Ibid., § 6, théorème À

5. On the cardinal numbers, Section III, ap. American Journal of Mathematics, t. XXIV, n° 4 (octobre 1902).

6. Toutefois, celte démonstration suppose la proposition énoncée p. 53, note 3, qui, si évidente qu'elle paraisse, n'est pas encore démontrée. Dans son mémoire Le classe finite (1896), M. Burali-Forti déduisait le principe

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. ^

66 l'idée de nombre

D*ailleurs, on peut déûnir le premier nombre infini (cl^) sans présupposer la suite naturelle des nombres finis; par exemple, on peut dire que Oq est le nombre cardinal de toute classe u qui possède les propriétés suivantes : u est le domaine d'une relation biuniforme Ji, dont le codomaine est contenu dans u mais non égal au; ti contient un élément qui est un antécédent de j sans en être un conséquent, et contient en outre les conséquents de toutes les relations /{ dont elle contient les antécédents ^ On voit que cette définition est purement logique, et qu'elle n'implique nullement la notion de nombre entier fini^

L'inégalité des nombres inGnis est toute différente de celle des nombres finis : on ne change pas un nombre infini en loi ajoutant ou retranchant une unité, ni par suite (en vertu du principe d'induction) en lui ajoutant ou retranchant un nombre fini. Pour que deux nombres infinis (correspondant à deux classes a et à) soient inégaux, il ne suffit pas que la classe a soit équivalente à une partie intégrante de la classe b : car elle pourrait en même temps (étant infinie) être équivalente à la classe b tout entière. Le nombre cardinal de a est plus petit que celui de 6, si a est équivalente à une partie intégrante de ft, et si b n'est équivalente à aucune partie intégrante de a. On a prouvé d'ailleurs que, si Ton a à la fois a équivalente à une partie intégrante de ô et 6 équivalente à une partie intégrante de a, les deux classes a et 6 sont équivalentes, et par suite leurs nombres cardinaux sont égaux (ou plutôt identiques) ^

d'induction de la déûnition cardinale de l'infini, mais au moyen du postulai

suivant :

§ 2 P. n : MeK'(K-iA).o. w <w'M

« Si u est une classe de classes non nulles, son nombre cardinal est inférieur ou égal à celui de tous les éléments de ces classes. »

1. Pour faire mieux comprendre cette définition, on peut dire que la relation R est la relation d'un nombre au nombre suivant, et que par suite le conséquent de cette relation est le « suivant » de l'antécédent (Russbll, op, cit., p. 122).

2. Cette définition est exactement équivalente à la définition de la suite naturelle des nombres, telle qu'elle résulte des cinq axiomes de M. Peaso (RussELL, op. cit., p. 121); elle est également équivalente à la définition de la progression donnée plus bas (p. 237).

3. Théorème de Bernstein, démontré ap. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions. Note I (Paris, 1898); Russbll, op. cit., p. 306.

Ces défÎDÎtions de l'égalité et de rinégalité des nombres inRiiis sont purement cardinales, et n'impliquent aucune référence aux nombres finis.

La théorie des nombres cardinaux peut donc être constituée tout entière d'une manière directe et indépendante, sur des hases purement logiques, sans faire appel à l'idée d'ordre, sans même invoquer la distinction des nombres finis et infinis, ni par suite le principe d'induction ^ Cela est prouvé par la Logistique dans le mémoire de M. Whitehead, où Ton trouve la démonstration absolument générale de la loi associative pour Taddition et la multiplication, et de la loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition. On y trouve même (Section Y) la définition des puissances d'un nombre cardinal, celle des arrangements, des combinaisons et des permutations d'un nombre quelconque (même infini) d'objets, et la démonstration des principaux théorèmes relatifs à ces notions, par exemple la généralisation de la formule du binôme. Tout cela est obtenu au moyen de la Logique des relations, qui apparaît décidément comme le véritable organon des Mathématiques pures. Grâce à elle, MM. Russell et WmTEHEAD ont pu démontrer formellement, en partant de principes purement logiques, toutes les propositions de la théorie des ensembles découvertes par Georg Cantor, confirmer ainsi la validité logique de cette théorie, et la purger de tout postulat et de tout appel à l'intuition.

1- On pourrait presque dire que la théorie des nombres infinis est plus simple que celle des nombres finis, puisqu'elle n'a pas besoin, comme celle-ci, du principe d'induction, et qu'on peut l'établir sans passer par la théorie des nombres finis.