CHAPITRE IV

Les nombres irrationnels, avons-nous dit, impliquent l'idée | de continuité, ils ne paraissent |K>uToir s'expliquer et se jus- \ tifier que par elle ; mais, en revanche, cette idée ne devient précise et rigoureuse que lorsqu'on la représente par les nombres réels, qui comprennent nécessairement les nombres irrationnels. C est ce qui fait croire à certains mathématiciens que ridée de continu procède de Tidée de nombre, et est engendrée par la création des nombres irrationnels. Quoiqu'il en soit, que les nombres réels soient l'original ou la copie du continu, il est incontestable qu'il y a une analogie et un parallélisme parfait entre les deux notions, et qu'on ne peut expliquer l'une sans l'autre. Analyser le continu, c'est définir les nombres irrationnels. Commençons donc par celte définition.

55 A. — Déhnition du nombre irrationnel.

On a proposé diverses manières de définir les nombres irrationnels. La conception qui devait se présenter le plus aisément à Tesprit des mathématiciens est celle qui considère les nombres irrationnels comme des limites de suites ou de séries convergentes qui n'ont pour limite aucun nombre rationnel. Mais les théories de ce genre ne prouvent nullement Vexistence (logique) des nombres irrationnels : elles la poslu-

knt au contraire ^ En outre, il y a quelque chose de paradoxal et de choquant pour Tesprit à dire : « Telle suite ou série n*a pas de limite (parmi les nombres rationnels); elle aura, par définition, pour limite un nombre irrationnel »; en d'autres termes, à dire qu'un nombre irrationnel est la limite d'une suite qui n'a pas de limite ^ Enfin, il y a quelques précautions à prendre pour définir Tégalité (ou identité) des nombres irrationnels, car le même nombre irrationnel peut être défini par une infinité de suites ou de séries toutes différentes; il faut quelque soin pour reconnaître que leurs limites, données d'abord comme distinctes, sont réellement identiques.

Une autre manière de définir les nombres irrationnels est celle de MM. Dedekino et J. Tannert '. Elle a l'avantage de se passer complètement de l'idée de limite, et de situer d'emblée les nombres irrationnels par rapport aux nombres rationnels. Elle part de ce fait que l'ensemble des nombres rationnels offre une infinité de coupures. On sait ce qu'il faut entendre parla. Chaque nombre rationnel partage l'ensemble des autres nombres rationnels en deux classes : celle des nombres plus grands que lui, et celle des nombres plus petits que lui; on les appelle, pour abréger, classe supérieure et classe inférieure. Il est clair que chaque nombre de la classe inférieure est plus petit que chaque nombre de la classe supérieure. En outre, étant donné qu'entre deux nombres rationnels il y en a toujours un autre (supérieur au plus petit et inférieur au plus grand) *, il n'y a dans la classe inférieure aucun nombre plus grand que tous les autres, ni dans la classe supérieure aucun nombre plus petit* que tous les autres. Tout cela résulte des

1. D'après M. Georg Cantor, Weierstrass serait le premier qui aurait évité ce cercle vicieux (Grundlagen einer allgemeinen Mannich/aUigkeitS' lehre, p. 22).

2. M. Freoe s'élève avec beaucoup de force et de justesse contre cette sorte de « définitions créatrices >♦, et soutient qu'une définition mathé matique, n'étant proprement qu'une imposition de nom, ne peut pas créer son objet, et ne peut dispenser d'en démontrer l'existence (Griindgesetze der Arithmetik, t. H, 1903; Function und Begriff, 1891).

3. Voir notre ouvrage De V Infini mathématique, V partie, livre I, chap. iv.

4. Propriété qu'on exprime en disant que l'ensemble est compact.

propriéléâ mêmes des nombres rationnels. Le phénomène de la coupure consiste en ceci, que la totalité des nombres rationnels peut être répartie (d'une infinité de manières) ea deux classes possédant les mêmes caractères, sans quil y ait entre les deux classes aucun nombre rationnel qui les sépare et les détermine. On est ainsi amené à concevoir un nombre (irrationnel) qui serait à la fois plus grand que tous les nombres de la classe inférieure et plus petit que tous ceux de la classe supérieure, et qui comble en quelque sorte la coupure, de même que dans le cas précédent elle était comblée par un nombre rationnel. Toute la différence consiste en ce que le nouveau nombre est déterminé et défini par la coupure, aa lieu de la déterminer, comme fait le nombre rationnel. Mais, une fuis que les nombres irrationnels sont définis et ajoutés à Tensembie des nombres rationnels, on peut confondre les uns et les autres, sous le nom de nombres réels, car ils jouissent en somme des mêmes propriétés.

