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déré, celte unité ne peut être identique au nombre un qu'il s'agit de définir : car celte unité est une propriété de chaque élément, tandis que le nombre un est la propriété d'une classe. La différence de ces deux idées apparaît encore mieux quand on a à considérer une classe comme élément d'une autre classe; car alors la même classe a, comme classe, un nombre cardinal (qui peut être i ou un autre nombre), et, comme élémenty l'espèce d'unité que possède tout élément. Si ces deux idées n'étaient pas distinctes, toutes les classes auraient le nombre 1 (en tant qu'éléments possibles), ou bien on ne pourrait pas concevoir des classes de classes, c'est-à-dire considérer à son tour une classe comme un élément (comme une « unité »). Donc, dans tous les cas, les unités qui constituent un nombre cardinal sont différentes du nombre un.

Cette définition par abstraction est parfaitement logique; mais elle possède un grave défaut, commun à toutes les déOnitions par abstraction : elle ne montre pas Texistence et runicité de l'objet défini. En effet, elle définit le nombre cardinal comme la propriété commune aux classes e(/Miya/e«/es. Or rien n'assure, d'une part, que ces classes ont une propriété commune, et, d'autre part, qu'elles n'ont qu'une propriété commune. Tout ce qu'on peut dire, c'est que la définition permet de répartir toutes les classes possibles en classes de classes caractérisées par le fait que toutes les classes d'une classe « ont le même nombre», cette expression signifiant simplement qu'elles sont équivalentes. En efl'et, la relation d'équivalence est symétrique et transitive : si deux classes A et B sont équivalentes à une même classe C, elles sont équivalentes entre elles. Par suite, et plus généralement, si deux classes A et B sont équivalentes, les concepts « classé équivalente à A » et « classe équivalente à B» auront la même extension, c'est-à-dire détermineront la même classe de classes *. On a ainsi les deux propositions réciproques suivantes : Deux classes de la même classe ont le même nombre ; deux classes qui ont le même nombre appartiennent à la même