CHAPITRE III

LIDEE DORDRE

Nous avons dégagé l'idée de nombre de toute immixtion de ridée d'ordre; mais nous avons vu par là même combien celle-ci a d'affinités avec celle-là. C*est que Tune et l'autre ont pour matière ou pour support des classes ou ensembles; seulement, tandis qu'une classe, dès qu'elle est donnée et déterminée, a un nombre, elle n'a un ordre que moyennant certaines relations établies entre ses éléments. L'idée d'ordre est donc moios primitive et moins simple que l'idée de nombre. Pour la définir, il convient de rechercher quelles espèces de relations établissent ou constituent un ordre entre les éléments d'une même classe.

§ A. — Les relations d'ordre.

Il y a, comme on sait, deux espèces d'ordres : V ordre linéaire et l'orrfre circulaire. Dans le premier, un terme est avant ou après un autre, il est ou n'est pas entre deux autres ; dans le second, on ne peut plus affirmer ces relations, on peut seulement dire qu'un couple de termes a, b est séparé par un autre couplée, d, si ces quatre termes sont dans l'ordre : acbda.,. ou adbca,,. Une classe soumise à un ordre linéaire s'appelle une suite ouverte; soumise à un ordre circulaire, suite fermée ^ M. Russbll conclut des définitions précédentes qu'il faut trois termes pour définir un ordre linéaire, et quatre pour définir un ordre circulaire.

1. Le mot anglais senes correspondant à la fois aux deux termes techniques suite et série (en allemand : Folge et Reihe), nous croyons devoir le traduire ici par suite.

Gela dépend de ce qu'on entend par ordre : si l*on n'attribue aucun sens à Tordre, il est clair que deux termes a, b n^ont pas d'ordre, la disposition ab étant indiscernable de la disposition ba ; Tordre ne sera déterminé que si Ton introduit un troisième terme, car alors abc (ou cba) diffère de acb (ou bca). C'est pourquoi M. Russell fait consister alors Yélément ordinal en un trio de termes tels que Tun d'eux est dit être entre les deux autres. De même, si Ton n'attribue aucun sens à Tordre circulaire, trois termes a, 6, c n'auront aucun ordre, la disposition ahca,.. étant indiscernable de la disposition acba.,. L'ordre ne sera déterminé que par l'introduction d'un quatrième terme. C'est pourquoi M. Russell fait consister alors Vêlement ordinal en deux couples de termes qui se séparent mutuellement. Mais, si Ton attribue un sens à Tordre, deux termes pourront avoir un ordre linéaire, suivant que a est avant ou après b; et trois termes pourront avoir un ordre circulaire, suivant que Ton aura, dans le sens direct, la succession abc ou la succession cba. Quoi qu'il en soit, tout ordre suppose ou implique des relations asymétriques entre deux termes quelconques, et la question de savoir si une telle relation définit déjà un ordre entre ses deux termes n'est plus qu'une question de mois. L'essentiel est d'énunaérerles différentes re/a^ion* génératrices d'ordre^ pour pouvoir classer ensuite les diverses espèces d'ordre, et, s'il se peut, les ramener à Tunité.

La méthode la plus simple pour définir un ordre est la suivante (que nous avons déjà rencontrée dans la théorie des nombres finis). Soit une classe, finie ou infinie, et soit une relation S* asymétrique et biuniforme (donc intransitive) ^. Chaque terme de la classe est un antécédent de cette relation (à l'exception peut-être d'un seul, qui sera alors le premier); et chaque terme de la classe est un conséquent de cette relation (à l'exception peut-être d'un seul, qui sera alors le dernier); Ott suppose en outre que, %i aS b et bSc, on n'a pas \ cS a (on

1. Pour plus de clarté, on pourra lire S : « est le suivant de ». 2' Car, si elle n'était pas intransitive, on aurait à la fois aSh^ bSc et œ5c, ce qui serait contraire à son uniformité.

10 L'IDÉB D'ORDRE

D'à pas nOQ plus : a Se, puisque la relation ■§ est intransitive). On dira, dans ce cas, que b est entre a et c. La suite ainsi ordonnée peut avoir un premier et un dernier terme, ou seulement un premier terme, ou enfin n'avoir ni premier ni dernier terme. Dans le 1" cas, le nombre de ses termes est fiai ; dans le 2' cas, le nombre de ses termes est infini; dans le 3' cas, ce nombre est infini si la suite est ouverte, et fini si U suite est fermée '.

Cette première méthode fournit uniquement des suites à termes consécutifs. La seconde est affranchie de cette restriction, mais elle ne fournit pas de suites fermées. Elle consiste à donner une relation transitive asymétrique P qui existe entre deux quelconques des termes de la classe. Autrement dit, soient x, y, z des termes différents de la classe, on a nécessairement une, et une seule, des deux relations : x Py, y Px, et « l'on a : xPy, y Pi, on a aussi nécessairement : xPz^. On peut démontrer alors que, sur trois termes quelconques de la classe, il y en a toujours un qui est entre les deux autres (qui précède l'un et suit l'autre); par conséquent, la classe forme toujours une suite unique (ou connexe). Elle ne peut pas former une suite fermée, car, à cause de la transilivilé de la relation i*, on aurait alors xPx, ce qui est impossible, cette relation étant asymétrique.

