DEFINITION DE LÀ GRANDEUR

respondante, et cela se comprend, puisque cette grandeur est tirée par abstraction de cette quantité.

La théorie que nous venons d'exposer est très générale : elle porte sur toutes les espèces de grandeurs, aussi bien intensives qo'extensives, par le fait même qu'elle n'implique entre les grandeurs de même espèce qu'une seule relation, celle d'iné* galité. Or, comme le remarque M. Russell, on considère habituellement les grandeurs comme caractérisées par deux propriétés : l'inégalité d^une part, et la divisibilité d'autre part. De ces deux propriétés, l'inégalité est la plus générale, car ce qui distingue les grandeurs intensives des extensives, c'est justement qu'elles soutiennent entre elles des relations d'inégalité sans être divisibles, sans que les plus grandes puissent être conçues comme contenant les plus petites ou comme composées par l'addition des plus petites (que l'on pense, par exemple, aux degrés de température) ^ On pourrait définir les grandeurs intensives : celles qui sont susceptibles d'inégalité, mais non d'addition; et les grandeurs extensives : celles qui sont susceptibles à la fois d'inégalité et d'addition. Or, tandis que dans les grandeurs intensives la relation d'inégalité est nécessairement prise comme indéfinissable, dans les grandeurs 6xtensives elle peut se définir au moyen de l'addition. On peut donc faire une théorie différente et spéciale pour les grandeurs extensives, qui sont les grandeurs proprement mathématiques. C'est cette théorie que nous allons maintenant exposer^.

i. Rigoureusement parlant, on doit dire, avec M. Pussell {op, cit., § 162), qu'aucune grandeur n'est divisible : chaque grandeur est un tout unique. Quand on dit qu'une grandeur est divisible, on veut dire qu'elle est égale à la somme de plusieurs grandeurs de la même espèce. La divisibilité revient donc au fond à I' « addibilité ».

2. D'après les travaux de M. Burali-Forti : Formulaire de Mathématiques, 1. 1, ch. IV : Théorie des grandeurs (1895) [il est à remarquer que cette théorie est absente des éditions ultérieure du Formulaire']', Les propriétés formelles des opérations algébriques, ap. Revue de Mathématiques, t. VI, p. 141-177 (1900); Sulla Teoria générale délie Grandezze e dei Numéris ap. Atti délia B. Accademia délie Scienze di Torino, t. XXXIX (1904).

i04 LIDÂE DE GRANOEUR

§ B. — Théorie des grandeurs ëxtensives.

On considère une classe G, et une opération qui, effectuée sur deux éléments de cette classe, produit un élément de cette classe (identique ou non à Tun des deux premiers). Pour élucider cette notion d'opération, il suffit de dire qu'une opération binaire (comme celle dont il est question ici) est une relation ternaire qui à deux éléments de la classe fait correspondre un élément de la même classe. Bien entendu, ce dernier élément, appelé résultat de l'opération, est déterminé d'une manière univoque, c'est-à-dire qu'il est unique pour chaque couple d'éléments donnés. On dit alors que la classe 6 est une classe homogène par rapport à l'opération considérée. Nous pourrions continuer à raisonner in abstracto sur cette opération et sur ses propriétés formelles, en la représentant par un symbole spécial ^ ; mais, pour simplifier les écritures et les énoncés, et rendre la lecture plus facile, nous appellerons cette opération addition^ son résultat somme^ et nous représenterons la somme des deux grandeurs a et 6 par le symbole connu a-\-b. Seulement il ne faut pas oublier qu'il s'agit de grandeurs, et non de nombres, et que l'opération -h, bien distincte de l'addition arithmétique, est uniquement définie par les propriétés formelles que nous allons énoncer. Notre exposition gagnera ainsi en clarté ce qu'elle perdra en généralité et en pureté théorique. *

On peut étendre le sens et l'usage du symbole -+-, en le faisant porter, non plus sur des individus ou éléments, mais sur des classes. Soient u, v deux classes de grandeurs G; {u-^-v) représentera la classe des grandeurs obtenues en additionnant une quelconque des grandeurs u et une quelconque des grandeurs V, En particulier, si a est une grandeur individuelle, (a-4-u) désignera l'ensemble des sommes de a et des diverses grandeurs v; et (u-f-a), l'ensemble des diverses grandeurs u

1. Comme fait M. Burali-Forti dans le dernier des ouvrages cités, que nous suivons d'ailleurs dans cet exposé.

et de a. En outre, jusqu'à preuve du contraire, on doit supposer que ]es « sommandes » ont un ordre déterminé et ne peuvent pas être échangés; autrement dit, que la somme de a et de b peut n'être pas égale (identique) à la somme de b et de a. Gela est évident, étant donnée Tindétermination formelle de l'opération en question, qui peut n'être pas symétrique.

