RussBLL, op. cit,, chap. xxv

LES RELATIONS d'oRDRE 73

entre quatre termes. Analysons d'abord la relation d'entre ^ Quand on dit que le terme y est entre les termes x et s, on veut dire que x précède y et que y précède z : soit P la relation précède, on écrira : x Py . y Pz. Mais la relation précède est essentiellement asymétrique : on ne peut pas avoir : yPx^ ni zPy, de sorte qu'on a: y^Px, z^Py. Il semble qu*il faille ajouter une cinquième condition : s-Px, pour exclure le cas où la suite serait fermée; car, dans une suite fermée, on ne peut plus dire de trois termes donnés que Tun est entre les deux autres. Mais cette condition est inutile, comme on va le voir. Posons donc, pour abréger :

xyz . = . xPy . yPz , z-Py , y~Px

et voyons si la relation xyz correspond bien à la notion d'cn/re. Celle-ci vérifie les deux axiomes suivants : 1® Si y est entre x et z, et si z est entre y et w, alors z est entre x et w; 2° Si y est entre x et z, et w entre x et y, alors y est entre iv et z. Or on peut vérifier que xyz et yziv impliquent xyw^ conformément au 1" axiome, si la relation P est transitive, et alors seulement. Mais si elle n'est pas transitive (ce qui est le cas dans la 1" méthode, où P est une relation biuniforme), on peut la remplacer par une relation R qui est la somme logique des puissances de P, et qui sera transitive^. Mais, la relation P étant asymétrique, la relation R doit l'être aussi; OD ne pourra donc jamais avoir : x^Ry (ou yRx), c'est-à-dire que la suite ne pourra pas être fermée ^ On voit que dans ce cas la condition z- Par devient inutile.

1. On voudrait pouvoir dire : « inler-ité », comme on dit en anglais : ^^tweenness. On peut le dire dans une langue artificielle (en Ksperanto : ^tereco).

2. Voici ce que cela signifie en langage ordinaire. Soit P = précède immédiatement : cette relation est biuniforme, donc intransitive : si l'on a : xPy , yPzy on ne peut pas avoir : xPz-, mais on a : xP^z {P^ étant 'e produit relatif de P par lui-même). On aura de même, si zPw : xPhv, et ainsi de suite. Les relations P^^ P^,... Pn sont avec /* les puissances successives de la relation P; toutes sont bi uniformes et intransitives. Mais leur somme logique R est transitive, car elle signifie : précède (immédiatement ou non), et Ton a : xRy, yRz, zRwj... xRz, yfittj,... xRw,..,

3. Car si l'on avait : xRy . yRr, on aurait (fl étant transitive) : xRx,

D'autre part, x^i et xivy impliquent wyz, coDformément au 2' axiome, mais seulement bI P n'est pas une relation biuDÎforme. Ici encore, on n'aura qu'à remplacer P par R. Et la condition que /** ue doit jamais être égale à°P (que la suite ne doit pas être Termée) équivaut à celle-ci, que R doit être asymétrique. On peut donc conclure finalement : « Dire que y est entre x et :, c'est dire qu'il y a une relation asymétrique transitive entre x et t/ et entre y el z. n Rien de plus, rieD de moins : c'est U exactement le sens de la relation d'entre, ou, pour parler mathématiquement, c'est là la condition nécetsnire et suffisante de l'existence de cette relation.

Nous avons là un exemple remarquable de l'analyse d'une

relaiion & 3 termes en 2 relations à 2 termes. On pourrait

feire l'objection suivante : La relation d'entre est symétrique

par rapport aux deux termes extrêmes ; dire que y est entre x

et : n'implique nullement que x soit le premier et z le dernier,

ni même que l'un de ces termes précède l'autre. 11 semble donc

que la relation A 2 termes entre x et y, y el i, ne doive pas être

asymétrique. Mais, si elle n'était pas asymétrique, il se pourrait

que y eût la même relation par rapport à x et à a, et fût par

suilc « du même côté » par rapport h ces deux termes, au

lieu d'être entre eux. D'ailleurs, il faut remarquer que, dans la

définition formulée ci-dessus, rien n'indique le sens de la

relation h 2 termes qui doit exister entre x et ^, y et s : elle

peut être aussi bien suit que précède. Le fait que ce sens reste

erminé traduit précisément la symétrie de la relation a

nés. Il n'y a donc rien d'impossible ni de paradoxal à ce

le relation à 3 termes symétrique corresponde à deuï

ons à 2 termes asymétriques.

isons à la relation de séparation entre 4 ternies. On va )u'clle est aussi réductible à une relation transitive asya>^ e entre â termes. Bn effet, on peut démontrer que, sH

le la relation R ae serait plus asymétrique. En d'autres D avait, pour une puissance quelconque de P, P" = »?.<''' = t^J- . P, ce qui est la relation d'idenlilé, P éUnl biulin terme», on relomberaii sur le 1" terme x.