Celle définition n'a qu'un défaut, qui lui est commua avec la précédente : elle ne permet pas de prouver TexisteDce des nombres irrationnels. M. Dedekind a dû postuler cette existence, en formulant pour l'ensemble des nombres réels un axiome de continuité y analogue à Taxiome qui caractérise la continuité géométrique (de la ligne droite) : « Si l'ensemble des nombres réels peut être réparti en deux classes telles que chaque nombre de la première soit plus petit que chaque nombre de la seconde, il existe un nombre réel, et un seul, qui produit cette répartition '. » Cet énoncé est un peu vague: que faut-il entendre par le nombre qui produit une répartition? Ce ne peut être un nombre intermédiaire entre les deux classes, puisque par hypothèse celles-ci comprennent ensemble la totalité des nombres réels. Il faut donc que le nombre en question soit le plus grand de la classe inférieure ou le pins petit de la classe supérieure. Mais alors, c'en est fait des propriétés caractéristiques de la coupure, puisque la défînitioa de

1. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, p. 18 (1872).

celle-ci implique à la fois que la classe iaférieure n'a pas de maximum et que la classe supérieure n'a pas de minimum. II faut donc revenir à l'ensemble des nombres rationnels^ et dire que toute coupure de cet ensemble correspond à un nombre réel. Ou bien il faut codifier la définition de la continuité, et dire : « Si l'ensemble des nombres réels peut être réparti en deux classes telles que chaque nombre de la première soit plus petit que chaque nombre de la seconde, ou bien la première a un maximum, ou bien la seconde a un minimum, mais jamais les deux à la fois ». Mais alors Taxiome perd beaucoup de son évidence, parce que le fait de la coupure en a disparu.

Bans tous les cas, cet axiome, ou un axiome équivalent, est nécessaire pour affirmer Texistence des nombres irrationnels, et cela est fâcheux, d'abord parce qu'il conviendrait que leur existence pût se déduire de leur définition ; ensuite, parce qu'on peut toujours refuser d'admettre l'axiome ou postulat en question, qui ne se justifie que par une analogie contestable; enfin, parce que cet axiome, même quand on l'admet, produit un hiatus dans renchainement déductif des. propositions, et semble constituer un appel à l'intuition, qui serait ruineux pour la thèse de la nature logique des vérités mathématiques.

M. KussELL a réussi à se passer de cet axiome en modifiant la définition du nombre irrationnel de telle sorte qu'elle implique ipso facto l'existence de l'objet défini. Sa définition consiste, en deux mots, à identifier le nombre irrationnel à la classe infé-* neuve qui servait précédemment à la définir. Seulement, cette classe doit être maintenant définie par ses propriétés intrinsèques. On appellera segment * toute classe de nombres ration. nels non nulle, qui ne comprend pas tous les nombres rationnels, qui comprend tous les nombres rationnels plus petits qu'un quelconque de ses éléments, et telle que chacun de ses éléments est plus petit qu'un autre de ses éléments (de

i. Celle conception du nombre irrationnel comme un segment [Zaklenitrecke) est due à Pasch, Ëinleitung in die DifferentiaU und Intégral- Rechn^ng (Leipzig, 1882).

