsi se justifie la règle suivante pour vérifier rirréductibilité d'un ensemble de symboles non définis :

Pour qu'un système de symboles non définis soit irréductible (par rapport à un système de propositions premières), il faut et il suffit que, pour chaque symbole non défini, on puisse trouver une interprétation du système qui vérifie le système des propositions premières, et qui continue à le vérifier quand on y change le sens du seul symbole considéré ^

Toute définition s'effectue au moyen de termes généraux, au moins virtuellement et en principe, de sorte que le défmi est toujours un terme général, une classe. Or, pour pouvoir ensuite raisonner sur cette classe et en invoquer les propriétés, il faut pouvoir affirmer qu'il existe des individus de cette classe, c'est-à-dire que cette classe n'est pas nulle (que les conditions qui la définissent ne sont pas absurdes, c'est-à-dire logiquement incompatibles). C'est pourquoi toute définition doit être accompagnée d'un théorème d'existence (ou d'un postulat d'existence) qui affirme l'existence de l'objet défini. D'autre part, il arrive souvent que ce qu'on veut définir n'est pas une classe, mais un individu. Pour pouvoir parler plus tard de cet individu (en mettant l'article défini devant le concept en question), il faut préalablement avoir démontré (lue la classe définie, non seulement existe, mais est singulière (ne contient qu'un individu); c'est ce qu'on fait, généralement, en prouvant que, si deux individus vérifient la définition, ils sont identiques '. On dit alors qu'on a établi Vexistence et Vunicité de l'objet défini.

Une définition n'est pas, à proprement parler, une proposi-

à un ensemble de propositions premières qu'ils vérifient, et qui par suite établissent des relations entre leurs sens, c'est-à-dire entre les notions qu'ils représentent.

1- A. Padoa, Essai (Tune théorie algébrique des nombres entiers^ précédé d'une introduction logique à une théorie déductive quelconque, ap. BibliO' thèque du r' Congrès de Philosophie, t. Ul (Paris, A. Colin, 1901).