CHAPITRE II

C*est devenu aujourd'hui un Heu commun, parmi les mathématiciens, de soutenir que l'Analyse peut être constituée uniquement et entièrement avec la seule idée de nombre, et même de nombre entier. Telle est, semble-t-il, la conclusion philosophique de tout ce travail de reconstruction de la science qui s'est eiïectué depuis trente ou quarante ans sous Tinfluence de Weierstrass et de son école. Qu'un tel travail ait été utile, et même nécessaire, pour donner aux fondements de l'Analyse la rigueur et la clarté absolues qui leur faisaient défaut, personne ne songe à le contester; ce serait d'ailleurs, de la part des logiciens, une véritable ingratitude, car c'est cette refonte de la Mathématique pure qui a permis de découvrir qu'elle repose sur des principes logiques, et non sur l'intuition. Seulement il faut se défier de tout exclusivisme : or, en ramenant toute la Mathématique pure à l'unique donnée du nombre, on restreint arbitrairement la portée de la méthode mathématique. En outre, on méconnaît l'existence de théories d'un caractère mathématique indéniable, qui ne reposent nullement sur l'idée de nombre. Sans parler de la théorie des ensembles, qui relève de la Logique au moins autant que des Mathématiques, mais qui, en tout cas, est devenue la base indispensable de la théorie des fonctions, la théorie des substitutions et des groupes constitue un corps de doctrine où le nombre ne joue qu'un rôle accessoire, et dont Tobjet essentiel est l'idée d'ordre *. Il

i. Voir les Notes 1 et II, à la Gn du volume.

faut donc admettre au moins ces deux idées, celle de nombre et celle d'ordre, comme objets de la Mathématique pure, et cela, sans prétendre aucunement borner son domaine à ces deux objets. Quoi qu'il en soit, nous avons d*abord à définir ces deux idées en termes de Logique, ou plus exactement, en fonction des constantes logiques que nous connaissons déjà.

On sait que l'idée de nombre se présente sous une double forme, le nombre cardinal et le nombre ordinal; certains mathématiciens ont cru pouvoir soutenir que, de ces deux formes, c'est le nombre ordinal qui est antérieur à l'autre, qu'il est même le seul primitif et a priori. Telle n'est pas l'opinion de M. Russell, ni la nôtre, et nous en donnerons bientôt les raisons. Dans tous les cas, il y a un intérêt philosophique manifeste à séparer, si possible, l'idée de nombre de l'idée d'ordre, et par suite à définir le nombre cardinal avant le nombre ordinal, et indépendamment de lui.

Il y a plus : les nombres cardinaux eux-mêmes peuvent être présentés et définis de deux manières dififérentes : on peut les concevoir comme indépendants et isolés les uns des autres, ou les construire successivement par l'addition répétée de l'unité à elle-même; dans ce dernier cas, ils forment ce qu'on appelle la suite naturelle des nombres. Nous désignerons la première conception sous le nom de théorie cardinale^ par opposition à la seconde, qui mérite le nom de théorie ordinale. £t, toujours pour la même raison, nous exposerons la théorie cardinale avant la théorie ordinale; on verra d'ailleurs que ces deux théories, loin de se remplacer ou de se contrarier, se complètent l'une l'autre : la seconde repose sur la première, ce qui confirmera notre thèse de l'indépendance de l'idée de nombre (cardinal) par rapport à l'idée d'ordre.

§ A. — Théorie cardinale.

Beaucoup de philosophes croient pouvoir définir le nombre cardinal par l'opération du dénombrement. Il est aisé de voir qu'ils commettent un cercle vicieux. En effet, qu'est-ce que

dénombrer une collection d'objets? C'est faire correspondre ces objets, un à un, aux nombres entiers successifs (considérés alors comme de simples numéros d'ordre) depuis 1 jusqu'à n. On dit alors que le nombre des objets comptés est n. Pourquoi? Parce que n est le nombre cardinal des nombres entiers consécutifs depuis i jusqu'à n inclusivement. Mais cela suppose, d'abord, la notion de nombre cardinal, ensuite, l'ordre assigné à la « suite naturelle des nombres ». Ainsi tout essai de définition de ce genre implique la notion à définir, et, qui plus est, la complique inutilement en lui associant une idée d'ordre ^ A. plus forte raison sont vaines toutes les théories psychologiques qui invoquent de vagues « synthèses » mentales, et qui consistent en définitive à dire, par exemple, que la notion de dix est engendrée par dix actes d'attention successifs ; le cercle vicieux est encore plus flagrant. Il ne faut donc pas faire dépendre l'idée de nombre de l'acte du dénombrement, non seulement parce qu'il la présuppose, mais encore parce que le dénombrement siippose qu'une classe peut être « bien ordonnée », ce qui n'est peut-être pas vrai de toute classe; et enfin parce que le dénombrement ne donné un résultat que pour les classes finies, alors qu'il y a des classes infinies, et par suite des nombres cardinaux infinis'.

Ces considérations mettent toutefois sur la voie de la déQnition logique du nombre cardinal. Et d'abord, il importe de remarquer que le nombre cardinal est la propriété d'une classe considérée comme un tout, comme un objet, et non pas des objets individuels qui la composent. Quand on dit des apôtres qu'ils sont douze^ on ne peut pas en conclure que chacun des apôtres pris individuellement est douze^. C'est là un truisme, mais il est de grande conséquence, comme on le verra *. On est ainsi amené à rechercher quelle est cette propriété d'une

1. RussELL, The Principles of Mathematics, § 129. Cf. notre ouvrage De Vînfini mathématique, 2* partie, livre I, chap. ii.