VII. a:sG-0.o,.aÔa

«Si la grandeur x n'est pas nulle, il y a une grandeur G plus petite que x et non nulle ». En d'autres termes, il n'y a pas, parmi les grandeurs non nulles, de grandeur minimum.

1. ^implication inverse : x=.y.o.x-\'Z = y-\- z est impliquée dans la définition de l'opération -j- comme opération uniforme. On voit ainsi que le prétendu axiome : « Des quantités égales ajoutées à des quantités égales donnent des résultats égaux » fait en réalité partie de la définition de l'addition, et, par suite, de la définition même de la grandeur.

2. On remarquera que les postulats II et HT sont des postulats d'existence. Il en est de même des postulats VII et VIII.

3. D'où, par contraposilion : « La somme de deux grandeurs n'est nulle que si chacune de ces grandeurs est nulle. »

4. On remarquera que la loi commutative de l'addition ne figure pas parmi les postulats : elle peut se déduire de ceux-ci. Ce perfectionnement est dû à HôLDER, op. cil.

5. Cette formule a été corrigée par M. Burali-Forti (ap. Huntington, op. cit.)^ pour rendre tous les axiomes indépendants les uns des autres.

Vin. ue Clslim'G . o». gG na:3(0ar = Ôu)

c< Si u est une classe limitée de G, il y a une grandeur x telle que ôx = 6u, c*est-à-dire que Tensemble des grandeurs plus petites que x est égal (identique) à Tensemble des grandeurs plus petites qu'un u quelconque. » Ce dernier postulat affirme l'existence d'une limite supérieure x pour toute classe limitée de grandeurs G (et par suite aussi l'existence d'une limite iuférieure pour toute classe de grandeurs G non nulles). Gomme nous le savons déjà, ce postulat équivaut à affirmer la continuité de l'ensemble des grandeurs G ^

On peut prouver que ces huit postulats sont absolument indépendants les uns des autres, c'est-à-dire qu'aucun d'eux n'est une conséquence logique des autres, ou que chacun d'eui peut être faux alors que tous les autres sont vrais, ce qui est la forme la plus parfaite d'un système de postulats.

On a vu que le postulat II affirme l'existence d'une grandeur nulle. On démontre aisément, au moyen du postulat 1, que cette grandeur nulle est unique. Alors, mais alors seulement, on peut parler de la grandeur nulle comme d'un individu.

De l'ensemble des huit postulats énoncés on peut déduire toutes les propriétés d'une classe de grandeurs absolues, y compris zéro ^. On définit l'inégalité (comme relation de deux grandeurs) de la manière suivante :

a?, ?/ 6 G . o : a? < y . = . X 6 6î/ Df

1. 11 importe de remarquer que la continuité est un attribut, non d'une grandeur particulière, mais d'un ensemble de grandeurs. Quand on dit qu'une grandeur particulière est continue, on veut dire qu'elle appartient à un ensemble continu, ou tout au moins que les grandeurs de la même espèce et plus petites qu'elle forment un ensemble continu.

2. Les six postulats de M. Huntiroton {op, cit,) ne portent que sur un sysième de grandeurs absolues différentes de zéro, de sorte qu'on est obligé de lui adjoindre ensuite la grandeur nulle. Dans son mémoire Les propriétés formelles.,, (comme dans le Formulaire, t. I), M. Bubali- FoRTi a eu le soin d'indiquer pour chaque théorème les postulats dont il dépend, ce qui permet de constater d'un coup d'œil la portée déductive de chaque postulat.

c'est-à-dire, en vertu de la définition de 6 :

a?, j/6G.o:a?<j/. = .j/ = a;-4-{G-0). w.(G-0)-t-ap

<( Dire que x est plus petit que y, c'est dire que y est la somme de x et d'une grandeur non nulle. » On pose naturellement :

a?, j/eG.o:ar>i/. = .y<x Df

« Dire que x est plus grand que t/, c'est dire que y est plus petit que x, »

Oa démontre alors que la relation < est transitive, c'est-àdire :

a?, y, zeG.o:ar<j/.î/<z.o.a?<z

et qu'il y a disjonction complète entre les 3 alternatives^ :

Ëofîn on définit la différence de deux grandeurs comme suit : a^b ,0 . a — b=zG r^ X9 [b -hx = a) Df

« Si a est égale ou supérieure à 6, la différence (a — b) est une grandeur x telle que b -hx = a »; el Ton démontre que la grandeur ainsi définie existe et qu'elle est unique.

