HUNTINOTON, op. cU

2. Ce théorème de la divisibilité ne contredit nullement la thèse philosophique selon laquelle chaque grandeur est indivisible, c'est-à-dire une et simple. Dire qu'une grandeur est divisible, c'est affirmer qu'il existe des grandeurs de même espèce qui en sont des sous-multiples, mais non qu'eUe les contienne réellement ou en soit réellement composée; c'est affirmer une relation entre des grandeurs dont chacune peut être une et simple.

On peut maintenant se demander quelle est la portée exacte de cette théorie de la grandeur. On a là une définition par postulats, qui a été transformée en une définition nominale. Au lieu de dire : « Une classe G est une classe de grandeurs homogènes par rapport à l'opération +, quand cette opération effectuée sur deux de ses éléments produit un de ses éléments », et d'ajouter que cette classe vérifie les postulats I-Ylll, on dit à présent : « Une classe de grandeurs homogènes est une classe G dans laquelle on peut effectuer ropération -f-, et qui en outre vérifie les postulats I-VIII ». Il semble qu'il n'y ait guère là qu'un changement de forme, qui sans doute constitue un notable progrès logique, mais qui ne change rien à la nature de l'idée définie. Dans tous les cas, la définition nominale, pas plus que la définition par postulats, ne permet d'affirmer l'existence (et encore moins l'unicité) de l'objet défini. On peut bien dire : « J'appelle espèce de grandeurs une classe qui possède telles ou telles propriétés », mais rien ne nous assure qu'il existe une espèce de grandeurs, c'est-à-dire une classe possédant ces propriétés. Ou du moins on n'en connaît qu'une : et c'est précisément la classe des nombres réels. Ainsi la seule espèce de grandeurs que l'on connaisse, en Mathématique pure, n'est pas autre que l'ensemble des nombres réels. Et ce qui confirme cette assertion, c'est que, pour démontrer l'indépendance mutuelle des huit postulats, on ne peut recourir qu'à des exemples empruntés à l'ensemble des nombres réels. L'existence des grandeurs n'est donc garantie que par l'existence des nombres réels; et c'est, on le sait, la principale raison pour laquelle nous n'avons pas voulu faire reposer la notion de nombre sur celle de grandeur, bien qu'elle y rentre comme cas particulier, et que les nombres puissent et doivent être considérés comme une espèce de grandeurs.

D'autre part, rien ne dit que l'objet défini soit unique, c'est-à-dire qu'il n'y ait qu'une espèce de grandeurs; et le contraire est même avéré : il y a diverses espèces de grandeurs qui correspondent exactement à la même définition et qui

CouTURAT. — Les principes des mathématique?. 8

114 l'idée de grandeur

concordent par toutes leurs propriétés. Est-ce à dire que la définition de la grandeur soit équivoque? Nullement, cela signifie qu'elle ne définit pas les espèces concrètes de grandeurs, mais ridée abstraite et générale de grandeur. Or, si Ton applique le principe d'abstraction à ce cas, et si l'on cherche ce qu'il y a de commun à toutes les espèces de grandeurs qui vérifient cette définition, on ne trouve que ceci : qu'elles cor- « respondent toutes à l'ensemble des nombres réels. C'est cet ensemble qui représente leurs propriétés formelles et qui est en \ quelque sorte leur portrait commun, leur schème générique, i Dès lors, on comprend que le nombre réel soit le type de la ^ grandeur, et que toutes les autres espèces de grandeurs : puissent se ramener à celle-là, dès qu'on les réduit à leurs \ propriétés abstraites et formelles. 1

Tout cela explique comment on a pu, dans le Formulaire de \ Mathématiques y supprimer la théorie des grandeurs : c'est la . théorie des nombres réels qui la représente et la remplace.