sorte qu'aucun d'eux n'est le maximum). Ces deux dernières conditions s'expriment très simplement en symboles. Soit 6 l'ensemble des nombres rationnels plus petits que i (fractions propres) ; 6x sera Tensemble des nombres rationnels plus petits que X. Par extension, si u est une classe de nombres, bu sera la classe des nombres plus petits que quelque u. Cela posé, les deux conditions énoncées signifient que, si u est un segment, on a & la fois : Ou o u, et uo Oti, c'est-à-dire : Ou = u. On démontre aussitôt que 6 est un segment, et que, si x est un nombre rationnel, 6x est un segment (ce qui implique que 66j? = ôx). Mais la réciproque n'est pas vraie : tous les segments ne sont pas de la forme Oo?, x étant un nombre rationnel. Il y a donc, pour parler grossièrement, plus de segments que de nombres rationnels. Ces segments seront, par définitiouy les nombres réels. On déOnit aisément leur addition et leur multiplication, et Ton démontre que ces opérations jouissent des mêmes propriétés que les opérations de même nom sur les nombres rationnels. Une partie des nombres réels correspondent aux nombres rationnels : ce sont les segments de la forme ôa*; mais, à parler rigoureusement, ils ne doivent pas être identifiés à ceux-ci; de même qu'aucun nombre rationnel n'est un nombre entier, aucun nombre réel n'est un nombre rationnel. Un nombre rationnel est une relation de deux nombres entiers (un rapport)^ et un nombre réel est un ensemble de nombres rationnels. Par exemple, on distin- 'guera trois nombres 1 : le nombre entier 1 ; le nombre ration-

nel 1, qui est le rapport de i à 1 (ou le rapport de n à ??, identique au précédent); et le nombre réel 4, qui est l'ensemble des nombres rationnels plus petits que le nombre rationnel 1 (ensemble désigné par 6). On voit que dans cette conception Yexistence des nombres réels ne fait pas plus question que celle des nombres rationnels : les nombres rationnels existent, en tant que rapports des nombres entiers ; les nombres réels existent, en tant qu'ensembles dénombres rationnels.

La conception précédente n'est pas si éloignée qu'il semble de la conception ordinaire du nombre irrationnel, et clic en

est directement issue. En eiïet, au lieu de concevoir le nombre irrationnel comme limite commune des deux classes (supérieure et inférieure) qui le définissent, il revient au même (et il est plus simple) de le concevoir comme limite supérieure de la classe inférieure. Voici d'abord comment on définit la limite Supérieure (qu'on représente par le symbole V) :

M, V £ Cls 'R . gw . 3?; : o : l'tt = Tv . = . 6 M = ô t) Df

« Si K et V sont des classes non nulles de nombres rationnels positifs, dire que la limite supérieure des u est égale à celle des V, c'est dire que les classes du et Or sont égales (identiques). » C'est là une définition par abstraction, qui consiste à définir, non pas le symbole Vu en fonction de symboles counus, mois seulement Végalilé de deux tels symboles. On définit ensuite les nombres réels positifs (Q) comme suit :

Q = V [GIs'R rs u3 (gw . gR-Ow)] Df

u Un nombre réel est la limite supérieure d'une classe non nulle de nombres rationnels m, telle qu'il y a des nombres rationnels non inférieurs à quelque u *. »

H importe de remarquer que cette formule définit en bloc tous les nombres réels (et non pas seulement les nombres irrationnels) comme limites supérieures d'ensembles de rationnels. Si l'on veut faire rentrer l'ensemble des nombres rationnels dans le nouvel ensemble des nombres réels, il faut recourir à une nouvelle définition, qui fixe Tégalité et l'inégalité d'un nombre rationnel par rapport à une limite supérieure :

u e Cls 'R . a 6 R . o : a < I'm . = . a e 6 M Df o : a = Vu . = ,ba=bu Df

« Si a est un nombre rationnel et u un ensemble de nombres rationnels, dire que. a est inférieur à I'm, c'est dire que a est inférieur à quelque ti; et dire que a est égal à Tw, c'est dire que les classes 6a et 0m sont égales (identiques). » Il en résulte

l. C'est-à-dire ; « qui ne contient pas tous les nombres rationnels ».