Dans cette théorie des grandeurs on n'a pas jusqu'ici fait appel à la notion de nombre. Cette notion s'introduit nécessairement dès que l'on conçoit les grandeurs multiples d'une même grandeur. M. Burali-Porti emploie même la considération des grandeurs multiples pour obtenir une définition nominale des nombres entiers. Il déllnit les multiples d'une même grandeur comme les sommes obtenues en ajoutant successivement cette grandeur à elle-même : cette définition nominale n'implique pas l'idée de nombre, mais bien la loi d'induction complète. Puis il définit les nombres entiers comme les opérations par lesquelles on obtient les multiples d'une grandeur donnée en partant de cette grandeur ^ Nous n'adop-

1. Le postulat VI énonce ces trois alternatives, mais n'affirme pas qu'elles sont disjointes, c'est-à-dire exclusives les unes des autres.

2. Voir son mémoire sur Les propriétés formelles des opérations algé-

110 LIDÉE DE GRANDEUR

tons pas cette définition, bien qu'elle soit logiquement correcte, parce qu*elle nous paraît détournée et inutilement compliquée. En effet, elle fait dériver Tidée de nombre de l'idée de grandeur, alors qu'on peut obtenir, on l'a vu, une définition nominale du nombre indépendamment de la notion de grandeur. En outre, elle exige qu'on démontre que l'ensemble d'opérations ainsi défini est le même pour toutes les suites de grandeurs multiples (de même espèce ou d'espèce différente), sans quoi l'on aurait autant de systèmes de nombres qu'il y a de grandeurs différentes, et non lensemble unique des nombres entiers. Enfin cette définition ne permet pas d'établir Vexistence des nombres ainsi définis, attendu que, comme nous le disons plus loin, Vexistence des grandeurs elles-mêmes n'est pas logiquement établie, ou ne peut l'être qu'au moyen de Texistence des nombres mêmes; tandis que la définition nominale des nombres entiers que nous avons donnée (d'après M. Russell) permet d'établir leur existence. Pour toutes ces raisons, nous pouvons admettre la notion de nombre comme indépendante de celle de grandeur, et introduire sans scrupule les nombres dans la théorie des grandeurs ^

Nous définirons donc directement les grandeurs multiples d'une même grandeur a en disant que ce sont les sommes de 1, 2,3,... 9?... quantités égales à a (^). Plus rigoureusement, nous

briques (déjà cité) et son mémoire Sur les diverses définitions du nombre^ entier, ap. Bibl. du Congrès de Philosophiey t. 111. Une théorie analogue des nombres, fondée sur la considération des grandeurs, se trouvait déjà dans Bettazzi, Teoria délie Grandezze, ouvrage couronné par l'Académie des Lincei (Pisa, 1890). Cet ouvrage contient d'ailleurs, en Appendice, une théorie analytique du nombre, indépendante de l'idée de grandeur.

1. D'ailleurs, M. Burali-Forti lui-même, dans son mémoire Le classi finite (Atti delV Accademia délie Scienze di Torino, 1896) a montré qu'on peut défînir le nombre entier (cardinal) sans faire appel aux notions de grandeur ni d'ordre, au moyen des seules notions de classe et de correspondance (comme dans la théorie que nous avons exposée précédemment). Il est vrai qu'il n'obtenait ainsi qu'une définition par abstraction, et non une définition nominale.

2. Nous disons « quantités égales », car il n'y a pas, dans notre théorie, de « grandeurs égales », chaque grandeur étant unique. Plus exactement, une grandeur double d'une autre est la grandeur de la quantité obtenue en additionnant deux quantités égales à cette autre. De môme que l'addi.

déGnirons le n^ multiple (le n-uple) de a par inductioD com^ plète, en posant :

la = a, (n 4- 1) a = na -h a.

Ces deux formules sufQsent à définir Texpression na pour toutes les valeurs entières de n, c*est-à-dire pour rinfinité des nombres entiers*. Cette expression n'est pas à proprement parler un produit, car elle est hétérogène : a est une grandeur, taudis que n est un nombre, un « coefficient », qui indique combien de quantités égales à a on doit additionner. En un mot, c'est une somme abrégée.

Nous pouvons supposer définies les opérations sur les nombres entiers, et démontrées leurs propriétés essentielles, notamment les lois associatives et commutatives de l'addition et de la multiplication arithmétiques. Il convient de rappeler que pour l'addition des grandeurs on a postulé la loi associative, mais que la loi commutative n'est pas encore établie.

On démontre alors les théorèmes suivants (où a désigne toujours une grandeur, et w, n des nombres entiers) * :

ma-hna = (m-f-n) a(*)

ma -h na = na -\- ma

m(na) :=i[nin) a

m {na) = n (ma)

ma z=na , = .m=:n

ma <i na . = ,m <^ n

Ces deux derniers théorèmes signifient que deux quantités

tion des nombres se définit par l'addition des classes correspoudantes, l'addition des grandeurs (et par suite leur multiplication par des nombres) se définit au moyen de l'addition des quantités correspondantes. Cela explique comment une grandeur peut être multiple d'une autre, et néanmoins indivisible, comme nous le soutenons avec M. Russell (v. Russkll, op. cit., § 166, p. 178).