Non nulle, c'est-à-dire existant entre quelques termes

4. Logique ou mathématique, c'est tout un, car, comme M. Frboe l'a excellemment montré, l'égalité mathématique n'est pas autre chose que l'égalité logique, c'est-à-dire l'identité (op, cit,, § 65).

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. *

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considérés comme ayant la même longueur (la même aire, le même volume). De même en Géomélrie projecUve : deux droites paraiièUs •;relaUon symétrique et transitive) sont dites avoir la même direction, ou encore avoir en commun un point à l'infini. De même en Physique : deux corps qui se font équilibre dans une balance sont dits avoir le même poids ; deux corps en équilibre thermique sont dits avoir la même température; deux corps en équilibre électrique sont dits être au même potentiel ; et ainsi de suite. On voit en quoi consiste dans chaque cas Yabstriution : toute relation symétrique et transitive entre des objets d^une certaine espèce peut servir à les répartir en classes telles que cette relation existe entre deux éléments quelconques d*une même classe, et n'existe pas entre deux éléments quelconques de classes différentes. On dit vulgairement que les éléments d'une même classe ont une propriété commune, c*està-dire un attribut qui est le même pour tous, et qui caractérise la classe. Mais, quel que soit cet attribut, et qu'il existe ou non, le fait seul d'appartenir à la même classe constitue une propriété identique de tous ses éléments, qui suffît à les caractériser, de sorte que la classe elle-même peut être considérée comme Tattribut commun de ses membres; elle le représente et peut au besoin en tenir lieu *.

Si Ton applique le principe dTabsiraction aux classes équivalentes^ on pourra et devra détinir le nombre cardinal comme une classe de classes équivalentes : autant il y aura de classes de classes équivalentes, autant il y aura de nombres cardinaux. Au premier abord, cette définition choque le sens commun : un nombre cardinal n'est pas, semble-t-il, une classe de classes équivalentes, mais la propriété commune à ces classes. Mais d'abord, en Logistique, une classe quelconque représente la « propriété commune » à tous ses éléments. En effet, chaque concept figure dans le calcul logique par son extension, qui est une classe ; et inversement, chaque classe correspond (ou peut correspondre) à un concept qui est l'attribut commun de ses

1. Le principe d'abstracUon n'a donc pas pour résultat d effectuer Tabstraction, mais au contraire d'en dispenser et de la remplacer.

THÉOBIE CARDINALE 51

éléments. Par exemple, le terme homme (soit A) ne représente pas dans le calcul logique Tattribut de Vhufnanité^ mais la classe des hommes ^ Lorsqu'on dit : xth(x est un homme), cela signifie exactement^ non pas que x possède la qualité d^élre homme, mais que x fait partie, comme individu, de la classe homme (ce qui est équivalent). 11 n'est certes pas interdit de penser en compréhension les concepts et leurs relations, mais ils n'entrent dans les formules que par leur extension, et ce sont leurs relations d'extension qui servent de base au calcul logique. On comprend donc qu'un nombre cardinal ne soit représenté dans ce calcul, comme tous les autres concepts, que par son extension, c'est-à-dire par la classe des classes qui possèdent ce nombre cardinal. D'ailleurs, cette manière de voir n'est pas si contraire qu'on le croit au sens commun et même à l'usage. Le nombre deux, c'est l'idée de couple; le nombre trois, c'est l'idée de trio, et ainsi de suite. Or qu'est-ce que couple, trio, etc., sinon des noms communs de certaines espèces de classes? Ne dit-on pas, même couramment : « un cent, un mille », comme si cent, mille étaient des noms génériques d'objets? En tout cas, celte manière de considérer les nombres cardinaux est la plus simple et la plus commode pour les faire entrer dans le calcul logique *; et cela se comprend, puisque, comme nous venons de l'expliquer, les concepts n'y figurent que par leur extension. On est obligé d'y employer une tournure dont voici un exemple familier :

apôtre e 12,

c'est-à-dire : la classe des apôtres est une des classes qui ont pour nombre 12, ou, comme on dit vulgairement, est une douzaine '. On voit par là que cette façon de penser, quoique

1. Que l'on appelle aussi V humanité. C'est là un exemple des équivoques dont fourmillent les langues naturelles, et que seule une langue artificielle peut éviter {V Espéranto dit homeco dans le premier sens, et homaro dans le second).

2. C'est ce dont nous nous sommes convaincu par la lecture du mémoire de M. WarreBEAD : On cardinal numbers, ap. American Journal of Mathematics, t. XXIV (1902).

3. On remarquera que cette façon de s'exprimer, loin de prêter à équi-

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peu usuelle, n*a rien de paradoxal ni surtout d'illogique ^ On remarquera que cette définition des nombres cardinaux définit chacun d'eux indépendamment de tous les autres, et ne leur assigne aucun ordre ni aucune relation. C'est seulement lorsqu'on aura défini l'inégalité des nombres, c'est-à-dire ia relation plus grand que ou plus petit que, que l'on pourra les ranger par ordre de grandeur. D'autre part, on ne pourra pas dire que deux nombres sont égaux : deux nombres qui ne sont pas différents sont identiques ; seules, les collections auxquelles ils correspondent peuvent être dites égales (numériquement), précisément parce qu'elles ont le même nombre. Quand on parle de « nombres égaux », on considère en réalité le même nombre, soit représenté sous des formes diverses (exemple : 7 H- 5 et 12), soit incarné dans des collections difTérentes. Ainsi l'égalité mathématique se ramène, en dernière analyse, à l'égalifé logique, c'est-à-dire à l'identité d'un concept.

Montrons brièvement qu'on peut définir aussi les opérations arithmétiques sans faire intervenir l'idée d'ordre. L'addition arithmétique se définit au moyen de l'addition logique: la somme arithmétique de deux nombres cardinaux a et p (correspondant à deux classes a et b) est le nombre cardinal de la somme logique des classes a et 6, à la condition que ces deux classes soient rfis/oin^^s (n'aient aucun élément commun)'. Cette définition s'étend sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de classes disjointes, lors même que ce nombre

Yoque, permet de dissiper les sophismes du genre de celui auquel nous avons fait allusion plus haut; en effet, de « Pierre s apôtre », et «apôtres 12 », on ne peut déduire : « Pierre e 12 », puisque la copule e n'est pas transitive. Le sophisme en question n'est possible que par la confusion verbale des deux copules eet o (traduites toutes deux dans le langage par le verbe être),

1. Cette théorie, suivant laquelle le nombre cardinal d'une classe u serait l'ensemble des classes équivalentes à u, est en somme celle que M. Frege a soutenue dès 1884 dans ses Grundlagen der Arithmetik. M. RussELL y est arrivé d'une manière indépendante (op. cit., p. VI, VIII), en partant des travaux de M. Peano, ce qui constitue une rencontre fort intéressante.