que a est la limite supérieure du segment ôa, c'est-à-dire de Teusemble des nombres rationnels plus petits que lui. Mais, 00 le voit, c'est moyennant une convention qui identifie un nombre rationnel à une limite supérieure. Sans elle, rien De permet d'affirmer que le nombre rationnel a est la limite supérieure des nombres rationnels inférieurs à lui. Or les deux définitions précédentes sont défectueuses, car ce sont encore des définitions par abstraction : elles ne définissent ni a ni l'u, mais leur égalité ou inégalité. Et ce qu'il y a de plus grave, c'est qu'elles établissent ces relations entre des notions déjà définies séparément. En vertu de la définition de la limite supérieure, on a :

fia=z^u , = .Va=z Vu

et, en rapprochant cette égalité de celle-ci : a = ru, on en conclut immédiatement : a = Va, ce qui est une autre forme de la même convention. Rien ne justifie cette identification du nombre rationnel a à une limite supérieure quelconque, fût-ce à celle de l'ensemble formé du seul nombre rationnel a.

Mais, d'autre part, la limite supérieure n'ayant été définie que par abstraction, rien ne permet d'affirmer Texistence ni Punicité de cette entité nouvelle. Pour cela, il faudrait en avoir une définition nominale. Or, puisque l'égalité Vu = rv équivaut à l'égalité 6m = bv, et qu'elle n'a même pas d'autre sens, il est tout naturel de poser par définition :

Vu = ÔM

c'est-à-dire de supprimer la notion de la limite supérieure et de considérer uniquement les segments. En effet, quel que soit l'ensemble u, on a :

c'est-à-dire que l'ensemble 6m est un segment. On est ainsi conduit à identifier le nombre irrationnel au segment dont il est la limite supérieure, et plus généralement, à concevoir tous les nombres réels comme des segments de nombres rationnels, ce qui est la théorie de M. Russell. Seulement alors il ne faut

plus poser la définition :

a = Vu .z^ .6a = Ou

c'esl-à-dire identifier un nombre rationnel & une limite supérieure, car on serait amené à l'identifier à l'ensemble des nombres rationnels plus petits que lui (a = Vu . Vu = Ou . Ou = Oa . 0. a = ôa]. Ou bien il faut entendre par a, non plus le nombre rationnel a, mais le nombre réel a qui lui correspond. C'est ainsi, en particulier, qu'on pourra dire que le nombre réel i est Tensemble des nombres rationnels plus petits que i (nombre rationnel) *.

Bien que la définition formelle de la limite supérieure exclue le cas où la classe considérée comprend la totalité des nombres rationnels, on est conduit, par une générali8ation naturelle et légitime, à concevoir Vinfini comme la limite supérieure de Tensemble des nombres rationnels (ou mieux comme cet ensemble même, ce qui supprime la question d'existence). Il importe de remarquer que c'est là Tinfini comme nombre réel, distinct de l'infini rationnel (rapport d un nombre entier non nul à 0) et de l'infini entier (nombre cardinal a^ ou nombre ordinal w); de même que le zéro réel (limite inférieure des nombres rationnels positifs non nuls) se distingue du zéro rationnel (rapport du zéro entier à un nombre entier non nul) et du zéro entier. Toutes ces distinctions sont analogues à celles que nous avons établies entre les divers nombres 1, et tout aussi justifiées.

Mais, d'autre part, comment s'expliquer la confusion constante et traditionnelle qui s'est établie entre ces diverses généralisations du nombre, qui ne sont même pas, à vrai dire, des nombres, ce terme devant, semble-l-il, être réservé aux nombres entiers ? 11 ne suffît pas d'invoquer le soi-disant principe de permanence de Hankel, qui d'abord est faux, attendu que

1. Formulaire de Mathématiques (1903), § 42; cf. Peano, Sui numeri irraiionali (Revue de Mathématiques, t. VI, p. 126-140), où l'on trouve de nombreuses indications historiques et bibliographiques sur cette question, et le résumé des principales théories proposées.

