THÉORIE CARDINALE

classe [d'où, par contraposition : deux classes appartenant à des classes différentes ont des nombres différents). Il y a donc Une correspondance biuniforme entre les nombres cardinaux et les classes de classes. Mais alors, il existe tout au moins une entité, et une entité unique qui correspond à chaque nombre cardinal : et c'est précisément la classe des classes qui sont dites avoir ce nombre. On peut donc considérer cette classe de classes comme représentant le nombre cardinal correspondant. C'est d'ailleurs la conclusion à laquelle on est conduit par le principe d'abstraction, qui n'est pas un axiome ou un postulat, mais un théorème de la Logique des relations, énoncé et démontré par M. Russell*. On établit d*abord que, si S est une relation uniforme, la relation R=zS*^S est symétrique et transitive *. Le principe d'abstraction est la réciproque de ce théorème : Si R est une relation symétrique et transitive*, il existe une relation uniforme 5 telle que R = S •^S. Autrement dit, s'il existe entre deux objets quelconques d'une certaine classe une relation symétrique et transitive, cette relation peut être ramenée à une même relation uniforme que ces objets ont avec un même terme. Ce principe est d'une application très fréquente en Mathématique, toutes les fois qu'on emploie une définition par abstraction. Il a pour effet de ramener toute relation symétrique et transitive à une espèce d'égalité (c'està-dire d'identité). L'égalité * est elle-même une relation symétrique et transitive; c'est pourquoi on peut y ramener et on y ramène en effet toutes les relations de la même forme. Par exemple, deux vecteurs parallèles, de même longueur et de même sens, sont dits équipollents (Bellavitis) ; l'équipollence est une espèce d'égalité. De même, deux segments (deux surfaces, deux solides) congruents sont dits égaux (en grandeur) et

1. Op, cit., p. 166, 220; Sur la Logique des relations, P. 6. 2.

2. Rappelons que, par définition, la relation S*^S est celle qui existe entre ^ et y, dès qu'on a : xSz et ySz (= z^Sy).