existe uae relation transitive asymétrique entre deux termes quelconques d*une suite de quatre termes au moins, les termes de cette suite, pris quatre à quatre, présentent la relation de séparation, caractérisée parles cinq axiomes de Vailati. Inversement, M. Vailati a démontré que, s'il y a relation de séparation, c'est-à-diie si les cinq axiomes sont vérifiés par cinq termes quelconques d'une suite, il existe entre deux termes quelconques une relation transitive asymétrique (précède)^ de sorte que la relation de séparation entre quatre termes a, 6, c, d se réduit aux trois relations binaires : a précède 6, b précède c, c précède d. L'existence d'une relation binaire transitive asymétrique, étant à la fois la condition nécessaire et suffisante de l'existence d'une relation de séparation, lui est exactement équivalente, et peut lui être substituée dans tous les cas. Toutefois, il faut remarquer que cette réduction repose sur la considération de trois termes fixes (par exemple a, 6, c) par rapport auxquels est définie la relation binaire (entre d et e^ considérés comme variables).

Ainsi toutes les méthodes génératrices d'ordre ont été ramenées à deux relations, Tune ternaire {entre), l'autre quaternaire (séparation), et ces deux relations à leur tour peuvent se réduire à un seul et même type de relation binaire, à savoir à une relation transitive asymétrique. C'est donc dans une telle relation que consiste l'essence de l'ordre; et toutes les espèces d'ordre que nous avons distinguées se trouvent ramenées à l'unité. Ce qui est particulièrement remarquable dans cette conclusion, c'est qu'on a pu ramener à l'unité l'ordre linéaire et l'ordre circulaire, autrement dit les suites ouvertes et les suites fermées. Et en effet, il suffit de couper une suite fermée pour la transformer en une suite ouverte, c'est-à-dire de prendre pour point de départ de la relation binaire un terme quelconque qui sera le premier. Toute la différence est que, dans une suite fermée, le premier terme est en effet un terme (jjuelconque, tandis que dans une suite ouverte il est unique et déterminé.

§ B. — Le nombre ordinal.

La théorie de l'ordre engendre naturellement la théorie des nombres ordinaux. Par « nombres ordinaux » il ne faut pas entendre les numéros d'ordre des éléments d'une suite [premier, deuxième, troisième,,.), mais les types d'ordre des classes bien ordonnées, suivant l'expression de Georg Cantor. Comme les nombres cardinaux, les nombres ordinaux sont déOnis par abstraction. Mais auparavant, il importe de déûnir la similitude des suites. La similitude est, pour les classes ordonnées, la relation analogue de Téquivalence des classes : l'équivalence est cardinale, la similitude est ordinale.

On dit que deux classes ordonnées ou suites u, v sont semblables S lorsqu'il y a entre elles une relation univoque et réciproque telle que, si dans u l'élément a^ précède l'élément ^j, dans V l'élément a, précède l'élément 6, (a,, b^ étant respectivement les corrélatifs de Oj, b^). Plus exactement, la relation de similitude existe, non entre les classes, mais entre les relations ordinatrices dont elles sont les champs; en effet, tout ordre est engendré par une relation, et la même classe peut recevoir divers ordres, en conséquence de relations différentes. On dira donc que deux relations P, Q sont semblables, lorsqu'il y a entre leurs champs respectifs une correspondance univoque et réciproque telle, qu'à deux éléments qui ont entre eux la relation P correspondent deux éléments ayant entre eux la relation Q, On peut enûn exprimer cette définition sous une forme symbolique : soit S la relation biuniforme qui fait correspondre les éléments de \i et les éléments de v chacun à chacun; on a les relations figurées dans le schéma suivant :

a^Pb^P c,P d^

a^Q b.Qc^O d^

1. Eq anglais : like, likeness (distinct de similar, similanty), V. p. i"?? note 1.

Oq a par exemple : a^Pb^^ (^tOf>v ^^ d*autre part : a,Sa,, b^Sb^, On peut définir la relation Q au moyen (en fonction) des relations /^ et S; en effet :

a^Qb^ . ^ . ajj*^5a, . a^Pb^ . b^Sb^ D'où:

On remarquera en outre que le domaine de la relation S est la première suite : a^, 6j, c,, ..., c'est-à-dire le champ de la relation P. On peut donc dire que deux relations P, Q sont semblables, s'il existe une relation biuniforme S dont le domaine est le champ de P, et telle que Q = ^S* P»S. Telle est la définition de la similitude formulée dans la Logique des relations *.