On définit alors dans la classe G Vêlement nul (ou les éléments nuls) par rapport à l'opération -h ; nous le représenterons par (par analogie avec le nombre 0, dont la grandeur nulle est néanmoins bien distincte). Voici cette définition :

0=zG r^x3 {y iG .0 .x-hy = y) Df

« Zéro est une grandeurs telle que la somme de x et d'une grandeur quelconque y est égale à y, » C'est, comme on dit, le module de l'addition. Il importe de remarquer que cette définition, comme toute définition, n'implique ni l'existence ni l'unicité de l'objet défini; cette existence et cette unicité devront être la matière de propositions spéciales (postulats ou théorèmes). Pour le moment, est défini comme une classe qui peut être nulle (vide) ou qui peut contenir plusieurs éléments.

On définit ensuite la relation d'inégalité entre les grandeurs de la classe G, et cela, comme nous l'avons -annoncé, au moyen de l'addition. Plus exactement, on définit d'emblée la classe des éléments inférieurs à un élément donné a, que l'on représente par 6a (« plus petit que a ») :

atG .o ,^a = G r^x2[a&x-{- (G-0). v. a e (G-0) -h x]

« a étant une grandeur de la classe G, 6a est l'ensemble des grandeurs x de la classe G telles que a est la somme de x et d'une grandeur G non nulle*. » Comme la notion de somme, la notion plus petit que s'étend d'un individu à une classe quelconque. Soit u une classe de grandeurs G : 6m représentera

1. Cette somme doit être entendue dans un sens quelconque, afin de ne pas impliquer la loi commutative. Cette formule a été corrigée en conséquence par M. BuRALi-FoRTi lui-même, d'après M. Huntington : A complète iet of postulâtes for the theory of absolute continuons magnitude, ap. Traji' factions of the American Matkematical Society (1902).

lOÔ L*IDÉB DB GRANDEUR

la classe des grandeurs plus petites qu'une quelconque des grandeurs ti. Comme les autres, cette définition est susceptible d'une expression formelle :

u c Cls'G . o . ÔM = X 3 [g u n y î (.T e ôy)] Df

a u étant une classe de G, Ou est Tensemble des x plus petits que quelque élément y de la classe u *. »

Bien entendu, la relation 6 n*est définie que par rapporta Topération désignée par + et dans la classe G. Si la classe G est celle des nombres réels positifs, et si l'opération -h désigne leur addition, bx désigne les nombres plus petits que x. Hais si la classe G est celle des nombres entiers, et si ropéralion x est la multiplication, Ox désignera les sous-multiples dex;et si l'opération + est la division, bx désignera les multiples dex. Gela montre la généralité formelle de ces définitions, qae la particularité de nos signes ne doit jamais faire oublier.

Enfin on définit une classe limitée de grandeurs G de la manière suivante :

Gis lim' G = Gis' G ^ u 3 [gu . a G-ôw] Df

'< Une classe limitée de G est une classe de G, u, telle qu'il y a des M, et qu'il existe des grandeurs G non inférieures àun« quelconque. » Quand on aura prouvé que « non inférieur à» équivaut à « supérieur ou égal à », on pourra dire qu'une classe limitée de G est une classe non nulle telle qu'il y a des grandeurs G égales ou supérieures à un u quelconque.

Cela posé, voici comment on définit la notion de grandeur, ou, plus exactement, d'une espèce de grandeurs :

Une espèce de grandeurs est une classe G homogène par rapport à une certaine opération -+-, et qui vérifie les huit postulats suivants :

1. Il est inutile de spécifier que ces x sont des 6, car cette condition est impliquée dans la définition de 6, et par suite dans la proposition : X t 6t^, jointe à l'hypothèse : u o G.

« Si l'on a, entre grandeurs G, l'égalité : x + z = j/ + z, on a aussi l'égalité : a? = y *. »