Plus généralement, cela explique que la plupart des mathémati- j

ciens identifient les deux concepts « grandeur » et « nombre réel », et réduisent la Mathématique à la science du nombre \ (du nombre généralisé, il est vrai). En tout cas, cela semble | prouver que (comme le soutient M. Russell) l'idée de grandeur est étrangère à la Mathématique pure, non pas qu'on ne puisse ^ en donner une définition nominale et purement logique I (M. BuRALi-FoRTi a prouvé le contraire), mais parce qu'on ne peut connaître que par l'expérience (ou l'intuition) l'existence de telle ou telle espèce de grandeurs. On peut bien dire, in abstracto : « J'appelle espèce de grandeurs toute classe d'objets qui vérifiera tels et tels postulats », mais, pour avoir des grandeurs concrètes, il faut qu'une telle classe d'objets soit donnée dans l'expérience, comme par exemple des longueurs ou des poids. On conçoit nettement la difl'érence qu'il y a entre ridée de nombre, construite entièrement par l'esprit, et l'idée de grandeur, qui implique un élément empirique, une donnée con* crête. C'est pour cela, du reste, qu'il n'y a qu'un ensemble de nombres (réels), tandis qu'il y a plusieurs espèces de grandeurs.

Il n'en est pas moins vrai que Ton peut logiquement définir les nombres entiers, puis les nombres rationnels, et enfin les nombres réels, par l'intermédiaire des grandeurs. Et alors se pose une question qui dépasse le ressort de la Logique, et qui est proprement épislémologique : Laquelle de ces deux notions, nombre et grandeur, est le fondement de Tautre? Il ne s'agit pas ici d'une question psychologique d'origine ou d'antériorité chronologique : l'ordre logique des notions peut être différent ou même inverse de leur ordre historique ; à plus forte raison leur ordre rationnel, La question est exactement celle-ci : on peut, logiquement, définir le nombre par la grandeur ou la grandeur par le nombre; laquelle de ces deux méthodes est la plus rationnelle, c'est-à-dire laquelle de ces deux idées est la raison d'être de l'autre?

La réponse à cette question est moins simple et moins tranchée qu'on ne pourrait le croire d'après son énoncé. Pour le dire tout de suite, elle nous paraît être la suivante : L'idée de nombre entier (cardinal) est indépendante de l'idée de grandeur; mais les autres espèces de nombres (les nombres généralisés) procèdent de Tidée de grandeur.

Le premier point nous semble établi par tout ce qui précède. Nous avons pu définir le nombre entier, comme nombre cardinal, au moyen de la seule notion de classe ou de collection, sans avoir à faire appel aux propriétés de ces classes spéciales qu'on nomme des espèces de grandeurs. C'est comme nombre Cardinal que nous avons introduit l'idée de nombre dans la théorie des grandeurs (par la définition des multiples). Au contraire, la définition des nombres entiers au moyen des grandeurs, comme coefficients, ou plutôt comme numéros d'ordre des multiples d'une même grandeur, nous a paru détournée et compliquée. Ajoutons qu'elle est beaucoup trop particulière et spéciale; car le nombre cardinal s'applique à Wen d'autres objets qu'aux grandeurs. Une fois défini le nombre cardinal pour une classe quelconque, il est aisé de l'appliquer à une classe de grandeurs; mais il est beaucoup

plus difficile, quand on Ta défini dans une classe de grandeurs, de rétendre à toute espèce de classes; en tout cas, cela n*est pas naturel ou plutôt rationnel. Enfin, quand on définit les nombres entiers au moyen des grandeurs, Yunicité de leur ensemble n'apparaît pas d'abord et demande une démonstration assez pénible, fondée sur la correspondance biunivoque de toutes les suites de grandeurs multiples ; c'est en somme une application du principe d'abstraction : la suite des nombres entiers est ce qu'il y a de commun à toutes les suites de grandeurs multiples. Au contraire, la définition logique du nombre entier (comme nombre cardinal) en établit immédiatement l'unicité.

