Cf. HÔLDER, loc. cit. y

3. Il importe de remarquer que les deux signes -{- n'ont pas le même

sens : celui du 1" membre indique une somme de grandeurs, celui du 2* membre une somme de nombres. Ce théorème signifie que l'addition des grandeurs multiples d'une même grandeur correspond à l'addition de leurs coefficients.

H% l'idée de grandeur

multiples d'une même grandeur sont égales quand leurs coefficients sont égaux, et alors seulement; et que leur inégalité est de même sens que l'inégalité de leurs coefficients. La seconde des formules ci-dessus exprime la loi commutative de l'addition pour les multiples d'une même grandeur. De là on peut déduire, en vertu des postulats de la grandeur, la loi commutative pour laddition de deux grandeurs quelconques K Les huit postulats permettent de démontrer deux propositions qui ont été souvent prises pour axiomes. L'une d'elles est ce qu'on appelle Y axiome d'Archimède; elle se formule comme suit :

a, b eG-O . o . a N r» n3 (na > b)

« a et b étant des grandeurs non nulles, il y a un nombre entier n tel que na est plus grande que b, »

L'autre proposition est ce qu'on appelle V axiome de la divisibilité; elle se formule comme suit :

aeG.neN, .o.aG/^a?3 [nx = a)

« Étant donnée une grandeur a et un nombre entier non nul n, il existe une grandeur x telle que nx égale a. » Cette grandeur X (dont on démontre l'unicité) s'appelle le n* sous-multiple (ou simplement le n®) de a. La proposition précédente affirme donc l'existence des sous-multiples de tout ordre pour chaque grandeur de l'espèce de G. C'est ce qu'on appelle vulgairement la divisibilité indéfinie de la grandeur. Il est d'ailleurs inutile de discuter si cette divisibilité doit être dite indéfinie ou infinie : ce qui est sûr, c'est que l'axiome de la divisibilité implique l'existence d'un nombre infini de sousmuUiples pour chaque grandeur, puisque ces sous-multiples correspondent à tous les nombres entiers ^.