les opérations arithmétiques ne conservent pas, d'une espèce à Tautre, toutes leurs propriétés, et qui, fût-il vrai, n'aurait que la valeur d'un motif esthétique d'analogie et pour ainsi dire de sentiments H ne suffît pas non plus dédire, avec M. Russell, que les mathématiciens ont, en vertu du caractère formel de leur science, une tendance invincible à identifier deux ordres d*enlités entre lesquels ils découvrent ou établissent une correspondance univoque et réciproque. La vraie raison est la suivante : toutes les espèces de nombres ont ceci de commuD, qu'elles servent à la mesure des grandeurs, et c'est pourquoi on les appelle toutes du même nom. Le nombre est, au sens le plus général, le symbole d'une grandeur, ou plutôt du rapport de deux grandeurs (d'une grandeur quelconque à l'unité de grandeur de son espèce) ^. C'est là, en tout cas, l'origine historique de la généralisation du nombre. Les nombres irrationnels étaient inconnus d'EucuDE, et ce qui lui en tenait lieu, c'était les rapports de grandeurs (livre X des Eléinents). Par conséquent, ce qu'on appelle le continu numérique est né, historiquement^ du continu géométrique, notamment du fait des grandeurs incommensurables. Mais il faut se garder de tirer de là des conclusions contraires à Vapriorité des Mathématiques pures. D'ailleurs, lors même que le continu numérique serait dérivé du continu géométrique, il ne s'ensuivrait pas qu'il procède en quoi que ce soit de l'intuition spatiale (pure ou empirique, peu importe ici). En effet, le continu géométrique n'est pas et ne peut pas être un objet d'intuition. On parle quelquefois du continu physique comme du modèle (imparfait) d'après lequel l'esprit humain aurait créé le continu mathématique; mais il n'y a pas, il ne saurait y avoir de continu physique. Ce que l'on appelle ainsi, c'est (tout au plus) des suites compactes de points, analogues à l'ensemble des nombres rationnels. Or, en admettant même (ce qui est déjà excessif) qu'une suite compacte soit donnée dans l'intuition, rien

1. Peano, Principio de permanentia, ap. Revue de Math., t. VIll, P* ^*/

2. C'est ainsi que Newton le définit au début de son Arithmetica universalis.

n'oblige ni même n'autorise à compléter une telle suite par des points irrationnels, de manière à la rendre continue. Jamais aucune expérience ni aucune mesure ne nous révélera un point irrationnel ou une grandeur incommensurable. De telles notions ne peuvent donc être qu'a priori, et indépendantes de toute intuition.

§ B. — Définition du continu.

Celte conclusion, qui nous parait déjà suffisamment établie par les arguments négatifs qui précèdent, se trouve confirmée par un argument positif péremptoire, qui est que Ton peut construire logiquement et de toutes pièces la notion du continu, non seulement sans invoquer le continu géométrique, mais même sans faire appel à Tidée de grandeur, uniquement avec des considérations d'ordre. C'est là une des conquêtes les plus importantes de la philosophie des Mathématiques; nous avons déjà eu Toccasion de la signaler*, mais M. Russbll en a fait ressortir toute l'importance en l'incorporant à son système. En deux mots, elle consiste en ceci, qu'on peut (et qu'on doit même) définir le continu d'une manière purement ordinale^ sans faire intervenir aucune notion métrique (de grandeur ou de distance).

C'est à M. Georg Cantor qu'appartient le double mérite, d'abord, d'avoir donné la première définition logique et précise du continu, ensuite, de l'avoir dégagée de toute considération de grandeur. Pour bien comprendre la définition ordinale du continu, il faut partir de la définition métrique qui en a clé donnée en premier lieu^. Aux termes de celle-ci, un ensemble continu est un ensemble parfait et bien enchaîné [zusammenhàngend). Rappelons brièvement la définition de ces attributs. Un ensemble E de points (ces jjoints n'étant pas autre chose

1- Sur la définition du continu, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. VllI, p. 157-168 (mars 1900).

2. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfalligkeitslehre, ap. Malh. Annalen, t. XXI (1883).

que des valeurs numériques) a pour point-limite un point x (appartenant ou non à Tensemble), si dans le voisinage de x il y a une iuGnité de points appartenant à E, c'est-à-dire, plus rigoureusement, si, étant donné un nombre e, si pelit qu'il soit, il existe au moins un point de E dont la distance à x soit moindre que e. Un ensemble parfait est un ensemble qui contient tous ses points-limites, et dont tous les points sont des points-limites; en d'autres termes, puisqu'on appelle dérivé d'un ensemble l'ensemble de ses points-limites, un ensemble parfait est un ensemble identique à son dérivé : il le contient et y est contenu à la fois. D'autre part, un ensemble ë est dit bietî enchalnéj si, étant donnés deux points quelconques de E, Pq et Pj on peut trouver dans E une suite de points :p^y p^yPn (en nombre fini n) telle que les distances de deux points consécutifs, à savoir : p^p^^ P\Pv"' Pnfy soient toutes inférieures à un nombre donné e, et cela si petit que soit ce nombre (il est clair que, plus e est petit, plus n grandit, mais il ne doit pas cesser d'être fini).