Mais la thèse que nous venons de soutenir pour les nombres entiers, à savoir qu'ils sont indépendants de la notion de grandeur, ne nous paraît plus soutenable pour les autres espèces de nombres. Encore une fois, il ne s'agit plus ici de Logique, et les arguments logiques pour et contre cette thèse se neutralisent, ou plutôt ne portent pas. Il est bien vrai que l'on peut définir formellement les nombres rationnels comme relations {rapports) entre les nombres entiers : mais c'est qu'alors on considère les nombres entiers comme une espèce de grandeurs; et ce qui le prouve, c'est que ces mêmes rapports se retrouvent dans toutes les autres espèces de grandeurs. La fraction m/n n'est pas seulement le rapport du nombre m au nombre n, mais encore le rapport de deux grandeurs X et y d'une espèce quelconque, dès qu'il existe une grandeur z de même espèce telle qu'on ait : x = mz, y='*î> ou, plus simplement, dès qu'on a entre ces deux grandeurs la relation : nx=:my. C'est bien là ce qu'on entend lorsqu'on dit que a? est les w/n®' de y; et c'est en ce sens que le nombre w» lui-même est les m/n^* du nombre n. Le symbole m/n est donc en réalité le symbole d'une opération à effectuer sur la grandeur y pour obtenir la grandeur x. Ainsi se justifie la conception (de MM. Méray et Buhali-Forti) des nombres rationnels comme opérations, c'est-à-dire en définitive (suivant M. |Russell) comme relations, non seulement entre les nombres

entiers, mais entre les grandeurs d'une espace quelconque ^ Les mêmes considérations s'appliquent aux nombres réels, quand ce ne serait que pour cette raison bien simple, que, de quelque façon qu'on les déûnisse, on ne peut les définir qu'au moyen des nombres rationnels. Si donc on croit devoir regarder ceux-ci comme des opérations sur les grandeurs ou comme des relations entre grandeurs, on devra nécessairement attribuer la même nature aux nombres réels. Cela sera évidemment vrai si Ton conçoit, avec M. Russell, les nombres réels comme de simples ensembles de nombres rationnels. Mais cela sera encore plus vrai si on les conçoit, avec MM. Peano et BuRALi-FoRTi, comme des limites supérieures de ces mêmes ensembles. En effet, Texistence de ces limites supérieures résulte uniquement du postulat de la continuité. Or c'est là un postulat de la définition de la grandeur, et non pas un postulat du nombre. Il n'y a donc aucune raison, dans le domaine du nombre, pour y introduire des nombres irrationnels, tandis qu'il y a une raison, dans la théorie des grandeurs, pour adiïiettre ces mêmes nombres comme représentant les rapports des grandeurs incommensurables, dont le postulat de la continuité affirme ou implique l'existence. Il convient donc de concevoir les nombres irrationnels, eux aussi, et en général les nombres réels, comme des opérations sur les grandeurs, ou comme des relations ou rapports entre des grandeurs de même espèce ^.

!• C'est la thèse soutenue par M. Freoe dans ses Grundgesetze dei* Mhmetik, t. II (1903), à savoir que les nombres réels sont des rapports "6 grandeur. C'était déjà, nous Tavons dit, la conception de Newton.

2. Une remarque intéressante a été faite par M. Bdrali-Forti {Siilla ^oria genet^ale délie grandezze, p. 15, note) : les nombres entiers vériueDtles 4 preuliers postulats de la définition des grandeurs; les nombres j^lionnels vérifient en outre les postulats V et VI et Taxiome de divisibi- '^fé; enfin les nombres réels vérifient en outre l'axiome de continuité. Ainsi la généralisation du nombre s'effectue par des étapes successives ^ui consistent à attribuer progressivement au nombre les propriétés de la grandeur.

118 L*IDiB DE GRANDEUR

§ C — La mesure des grandeurs.