La relation de similitude est symétrique et transitive. Dès lors, elle donne lieu, en vertu du principe d'abstraction, à une relation uniforme qui unit toutes les classes (ou relations) semblables entre elles à un même terme. Ce terme unique sera, au point de vue de Textension, la classe des classes semblables entre elles; et, au point de vue de la compréhension, la propriété commune à toutes ces classes, c'està-dire leur type d'ordre ou leur nombre ordinal.

Pour une classe finie d'un nombre n de termes, toutes les suites qu'on peut former avec ses éléments sont semblables, et elles ne sont semblables à aucune suite de (n -f- 1) ou de (n - 1) éléments. Par conséquent, le nombre ordinal d'une telle classe est déterminé d'une manière univoque et réciproque par son nombre cardinal. Cette correspondance biuniforme entre les nombres ordinaux et cardinaux finis explique qu'on les confonde couramment. Le nombre ordinal usuel, le numéro d'ordre (« le n* ») est une autre idée : c'est l'idée du

1. RussELL, op. cit., p. 242, 262. M. Russell remarque que la similitude est, entre les relations, l'analogue exact de Téquivalence entre les classes. De même qu'une classe de classes équivalentes est un nombre, une classe <le relations semblables est un nombre-relation, et l'on peut étudier sur ces nombres-relations des propriétés analogues à celles des nombres, qui font l'objet d'une Arithmétique des relations (op. cit., § 253, 299).

78 L'IDÉE d'ordre

terme qui, dans une suite, en a (n — 1) avant lui. C'est, comme on voit, un mélange d'idées cardinales et ordinales, puisqu'elle implique, d'une part, une suite d'au moins n termes (donc le nombre ordinal n), et d'autre part le nombre cardinal n — i.

La défînition qu'on a donnée des nombres ordinaux s'applique également aux nombres finis et infinis, et rien jusqu'ici ne permet de les distinguer. Pour y arriver, il faut définir un nombre ordinal, spécial, «d, qui est le nombre ordinal des progressions; ou, ce qui revient au même, il faut définir une classe spéciale de suites, qu'on appelle les progressions ^

Pour le dire d'avance, une progression est une suite semblable à la suite des nombres cardinaux finis. Mais, si l'on veut se passer de l'idée de nombre, on peut définir directement les progressions comme suit :

« Une progression est une classe u contenue dans le domaine d'une relation biuniforme, qui possède les propriétés suivantes: i® l'ensemble des conséquents est contenu dans l'ensemble des antécédents sans lui être identique; 2^ si ^ est une classe quelconque qui contient au moins un des antécédents qui ne sont pas conséquents, et qui contient le conséquent de chacun desu qu'elle contient, elle contient tous les u. »

La première condition entraine l'infinité de la classe u; la seconde exprime le principe d'induction. Ainsi celui-ci est une partie essentielle de la définition des progressions, et c'est pour cela que les progressions sont semblables à la suite naturelle des nombres. On démontre alors que dans une progression il n'y a qu'un antécédent qui ne soit pas conséquent; ce terme unique (qui est le premier) sera le zéro de la progression considérée. Le un sera le conséquent de zéro (il est unique, puisque la relation génératrice est biuniforme); et en général, le suivant d'un terme x (seq x) sera le conséquent de ce terme. En vertu de la i" condition, tout terme a un conséquent.

1. Bien entendu, il faut dépouiller ce mot du sens qu'on lui donne en Arithmétique élémentaire (progressions arithmétiques et géométriques). La théorie des progressions a été exposée par M. Russbll dans son mémoire Sur la Logique des relations, § 3, ap. Revue de Mathématiques, t. VII (1901).

On peut alors démontrer que deux progressions quelconques sont seniblables, et, réciproquement, que toute suite semblable à une progression est une progression. Il en résulte que les progressions forment une classe unique de classes semblables, ce qui justifie la définition du nombre ordinal o> comme la classe des progressions. On démontre en outre que tout terme d'une progression diffère du suivant; qu'il diffère aussi de tous les précédents, de sorte que le même terme ne peut jamais revenir; enfin, que si Ton supprime 1, 2, .... n (nombre Gui) termes au commencement d'une progression, le reste est encore une progression. On définit ensuite l'addition et la multiplication des nombres ordinaux finis, et l'on démontre leurs propriétés formelles, y compris la commutativité, car cette fois les opérations impliquent un ordre entre les nombres combinés. On peut donc constituer, au moyen du calcul des relations, toute l'arithmétique des nombres ordinaux finis, sans jamais invoquer la notion de nombre cardinal.