On voit que les deux attributs qui servent à définir le continu impliquent Tidée de grandeur ou de distance. En outre, celte définition de la continuité est essentiellement re^afîi?e : on ne définit en effet un ensemble continu que par rapport à un autre ensemble, déjà continu (qu'on appelle métaphoriquement Vespace), où il est supposé plongé, et où il peut posséder des points-limites qu'il ne contient pas. Par suite, cette définition de l'ensemble continu présupposait la notion générale d'espace continu, c'est-à-dire une autre notion, antérieure et absolue, de la continuité. Or il se trouve que la définition absolue du continu au moyen de ses propriétés intrinsèques est en même temps affranchie de toute considération de grandeur, et implique uniquement des relations d'ordre. C'est cette définition ordinale qu'il nous reste à exposer *.

1. G. Cantor, Beilràge zur Begrûndung der trans/inilen Mengenlehre^ ap* Malh. Annalen, t. 46 (1895) et 49 (1897); trad. par Marotte sous le titre: Sur les fondements de la théorie des ensembles trans finis (Paris, Hermann, 1899). — Toutefois, nous devons mentionner que, dès 1894, M. EnriQOBS donnait une définition purement ordinale de la continuité de la ligo^

De même que la dé6nition des nombres irrationnels repose sur la considération des nombres rationnels, la définition ordinale du continu repose sur la considération d*un ensemble semblable à l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire possédant les mêmes propriétés ordinales. Ces propriétés sont les suivantes :

1^ C'est un ensemble dénombrable ;

2"^ Il n'a ni premier ni dernier terme;

3* Il est compact, c'est-à-dire qu'entre deux termes quelconques il y en a un autre.

Ces trois propriétés sont purement ordinales; caria première (la seule pour laquelle cela n'est pas évident) équivaut à ceci : « l'ensemble peut être rendu semblable à une progression »; or on a défini la progression indépendamment de l'idée de nombre cardinal *. Ces propriétés déOnissent le type d'ordre tj de l'ensemble des nombres rationnels, et par suite de tout ensemble semblable à celui-là*.

Dans l'ensemble 7) ainsi défini, on peut considérer ce que M. Cantor appelle des suites fondamentales ascendantes ou descendantes. Une suite fondamentale est une progression (du type d'ordre w) dont les termes se suivent dans le même ordre que dans l'ensemble tq, auquel cas elle est dite ascendante, ou dans l'ordre inverse, auquel cas elle est dite descendante. On peut se borner à considérer les suites fondamentales ascendantes, et cela sera sous-entendu désormais. Une suite fondamentale S a une lirnite, si dans l'ensemble -/j il y a un terme qui est le premier après tous les termes de S. Autrement dit, un terme x est la limite de la suite fondamentale S, si tous les termes de S sont inférieurs (antérieurs) à a?, et si chaque terme

droite : Sui fondamenti délia Geometria projettivay postulat Vil, ap. Hendiconti del H, IslUuto Lombardo, ser. II, vol. XXVll.

1. Comme le remarque M. Russell, ces trois propriétés sont relatives à deux manières dilTérenles d'ordonner les nombres rationnels : les deux dernières les supposent rangés par ordre « de grandeur >», tandis que la première les suppose rangés sous forme de progression {op. cit., § 278).

2. Le type d^ ordre étant, par définition, le concept obtenu par l'abstraction eiïectuée sur tous les ensembles semblables à un même ensemble, ou, en extension, la classe de ces ensembles.

supérieur (postérieur) à tous les termes de S est supérieur (postérieur) à x. Cela posé, on dit qu*un ensemble est parfait, si toutes ses suites fondamentales ont des limites, et si tous ses termes sont des limites de suites fondamentales.