Les considérations précédentes nous amènent à étudier ce qu*on appelle la mesore des grandeurs, et à en préciser les conditions. En effet, la mesure des grandeurs consiste à établir entre les grandeurs d*une même espèce et les nombres uoe relation telle que l'on puisse substituer ceux-ci à celles-là. Plus exactement, mesurer une espèce de grandeurs S cest établir entre cette espèce de grandeurs et Fensemble des nombres réeb une correspondance binnivoque telle, qu'à la somme de deux grandeurs quelconques corresponde la somme des deux nombres correspondants. Bien entendu, le mot somme est pris ici dans deux sens différents : la première fois il désigne Taddition spéciale aux grandeurs considérées, la seconde fois il désigne l'addition arithmétique. 11 n'y a donc aucaae nécessité à ce qu'à la somme des grandeurs corresponde la somme des nombres: il n*y a là qu'une raison de commodité et de convenance.

Pour mieux comprendre cette raison, il convient de faire appel à une idée plus générale que celle de mesure, à la notion de proportionnalité. Étant donnés deux ensembles de grandeurs (de même espèce dans chaque ensemble, mais non pas nécessairement de l'un à l'autre ensemble), on dit que ces ensembles sont proportionnels % s'il y a entre eux une correspondance bîunivoque telle, que le rapport de deux grandeurs quelconques de l'un soit égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de l'autre. On sait, d'après ce qui précède, ce qu'il faut entendre par rapport de deux grandeurs A et B (prises dans cet ordre) ou rapport de A à B : c'est le nombre (rationnel ou irrationnel) par lequel on doit « multiplier » B pour obtenir A ' ; autrement dit, l'opération par laquelle on

i. On remarquera qae rexpression meswrer est appliquée, non à une grandeur en particulier, mais à toutes les grandeurs d'une même espèce.

2. On remarquera que Tépitbète proportionnel est appliquée, non aux grandeurs particulières, mais aux deux ensembles.

3. Nous mettons multiplier entre guillemets, pour rappeler que c'est là un sens spécial et symboUque du mot multiplier.

peut construire  en partant de B. En un mot, la proportionnalité consiste dans Tégalité des rapports entre grandeurs correspondantes des deux ensembles (lesquelles peuvent être respectivement d'espèces différentes). Or, pour que deux ensembles de grandeurs soient proportionnels, il faut et il suffit qu'à la somme de deux grandeurs quelconques de Tun corresponde la somme des grandeurs correspondantes de l'autre. C'est là un théorème assez important pour que nous en rappelions ici la démonstration *.

1° La condition est nécessaire. Supposons que les deux ensembles soient proportionnels; soient Â, B deux grandeurs du premier ensemble, C leur somme, et A', B', G les grandeurs correspondantes du second ensemble. On a par hypothèse : A + B = G; donc :

en vertu des lois du calcul des rapports. Mais on a, par hypothèse :

Donc on a aussi :

c'est-à-dire :

ce qui prouve que la somme de A' et de B' correspond à la somnae de A et de B.

2° La condition est suffisante. Supposons en efifet qu'elle soit

*• V. NiEWENOLOwsKi et Gérard, Cours de Géométrie élémentaire, t. I, Note I : Sur la mesure des grandeurs, § 360 (G. Naud, 1898). Les énoncés Classiques ajoutent cette condition, qu'à des grandeurs égales correspondent des grandeurs égales. Mais cette condition est inutile, du moment *lQe l'on n'admet pas de grandeurs égales, mais des quantités égales cor- 'cspondant à une grandeur identique. De même, on ajoute parfois cette ^ndiiion, qu'à des grandeurs inégales doivent correspondre des grandeurs dont Finégalité ait le môme sens. Mais celte condition est superflue, ^r elle est impliquée dans la condition relative à la somme, du moment <lue l'inégalité (avec son sens) est définie au moyen de l'addition.

