Id., op. cit., chap. xv

4. On appelle partie intégrante une partie non égale au tout. En particulier, on obtient une partie intégrante d'une classe en retranchant à celle-ci un de ses éléments.

et démontrer l'autre, ou la postuler coinme un axiome *. M. Georg Gantor a essayé de démontrer qu'un ensemble fini n'est équivalent à aucune de ses parties, et qu'un ensemble infini est équivalent à une partie intégrante de lui-même*; mais cette double démonstration repose d'une part sur une définition insuffisante des nombres cardinaux finis', et d*autre part sur cette proposition, que tout ensemble infini contient un ensemble équivalent à la suite naturelle des nombres (de nombre cardinal a^) *; or celte proposition, qui parait évidente, n'a pas encore été rigoureusement démontrée.

M. Whitehëad a également essayé de démontrer que les deux définitions en question sont équivalentes'^; voici comment : Les nombres cardinaux finis étant définis comme ceux qu'on obtient par Tinduction complète (en partant de 0), les classes finies sont par définition les classes qui possèdent un nombre cardinal fini; les nombres infinis et les classes infinies sont alors définis d'une manière purement négative. Cela posé, on définit le nombre a^ comme le nombre cardinal des nombres finis; on démontre alors que a^ est un nombre infini, et que toute classe infinie contient une partie qui a pour nombre a^ (d'où il résulte que a^ est le premier ou le plus petit des nombres infinis). De là on déduit qu'aucune classe finie n'est équivalente à une partie intégrante d'elle-même, et que toute classe infinie est équivalente à une partie intégrante d'ellemême, d'où il résulte que cette propriété est caractéristique des classes infinies. L'équivalence des deux définitions se trouve ainsi établie*.

1. C^est ce que faisait encore M. Kussell dans son mémoire Sur la Logique des relations [Revue de Mathématiques, t. VII, p. 135-136; août 1901).

2. Sur les fondements de la théoHe des ensembles transfinisy § 6, théorèmes C et D.