Une troisième méthode consiste it ranger tous les termes

d'une classe suivant leurs distances à un même terme x : «s

dislances sont des grandeurs inégales, et on peut ranger les

termes par ordre de distance croissante (ou décroissante). Si'^

me X n'est pas le premier (ou le dernier), il y aura des dis-

ices négatives, qui seront considérées comme plus petites q"*

o' et que toutes les distances positives. En outre, 1^

tances doivent avoir un sens déterminé, c'est-à-dire être

. Nous supposons qu'elle est connexe, c'est-b-dire ne se décompose pU Plusieurs suites n'ayant aucun terme commun et aucune relation cDtK rs termes respectifs.

La relation P peut se lire : - précède •; la relation converse 'F se''" ■s: ■ suit ■.

. Le zéro de distance est la dislance d'un terme à lui-m^me.

des relations asymétriques. Pour que Tordre soit indépendant du terme (or) pris pour point de repère, il faut que Taxioroe suivant soit vérifié : « Si xz est plus petite que xu% yz doit être plus petite que yw ». Ce cas peut se ramener au précédent en prenant pour la relation xPy la relation : ary > (dire que x précède y, c'est dire que la distance xy est plus grande que zéro). Cette réduction postule un nouvel axiome : « Si Ton a xz = yw, et xy = ziv\ les termes w et iv' doivent être identiques. »

Une quatrième méthode consiste à donner une relation à trois termes yR{x, 2), qui signifiera que y est entre x et :;. Cette relation sera symétrique par rapport à x et z, c'est-à-dire que : t/7?(ar, z) = t/^(z,iF). Écrivons, pour rendre la notation plus simple et plus intuitive : {xyz). Il faut postuler les deux axiomes suivants : a Si Ton a : (ooyz) et {yziv), on doit avoir aussi : (xyw) et {xzw), » — « Si Ton a : (xyw) et (yztv)^ on doit avoir aussi : {xzw) et {xyz), »

Les méthodes précédentes ne peuvent donner naissance à des suites continues fermées, ce qui est au contraire le propre des deux suivantes. La cinquième méthode consiste à établir une relation asymétrique R entre des relations asymétriques J?, y, 2,... formant une classe; cette relation J{ est telle qu'elle existe entre deux relations quelconques x et y, à moins que y ne soit la converse de or, et que, si elle existe entre x et y, elle existe aussi entre y et ^x, La suite ainsi définie est fermée : car xRy . o. y R^'x , o . ""x RHj . o . cy Rx. Deux termes converses l'un de l'autre, comme ^x et x, ^y et ?/, sont dits opposés. Dans une suite de ce genre, on ne peut pas dire qu'un terme est entre deux autres; mais on peut dire que deux couples de termes se séparent mutuellement. Un exemple de celte espèce d'ordre est fourni par les angles (qui sont des relations entre les demi-droites issues d'un même point dans un même plan).

La sixième et dernière méthode, qui engendre aussi des suites fermées, consiste à établir directement entre les termes d'une classe la relation à 4 termes qui signifie que deux couples

72 l'idée d*ordre

se séparent mutuellement. Pour dire que les couples (a, b) et {Cf d) se séparent mutuellement, on écrira : ab \\ cd. Cet ordre postule les cinq axiomes suivants :

!• a6 II cd. = .crf II a6 (la relation est symétrique par rapport aux deux couples) ;

2« ab\\cd. = ,ab\\dc (la relation est symétrique par rapport aux deux termes de chaque couple) ;

3*" ab II cd exclut ac \\ bd\

4"^ Pour 4 termes quelconques a, by c, d, on a, soit ab \\ cdy soit ac II bd^ soit ad \\bc\

5® Si Ton a : a6 II cd, et ad \\ be, on a aussi : ad \\ ce.

Ces cinq axiomes sont suffisants S et en outre ils sont indépendants dans Tordre où ils sont formulés, c'est-à-dire que chacun d'eux est indépendant des précédents ^

Telles sont les six méthodes qu'on peut employer, et qu'on emploie en fait pour définir un ordre. On remarquera que la plupart des auteurs qui ont traité de l'ordre n*en connaisseat qu'une ou deux; si cette énuméralion est complète, c'est qu'elle repose, non sur des vues a priori^ mais sur l'étude des Mathématiques modernes. Cela prouve, en passant, qu'il y a plus d'enseignements, d'exemples et de documents relatifs à la méthode dans les livres des mathématiciens que dans tous les traités de Logique. Reste à savoir ce qu'il y a de commun entre ces six méthodes; car, bien qu'elles aient chacune leurs caractères spéciaux, la nature de l'ordre défini ne dépend pas de la méthode employée; le même ordre peut être défini par plusieurs méthodes. Il s'agit de découvrir ce qui constitue Yessence de l'ordre, et de ramener autant que possible ces six méthodes à un fondement commun ^

En premier lieu, on peut ramener toutes les relations génératrices d'ordre à deux, que nous avons déjà mentionnées : la relation d^entre entre trois termes, et la relation de séparation