vérifiée par les deux ensembles. Puisque à la somme de deux (ou plusieurs) grandeurs de l'un correspond la somme des grandeurs correspondantes de Tautre, à la grandeur mk (somme de m quantités égales à A) correspondra la grandeur

mk' (A' étant la correspondante de A). A la grandeur - A cor-

respondra la grandeur - A', car si :

on a aussi :

nB = A nB' = A'

et si B et B' ne se correspondaient pas, A et A' ne pourraient pas se correspondre. Par suite, à la grandeur — A correspond

la grandeur — A'; c'est-à-dire que le théorème est établi pour

le cas de deux grandeurs commensurables. On sait que, par un procédé de raisonnement général, il peut alors s'étendre au cas de deux grandeurs incommensurables. En effet, tout

Wi. k

nombre rationnel — inférieur (ou supérieur) au rapport s sera

aussi inférieur (ou supérieur) au rapport ^; par conséquent

les deux rapports donneront lieu à la même répartition des nombres rationnels en deux classes, c'est-à-dire correspondront au même nombre irrationnel. Le théorème est donc démontré. Il importe de remarquer que ce théorème suppose que les deux ensembles de grandeurs vérifient les huit postulais énoncés précédemment, ainsi que l'axiome de divisibilité et l'axiome d'Archimède, qui en sont des conséquences.

Cela posé, qu'est-ce que mesurer l'ensemble des grandeurs d'une même espèce? C'est simplement établir une proportionnalité entre cet ensemble et l'ensemble des nombres réels (lequel est une espèce de grandeurs). Or cela est possible, à la condition que Tensemble de grandeurs considéré vérifie les huit postulats (puisque nous savons que l'ensemble des nombres

réels les vérifie). Ainsi les huit postulats ne sont pas autre chose que les conditions auxquelles un ensemble de grandeurs est mesurable; et l'on peut dire qu'ils définissent le concept de grandeur mesurable.

Une fois ces conditions remplies, on peut appliquer à la mesure des grandeurs le théorème relatif à la proportionnalité en général, et dire que : pour qu'un ensemble de grandeurs soit mesurable, il faut 'et il suffit qu'à la somme de deux grandeurs quelconques on puisse faire correspondre la somme des nombres réels correspondants. On peut prendre pour cas particulier la somme de 2 ou de n quantités égales; la condition se réduit alors à cet énoncé courant : 11 faut et il suffit qu'on puisse définir la grandeur double ou n-uple d'une autre. Mais on ne doit jamais oublier que cette condition présuppose que les huit postulats sont vérifiés par l'espèce de grandeurs considérée.

En vertu de la définition de la proportionnalité, lorsqu'un ensemble de grandeurs est mesurable (ou plutôt mesuré)^ le rapport de deux grandeurs quelconques est égal au rapport des nombres réels correspondants. On voit quel intérêt il y avait à concevoir que les rapports entre nombres ne sont pas des nombres (de la même espèce), puisque les mêmes rapports qui existent dans Fensemble des nombres réels existent dans chaque ensemble de grandeurs mesurable. Le rapport de

2 mètres à 3 mètres est identique au rapport de 2 grammes à

3 grammes, ou à celui du nombre entier 2 au nombre entier 3; et c'est pourquoi tous ces rapports peuvent se représenter par la fraction 2/3*.

Nous pouvons enfin (et seulement à présent) définir Isl mesure d'une grandeur particulière. On appelle mesure d'une gran-

1. Il en résulte que les nombres rationnels sont essentiellement abstraits. On ne devrait pas dire : 2/3 de mètre, mais : une longueur qui est au mètre dans le rapport 2/3. On ne devrait pas dire non plus : 3 mètres, mais : une longueur qui est au mètre dans le rapport de 3 à 1. On voit bien que le nombre 3 n'est plus ici un nombre cardinal, ni même un nombre entier (désignant une collection), mais une mesure, c'est-à-dire un rapport.

deur (par rapport à une grandeur de même espèce) le rapport de la première à la seconde, ou, comme on dit vulgairement, le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour obtenir la première. Dans le cas où les deux grandeurs en question sont identiques, la mesure de cette grandeur est le nombre 1