On remarquera que la notion de limitey et par suite celle de parfait, sont maintenant définies d'une manière purement ordinale, et de plus intrinsèque, c'est-à-dire sans considérer aucun élément extérieur à l'ensemble en question. Mais l'attribut de parfait ne suffît pas encore à définir un ensemble continu : il faut y ajouter ce fait, que cet ensemble contient un ensemble du type d'ordre v). On est ainsi amené à la définition suivante du type d'ordre ô du continu linéaire :

« L'ensemble est parfait, et contient un ensemble dénombrable E tel qu'entre deux termes de 6 il y a au moins un terme de E. »

Cette définition est suffisante, car on peut démontrer que l'ensemble E caractérisé par ces trois propriétés (d'être dénombrable, d'être contenu dans un ensemble parfait, et d'avoir un terme entre deux termes quelconques de celui-ci) possède le type d'ordre y).

On remarquera l'analogie de cette définition du continu avec celle des nombres irrationnels. On peut rendre cette analogie plus étroite encore en substituant les segments aux suites fondamentales dans la définition du continu. Étant donné un ensemble E ordonné du type d'ordre v), c'est-à-dire dénonibrable et compact, on peut y définir des segments^ comme dans l'ensemble des nombres rationnels. Un segment sera un ensemble S qui contient quelques termes de E, mais non tous, qui ne contient pas de dernier terme, et qui contient toiis les termes de E qui précèdent un terme quelconque de S. Celte définition est, comme on voit, purement ordinale. Or chaque segment contient virtuellement une infinité de suites fondamentales ayant pour limite sa propre limite supérieure. Dire que toute suite fondamentale a une limite, c'est dire que tout segment a une limite supérieure; et comme cette limite supérieure doit, par hypothèse, être contenue dans l'ensemble total (où

l'ensemble Ë se trouve compris), c'est dire que cet ensemble total est semblable à l'ensemble des nombres réels, et par conséquent continu.

M. Whitëhead a simplifié cette définition en la remplaçant par la définition équivalente que voici : « Une suite est con-

Fig. 1.

linue : !*• quand elle a un premier et un dernier terme, et quand tous ses segments (tant supérieurs qu'inférieurs) ont une limite; 2^ quand elle contient une suite dénombrable compacte telle qu'il y ait un terme de celle-ci entre deux termes quelconques de la preniière * ».

Pour montrer la différence des deux définitions de la continuité (la définition ordinale et la définition métrique), il suffit d'analyser quelques exemples simples. Considérons d'abord l'ensemble des nombres réels compris entre et 2; il est figuré par le segment — 2, c'est-à-dire par un ensemble de points linéaire et continu (fig. 1). Coupons ensuite ce segment immé-

Fig. 2.

diatement avant le point 1, et séparons les deux tronçons : l'un composé de tous les points compris entre inclus et i exclu, l'autre composé de tous les points compris entre 1 et 2 inclus (fig. 2). L'ensemble des deux tronçons ne sera plus continu au sens métrique, puisqu'il n'est plus bien enchaîné : il y a une distance finie entre le point 1 et l'un quelconque des points (de .l'ensemble) situés à sa gauche. Mais il sera encore continu au sens ordinal, car le point 1 est toujours la limite (au cens ordinal) des points qui le précèdent, il est toujours (dans l'ensemble) le premier après tous les points du premier

!• RussELL, op. cit., p. 299, note.

tronçon ^ Au lieu de considérer des points que nous déplaçons dans l'espace, c'est-à-dire une image géométrico-physique^ nous pourrions considérer des nombres purs et fixes : Tensemble des nombres réels compris entre inclus et 1 exclu, et entre 2 et 3 inclus, est continu au sens ordinal sans Tétre au sens métrique : car s'il y a un intervalle fini (> 1) entre le nombre 2 et chacun de ceux qui le précèdent, il n'en est pas moins le premier après ceux-ci, et il est leur limite ordinale, au même titre que le point 1 est leur limite métrique. On voit par ces exemples quelle est la diiïérence essentielle entre les deux continuités : la continuité ordinale est inttnnsèque, elle repose uniquement sur les relations internes des éléments de l'ensemble, et ne lient aucun compte des éléments étrangers; tandis que la continuité métrique est relative à la situation de l'ensemble considéré au sein d'un autre ensemble, qui est continu, et dont les éléments entrent en considération. La continuité ordinale est donc la seule primitive et absolue.

