Cf. la définition de la classe singulière (p

tion; car elle n'est ni vraie ni fausse. C'est une convention de langage (ou d'écriture), une imposition de nom qu'on ne peut discuter qu'au point de vue de Tusage ou de la commodité. Une défînition ne doit donc pas être considérée comme un princijje^ ni comme une source de vérité, — A cela on a objecté qu'une définition peut être une source de vérité, en tant qu'elle exprime la construction d'un concept; elle résulte d'une combinaison intellectuelle, d'une synthèse originale; elle enveloppe donc un jugement synthétique, qui affirme la légitimité du concept construit *. — Il y a là une confusion que les explications précédentes permettent de dissiper. La construction d'un concept n'est pas, par elle-même, un jugement, et ne peut donc pas être, directement, une source de vérité; et en effet, comme le remarquait Leibniz, si le concept est contradictoire, on pourra démontrer à son sujet des propositions contradictoires. Il faut d'abord pouvoir affirmer l'existence logique du concept défini; c'est cette affirmation, et non la définition, qui sera source de vérité. Ce n'est donc jamais la définition qui est responsable de ses conséquences (si même l'on peut dire qu'elle ait des conséquences), mais bien le jugement d'existence qui l'accompagne et qui la justifie ^.

Les définitions dont nous avons parlé jusqu'ici sont les définitions nominales ou mieux explicites. On emploie souvent en Mathématique des modes de définition qu'on pourrait^ appeler implicites^ parce que la notion à définir, au lieu d'être dégagée et isolée dans un membre d'une égalité logique, se trouve impliquée dans des combinaisons d'idées. L'un de ces modes est ce qu'on a appelé la définition jmr postulats* l^ consistée définir un ensemble de notions (qu'on ne peut pas définir séparément) en énonçant un ensemble de postulats qu'elles vérifient. Mais c'est précisément le cas de toutes les

1. G. Lechalas, ap. Annales de philosophie chrétienne^ 3* série, t. V , p. 9 (avril 1905).

2. Aux philosophes (particulièrement aux Kantiens) qui seraient tente de considérer les définitions comme des jugements synthétiques P^"^'*? . servir de principes, nods recommanderons la remarque frappante

M. Frege, citée p. 41, note 1.

notions indéûnissables : et il y a quelque cootradiclion, au moins verbale, à dire qu'on les définit par les postulais. Ce n'est paslà unevrs^ie définition, puisque cela suppose Tabsence d'une définilion (formelle et explicite). Ce qu'il faut dire, c'est qu'un ensemble de postulats détermine le sens des symboles non définis qui y figurent. Et encore, il ne le détermine que dans une certaine mesure : car, nous lavons déjà dit, un même système de postulats peut être vérifié par plusieurs interprétations assignées aux symboles non définis. Il en est de la Logique comme de l'Algèbre : un système de postulats est analogue à un système d'équations entre plusieurs inconnues; il peut déterminer la valeur de ces inconnues, et encore, d'une manière équivoque, s'il admet plusieurs solutions (voire une infinité] ; mais il peut aussi les laisser plus ou moins indéterminées. Pour savoir si vraiment il détermine les inconnues, c'est-à-dire le sens des symboles non définis, il faudrait pouvoir le résoudre par rapport à ces symboles, c'est-à-dire en extraire leur valeur ou leur expression en fonction des termes connus : mais alors on aurait la définition explicite de chacun d'eux. Ainsi une définition par postulats ne peut être considérée que comme provisoire, et doit être fmalement remplacée par un ensemble de définitions explicites; elle constitue un problème dont celles-ci forment la solution ^

Dans le cas où un ensemble de postulats ne contient qu'une seule notion première, il est facile d'en extraire la définition explicite de celle-ci : il suffît de dire que cette notion est telle qu'elle vérifie cet ensemble de postulats (ce qui s'énonce formellement au moyen du symbole a) ^. Mais il faut ensuite

!. Ainsi s'explique qu'on ait pu dire de certains axiomes qu'ils sont des définitions déguisées ou des parties de définitions. Mais il ne faut jamais oublier la distinction absolue des définitions et des principes. Citons à ce propos une remarque de M. G. Fkege : Si les axiomes pouvaient rentrer dans les définitions, l'argument ontologique serait justifié : on pourrait dire que Dieu existe par définition (Ueber die Grundlagen der Geoynetrie, BLp.Jahresbaricht der deutschen Malhematiker-Vereinigmig, t. XII, p. 371 ; 1903).

2. C'est, nous le verrons, ce qui a lieu pour la définition de la graii* deur.

démontrer Texistence et Tunicité de cette notion, comme pour toute autre définition explicite.

Une autre espèce de définition implicite e,st la définition par abstraction. Elle s'applique toujours à une fonction (mathématique ou logique), et consiste à dire dans quels cas cette fonction est égale à elle-même (pour des valeurs différentes de la variable), c'est-à-dire à quelle condition on a Tégalité formelle :

cp étant la fonction à définir. La notion de la fonction <p se dégage en quelque sorte jjar abstraction de la considération des divers cas qui correspondent à une même valeur. Ce procédé de définition est très fréquemment employé en Mathématique : toutes les fois, par exemple, que, pour définir une espèce de grandeurs, on indique les conditions d'égalité de deux grandeurs de cette espèce *. Mais une telle définition est évidemment fort imparfaite, et doit être remplacée, autant que possible, par une définition explicite. Or la Logique des relations fournit le moyen de transformer une définition par abstraction en une définition explicite. Une définition par abstraction a la forme suivante :

« Quels que soient les individus a?, y d'une certaine classe fl,

l'égalité (fx = ^y équivaut à une certaine relation R entre

X et y, »

Or la relation R est symétrique el transitive par hypothèse,

sans quoi elle ne pourrait pas servir à définir une égalité (qui

jouit des mêmes propriétés formelles). Donc, en vertu du

principe d'abs traction ^ il existe une relation uniforme S entre

chacun des individus x, y et un même terme s, de telle sorte

que :

X Ry , = , X S z ,y S z

1. Voir G. BuRALi-FoRTi, Sur Végalité et sur V introduction des éléments dérivés dans la science, ap. L'Enseignement mathématique^ t. I, p. 246-261 (1899).

C'est ce terme z qui est désigoé par <p x, op f/, etc., et qui est la « propriété commune » à x, y, etc. Ou peut le définir comme le conséquent de la relation 5, et déSnir la fonction 9 au moyen de la relation S, Ainsi les définitions par abstraction proviennent simplement d'une insuffisante analyse logique, et disparaissent devant la Logique des relations.

En résumé, les seules définitions véritables sont les définitions nominales et explicites; les définitions implicites ne sont que provisoires, et doivent se ramener à celles-là.