(plus exactement, le nombre rationnel j =^ = ... = *-)• C'est

pourquoi la seconde grandeur, par rapport à laquelle est définie la mesure, s'appelle grandeur-unité ou unité de mesure. Le choix de cette grandeur-unité est nécessaire et suffisant pour déterminer la mesure de toutes les autres grandeurs de la même espèce ^ Cette déûnition appelle deux observations importantes. La première, c'est que la mesure est toujours un rapport, donc un nombre rationnel ou réel. La seconde, c'est que la mesure est essentiellement relative au choix de la grandeur-unité; or ce choix est absolument arbitraire, étant donné que l'ensemble de grandeurs considéré est continu (par hypothèse) ; rien ne distingue la grandeur-unité de toutes les autres, rien ne la désigne à notre choix, et la correspondance entre les grandeurs et les nombres serait toute semblable et tout aussi parfaite si l'on choisissait pour unité n'importe quelle autre grandeur. Par conséquent, la correspondance de tel nombre à telle grandeur est toute fortuite et conventionnelle, et en ce sens on peut dire que la mesure des grandeurs comporte un élément d'arbitraire. Mais il n'en faut pas conclure (comme les nominalistes semblent le faire) que la mesurabililé des grandeurs soit arbitraire, et dépende d'un « libre décret ». Cette mesurabilité repose sur les propriétés que nous avons énumérées, et ces propriétés sont objectives et indépendantes de nous. Le fait même de la proportionnalité des grandeurs aux nombres n'est pas une convention : les rapports qui existent entre les grandeurs sont aussi réels et objectifs que les grandeurs elles-mêmes, et ne dépendent nullement du choix de l'unité. L'élément arbitraire et subjectif réside uni-

\, De même, et plus généralement, il suffit d'un couple de grandeurs correspondantes pour déterminer une proportionnalité.

qaement dans le passage du rapport à la mesure, c'est*à-dire dans Tadoption d*une seule et unique grandeur comme second terme de tous les rapports. (C*est pourquoi il importe de définir la mesure par le rapport, et non pas, comme on le fait quelquefois, le rapport par la mesure.) Ainsi, dans celte théorie de la mesure des grandeurs, que les irrationalistes exploitent si complaisamment en faveur d'on ne sait quelle « liberté » chimérique et absurde, il n'y a rien qui autorise à considérer la mesurabilité des grandeurs comme dépendant à un degré quelconque de nos « conventions » et de nos « décrets ».

Au surplus, il faut se garder d'exagérer la portée de la théorie de la mesure des grandeurs, et de croire que les grandeurs n'aient droit de cité en Mathématique qu'à la condition de passer sous les Fourches Caudines du nombre. La mesure des grandeurs a une valeur pratique bien plutôt que théorique, comme Fa bien montré M. Russell ^ ; elle a en somme pour but de rendre les grandeurs plus maniables, en permettant de les représenter par des nombres et de les soumettre au calcul algébrique (c'est-à-dire arithmétique). Mais si une telle représentation est commode, économique en quelque sorte, elle n'a rien de nécessaire; et la Mathématique moderne traite bien des espèces de grandeurs qui ne sont pas proportionnelles à des nombres (par exemple le^ vecteurs et autres grandeurs géométriques). Elle en est quitte pour inventer des calculs nouveaux, différents du calcul algébrique, qui s'appliquent directement à ces espèces de grandeurs : calcul de Grassmann, calcul des quaternions, etc. Bien mieux, elle invente, pour représenter certaines espèces de grandeurs non mesurables (à plusieurs dimensions) des symboles qu'on appelle encore des nombres, par analogie, à savoir les nombres complexes. Ce dernier fait confirme notre thèse, à savoir que, dans la généralisation du nombre, c'est le nombre qui se modèle sur la grandeur, et non la grandeur sur le nombre. Mais c'est là un sujet réservé au chapitre suivant.