IV. Si A > B et B > C, on a : A > G

On voit à quoi tient la plus grande simplicité de ce système : c'est que tous les axiomes relatifs à l'égalité en ont disparu, et cela se comprend, puisque dans cette théorie l'égalité n'est

1. En vertu de ce principe, une grandeur est (au point de vue de l'extension) une classe de quantités égales, et (au point de vue de la compréhension) l'état commun de toutes ces quantités (leur qualité commune).

2. Cf. HôLDER, die Axiome der Quantitâl und die Lehre vom Mass, p. 4, Dote 1; ap. Berichte der kôn. sâchs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, math.-phys. Classe, t. 53 (1901).

102 LIDEE DE GRANDEUR

pas une relation originale et indéfinissable, mais simplement Tégalité logique ou identité ^ Quanta rinégalité, seule notion indéfinissable de cette théorie, elle se trouve définie implicitement par ses propriétés : c'est une relation asymétrique transitive (en vertu des axiomes 111 et lY).

Nous avons défini en passant ce qu'on appelle une espèce de grandeurs, en disant que deux grandeurs sont de même espèce^ si Tune est plus grande que Tautre. C'est là une définition par abstraction qui est insuffisante. Mais, toujours en vertu du principe d'abstraction, il doit exister un terme commun auquel toutes les grandeurs d*uue même espèce sont rapportées, et c'est leur relation k ce terme qui permet de dire qu'elles sont de cette espèce particulière. C'est là un nouvel axiome de la présente théorie. La relation d'une grandeur particulière à son espèce est la relation d*un individu à une classe à laquelle il appartient, ou (en compréhension) au concept sous lequel on peut le subsumer ^. Toutes les espèces de grandeur, à leur tour, peuvent être subsumées sous le concept général de grandeur^ et sont des individus de la classe grandeur. Celle-ci est donc une classe du second ordre (une classe de classes) par rapport aux grandeurs particulières.

11 reste à formuler un dernier axiome, qu'on peut appeler le principe des indiscernables appliqué aux grandeurs. Il peut s'énoncer ainsi : « Deux grandeurs (différentes) de même espèce ne peuvent coexister dans les mêmes relations entre les mêmes termes ». Autrement dit, puisque les grandeurs concrétisées dans l'espace et dans le temps se nomment des quantités, une même quantité ne peut correspondre à deux grandeurs différentes de la même espèce ; ou encore, la relation d'une quantité à la grandeur correspondante est uniforme : chaque quantité détermine d'une manière univoque la grandeur cor-

1. C'est ce qui justifie l'emploi du même signe (=) pour les deux égalités. Cf. p. 49, note 4.

2. C'est en ce sens qu'il faut interpréter les locutions comme : une grandeur de plaisir. Il n'y a pas là deux objets, un plaisir et une grandeur» mais un seul objet, à savoir un plaisir qui est une grandeur de Tespèce plaisir (Russell, op, cit,, § 163).