Il n'en est pas moins vrai que la notion de nombre cardinal est antérieure à celle de nombre ordinal, parce qu'elle est logiquement plus simple : elle n'implique en effet qu'une seule relation biuriiforme entre deux classes, tandis que la notion de nombre ordinal implique, en outre, une relation génératrice d'ordre dans chacune de ces classes. En d'autres termes, la relation de similitude est plus compréhensive que la relation d'équivalence : elle implique l'équivalence, et quelque chose de plus.

^ même méthode logique permet d'expliquer la généralisation du nombre. Et d'abord, les nombres rationnels (ou fractions) seront considérés comme des relations entre nombres entiers, comme des rapports. On dira, par exemple, que le ïiombre a a la relation B avec le nombre c (aBc) si Ton a : "^=:c, c'est-à-dire si a multiplié par b donne c. Ainsi à chaque ûombre entier b correspond un rapport ou une relation B. Par suite, étant donnés deux nombres entiers a et rf, on dira qu'il y ^ entre eux la relation complexe B*''C {a B*''C d), si le produit de a par b est égal au produit de d par c {ab = cd),

80 l'idée d'ordre

6 et r étant aussi des nombres eotiers. Et cette relation £«^C sera le rapport 6/c. Comme, en Mathématiques, les relations s^expriment par des opérations, on peut dire que le rapport hic est le symbole des opérations à effectuer sur a pour obtenir i (à savoir, une multiplication par h suivie d'une division parc; car l'égalité ab = cd équivaut à : axb/c = d). Ainsi les nombres rationnels ne sont pas des nombres, mais des opérations sur les nombres entiers; de sorte qu'on ne doit pas identifier aux nombres entiers les nombres rationnels qui leur correspondent (les Tractions à dénominateur i) ^

De même, les nombres positifs et négatifs seront conçus comme des opérations sur les nombres absolus (entiers ou rationnels). Considérons d'abord un nombre entier, a. Soit R la relation biuniforme qui existe entre chaque nombre et son suivant (et par suite ^R celle qui existe entre chaque nombre et son précédent). Le nombre positif -4- a indiquera l'opération qui correspond à la relation /î", et le nombre négatif — fl l'opération qui correspond à la relation ^B . En d'autres termes, -4- a signifie qu'on doit avancer de a rangs, et — fl qu'on doit reculer de a rangs dans la progression *. Cette conception est, on le voit, tout à fait conforme au sens commun, et aux considérations intuitives par lesquelles on explique, dans les éléments, la diiïéronce du positif et du négatif; mais elle est néanmoins indépendante de toute notion géométrique et de toute intuition.

De même, les nombres rationnels positifs et négatifs seront des opérations sur les nombres rationnels absolus. On a défini l'inégalité et l'addition des nombres rationnels absolus, et on sait que, si la fraction p est plus petite que la fraction ç, celle-ci est la somme de p et d'une 3" fraction r. La fraction positive -+- r désignera l'opération par laquelle on passe de p à g, et la fraction négative — r l'opération inverse (par laquelle

i. On retrouye ainsi, en somme, la conception de la fraction comme symbole opératoire, proposée par M. M6rat {Les fractions et les quantités négatives, 1890).

2. On a déGni plus haut les puissances entières d'une relation (p. 73, note 2).

on passe de q k p). Ainsi toutes les espèces du nombre généralisé sont, non pas des nombres, mais des opérations, ou mieux des relations entre les nombres entiers absolus, et ne doivent pas être identifiées, même partiellement, à ceux-ci. Cette conception introduit une clarté et une rigueur parfaites dans TArithmétique générale, et prévient radicalement les confusions d'idées qui s'y glissent trop souvent.

II convient de remarquer, avec M. Russell, que, si les propriétés cardinales des nombres finis sont les plus importantes dans les applications (dénombrement et mesure), leurs propriétés ordinales sont les seules que Ton ait k considérer dans les Mathématiques pures, de sorte qu'on peut, dans ce domaine, se contenter de la définition ordinale du nombre, c'est-à-dire considérer les nombres finis comme formant une 'progression^. C'est ce qui explique que d'éminents mathématiciens aient cru pouvoir réduire l'idée de nombre à celle de nombre ordinal ^. Cela explique aussi que ceux qui considèrent le nombre ordinal comme seul a priori croient que l'expérience ou l'intuition est nécessaire pour engendrer le nombre cardinal. Mais c'est là une erreur, car le nombre cardinal, on Ta vu, est plutôt antérieur au nombre ordinal, et par suite au moins autant a priori que lui.

Pour compléter la généralisation du nombre, il resterait à définir les nombres irrationnels et les nombres complexes. Mais la théorie des nombres irrationnels est inséparable de la notion de continu, qui demande une étude spéciale; et la théorie des nombres complexes implique la notion de dimension, qui appartient à la théorie de l'espace. Ainsi la généralisation du nombre nous conduit à deux théories nouvelles, qui feront l'objet des chapitres suivants.