On pourrait imaginer des ensembles plus compliqués, qui seraient continus au sens ordinal tout en étant absolument discontinus au sens métrique. Voici un procédé très général et très simple pour construire de tels ensembles. Concevons que tous les nombres réels compris entre et 1 soient écrits dans le système binaire, c'est-à-dire sous forme de nombres « bimaux » dont les chiffres seront tous ou 1 ; on a évidemment ainsi un ensemble continu (tant au sens métrique qu'au sens ordinal). Lisons maintenant tous ces nombres dans le système décimal (ou dans tout autre système de numération non binaire); leur ensemble cesse d'être continu au sens métrique, puisque alors le segment (0 — 1) comprend d'autres nombres décimaux (par exemple ceux qui contiennent 2 parmi leurs chiffres décimaux); mais il reste continu au sens ordinal, attendu que l'ordre relatif des nombres (ou des points correspondants) est resté exactement le même ^. En réalité, cette

1. Ce tronçon n'est pas continu, mais semi-continu, dans le style de M. Cantor, car il lui manque un point-limite (qui est 1).

2. Cette méthode est due à M. Peano, Rivista di Matematica, t. Il, p. 41.

transformation, qui fait image, représente une correspondance purement statique établie, par Tintermédiaire des nombres indiqués, entre deux ensembles de valeurs ou de points dont Tun constitue Tintervalle continu (0,1) et dont Tautre au contraire ne comprend qu'une partie des points de cet intervalle K Néanmoins, celui-ci est tout aussi continu que l'autre au point de vue ordinal, puisque Tordre de ses éléments est le même : si un nombre (ou plutôt : une expression numérique) est supérieur à un autre dans le système binaire, il lui est aussi supérieur dans le système décimal, et réciproquement *.

Les définitions précédentes du continu ne sont guère intuitives, il faut en convenir. Néanmoins, elles suffisent & fonder non seulement l'Analyse, mais même la Géométrie. C'est là un fait extrêmement important, et de grande conséquence en philosophie, que le continu géométrique puisse se réduire au continu numérique qu'on vient de définir. Ce fait réfute définitivement toutes les doctrines qui considèrent la notion du continu comaie provenant de l'intuition sensible, et comme réfractaire à l'entendement.

On verra en Géométrie des définitions plus simples et plus intuitives du continu (par exemple de la continuité de la ligne droite), mais ces définitions seront exactement équivalentes aux précédentes, et leur simplicité relative vient du fait qu'un certain nombre des conditions de la continuité se trouvent impliquées déjà dans la définition de la ligne droite.

Voir ScHÔNFUES, Bericht ilber die Mengenlehre, ap. Jahresbericht der deulschen Mathematiker-Vereinigung, t. Vlll, n° 2, p. 64, 98, 102 (1900).

!• Il est même nulle part dense dans cet intervalle. On a ainsi une correspondance biuniforme entre un ensemble continu (donc partout dense) fit un ensemble nulle part dense, de telle sorte qu'ils sont semblables. Une telle correspondance a été découverte par Uarnack {Math. Annalen^ t. 23).

2. Les nombres qui n'ont qu'un nombre fini de chiffres « bimaux » ont <leux expressions, dont l'une ne comprend que des zéros à partir d'un certain rang, tandis que l'autre ne comprend que des 1 à partir du même •■^ng. Pour rendre la correspondance biuniforme, il convient de supprimer une de ces expressions, par exemple celle qui contient une infinité de 1. Celte remarque met en évidence la discontinuité métrique de l'ensemble des nombres décimaux correspondants : car cet ensemble ne contient nianifestement aucun point compris entre les 2 points qui correspondent * deux expressions bimales équivalentes, comme par exemple: 0,01111 .... ®t 0,1000 (c'est-à-dire, dans le système décimal, entre 0,02 et 0,1).

CooTURAT. — Les principes des mathématiques. 7