Peano, Revtie de Mathématiques^ t. Vï, p

4. C'est la distinction que les Scolastiques faisaient déjà entre le sens distributif et le sens collectif d'un concept.

thAorie cardinale 47

classe qui fait qu'elle a tel nombre, et par suite dans quel cas ou dans quelles conditions deux classes auront le même nombre, c'est-à-dire à définir le nombre cardinal par abstraction.

Deux classes ont le même nombre, lorsqu*on peut établir entre leurs éléments une correspondance univoque et réciproque, autrement dit, une relation biuniforme^ ou, comme nous dirons pour abréger, lorsqu'elles sont équivalentes \ Cette définition est, comme on voit, purement logique. Il ne faut pas croire qu'elle implique l'idée du nombre un^: en effet, la relation biuniforme se définit uniquement au moyen de la relation d'identité entre individus '. Seulement cette définition a besoin d'une légère modification pour embrasser le cas de la classe nulle: car, toute relation supposant des termes, on ne sait pas ce qu'est une relation biuniforme entre deux classes nulles. On dira donc : « Deux classes a et b ont le même nombre, lorsqu'il existe une relation biuniforme dont le domaine comprend a, et telle que la classe des corrélatifs des termes de a soit identique à b ». Cette définition équivaut à la précédente, si les classes ne sont pas nulles ; et si elles sont nulles, chacune d'elles est contenue dans le domaine (et dans le codomaine) d'une relation biuniforme quelconque, de sorte qu'elles sont corrélatives. Il en résulte que deux classes nulles ont le même nombre, qu'on appellera {zéro). Ainsi le zéro arithmétique se trouve défini au moyen du zéro logique.

De même, deux classes singulières ont le même nombre, qu'on appellera 1 {un). Encore une fois, il ne faut pas croire que cette définition du nombre un constitue un cercle vicieux, car la définition de la classe singulière repose uniquement sur la relation d'identité *. D'ailleurs, s'il est vrai qu'elle implique en un sens Viinité ou plutôt ï individualité de l'élément consi-

1. Le mot correspondant en anglais est similar', mais il ne faut pas le traduire par semblable, qui correspond à like. Le mot correspondant en allemand est gleichzahlig; par sa composition, il semble impliquer un cercle vicieux, mais il ne l'implique pas en réalité. Cf. Frege, Grundlagcn der Arithmetik, § 68 (1884).

2. Comme nous Tavons soutenu {De VInfini mathéynatique, loc. cit.).