CHAPITRE YI

La Géométrie passe généralement encore pour être la science de l'espace. Il semblerait donc qu'elle dût commencer, en bonne méthode, par une déûnition de l'espace. Or une telle définition est, d'abord, très difficile et très compliquée; ensuite, elle est parfaitement inutile : Tidée et le mot même d'espace ne se trouvent pas dans Euclide ni dans ÂRcmMÈDE ^ Il en est de même des notions de ligne et de surface^ qu'EucLioE lui-même essaie de définir au début de ses Éléments. La définition de ces notions générales est extrêmement délicate, et ne peut être faite avec rigueur qu'au moyen du Calcul intégral : c'est dire que sa place n'est pas dans les éléments ni dans les principes de la Géométrie'. Il ne faudrait donc pas croire que, si la Géométrie ne peut pas déQnir dès le début ces trois notions, c'est parce que celles-ci sont des notions premières, fondamentales

i. Pbano, Sui fondamenti délia Geometria^ ap. Ref>ue de Mathématiques^ t. IV, p. 32 (1894).

2. Par exemple, certains auteurs définissent la surface comme ce qui limite un solide. Or il existe certaines surfaces qui n*ont qu'une face, ou dont les deux faces se relient d'une manière continue, de sorte qu'elles ne partagent pas l'espace en deux régions séparées, et ne peuvent par suite servir à délimiter un solide. (Peano, ibid,) Voici l'exemple simple et concret qu'on en cite habituellement : Qu'on prenne une bande rectangulaire ABA'B' beaucoup plus longue que large, et qu'on en colle les extrémités de telle sorte que A' coïncide avec A et B' avec B, le ruban fermé ainsi constitué n'a qu'une face, en ce sens qu'on peut passer d'uue face sur l'autre sans le percer. C'est ce qu'on appelle un ruban paradromique, V. Rousb Ball, Problêmes et récréations mathématiques, trad. Fritz- Patrick (Paris, Hermann, 1898).

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 127

et simples ; tout au contraire, c^est parce qu'elles sont très complexes; et la Géométrie peut parfaitement se constituer sans elles, comme on le verra plus loin. Ce n'est pas sur les idées générales et vagues d'espace, de surface et de ligne que la Géométrie est fondée, mais sur les idées particulières et précises de droite^ de plan et surtout de point \ et c'est parmi celles-ci que se trouvent les notions premières et indéfinissables de cette science ^ En particulier, le point est l'élément indéfinissable de tous les systèmes de Géométrie. Les points sont les termes individuels de toutes les relations dont Tétude constitue les diverses Géométrîes; et si l'espace peut être défini au début de la Géométrie, ce ne peut être que comme l'ensemble des points.

§ A. — Les Dimensions. Topologie.

Mais ici intervient nécessairement la considération des dimensions. On peut essayer de définir la ligne, la surface et l'espace en disant que ce sont respectivement des ensembles conlinus de points à un, à deux et à trois dimensions. C'est en généralisant cette conception que Riemann ^ définissait l'espace comme un ensemble (multiplicité) à plusieurs dimensions; et il l'imaginait engendré progressivement par le mouvement d'un ensemble antérieurement formé « à travers » une nouvelle dimension. Un point, en parcourant un ensemble continu de posilions (numérotées par les nombres réels), engendre une ligne; si cette ligne à son tour parcourt un ensemble continu de positions (numérotées par les nombres réels), elle engendre une surface; cette surface, en parcourant un ensemble continu dépositions, engendre un espace à 3 dimensions; et ainsi de suite, car rien ne limite rationnellement cette suite de générations progressives, et par suite le nombre des dimensions de l'espace. Si un espace est obtenu au moyen de n mouvements

I* Nous recommandons cette considération aux sectateurs de la logique aristotélicienne, qui sont habitués à considérer les idées les plus générales comme étant aussi les plus simples et les premières dans l'ordre logique.

2. Veher die Bypothesen^ welche der Géométrie zu Grunde liegen (1854).

128 LA GBOlfETRIB

successifs (à partir du point), il a n dimensions : cela veut dire que chacun de ses points est déterminé par n coordonnées numériques, qui fixent respectivement sa place sur une ligne, la place de cette ligne sur une surface, la place de cette surface dans un espace à 3 dimensions, etc.

Cette conception de l'espace est en quelque sorte classique, et a passé dans beaucoup d'ouvrages élémentaires, soit de géométrie, soit de philosophie. Malheureusement, elle est insuffisante, non seulement parce qu'elle fait appel à l'idée peu claire de variation ou de mouvement, mais parce qu'on ne voit pas la possibilité des variations indiquées, ni comment elles « engendrent » de nouveaux ensembles. Par exemple, un plan peut se déplacer d'une manière continue tout en restant identique à lui-même. Dira-t-on encore que sa variation engendre une multiplicité à trois dimensions? D'une manière générale, on ne peut rien déûnir ni expliquer par génération^ car toute variation, tout mouvement, présuppose défini et donné l'ensemble des valeurs que la variable doit prendre, l'ensemble des positions que le mobile doit occuper. Pour qu^une ligne puisse engendrer une multiplicité à deux dimensions, il faut qu'elle puisse sortir d'elle-même, c'est-à-dire qu'il y ait déjà une deuxième dimension; et de même, il faut une troisième dimension pour qu'une surface puisse se déplacer en sortant d'elle-même, au lieu de glisser simplement sur elle-même en se reproduisant indéfiniment.

En outre, cette conception présente des difficultés qu'on ne pouvait soupçonner du temps de Riëmânn. On croyait alors qu'une ligne et une surface, par exemple, ne pouvaient être équivalentes, comme ensembles de points, qu'elles étaient « incommensurables ». Si la ligne était un ensemble infini de points, la surface devait être un ensemble infiniment plus infini, et ainsi de suite. Cela vient de ce qu'on n'avait que des notions vagues de l'infini numérique et du nombre des éléments du continu. M. Georg Cantor a démontré, au contraire, que tous les continus sont équivalents, quel que soit le nombre de leurs dimensions, c'est-à-dire qu'on peut établir entre eux une cor-

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 129

respondance bîuniforme, point par point, de sorte que rien ne les distingue au point de vue du nombre de leurs éléments. Il y a « autant » de points dans un segment rectiligne (ou curviligne) que dans un carré ou dans un cube, voire dans un espace à n dimensions et même à a> dimensions. Cette vérité paradoxale a été illustrée par M. Pbano, lorsqu'il a inventé une courbe qui remplit un carré, c'est-à-dire qui passe par tous le^ points de ce carré*. Pour définir cette courbe, M. Peano a employé son ingénieuse méthode de transformation arithmétique dont nous avons vu déjà une autre application (p. 96) ; pour plus de clarté, nous nous bornerons à la décrire géométriquement 2. Soit un carré de côté 1 ; on partage d'abord ses côtés en un nombre impair de parties (égales ou inégales) ; supposons, pour simplifier, que ce nombre est 3, et que les parties sont égales. Le carré se trouve par suite partagé en 9 carrés égaux. On mène alors une ligne brisée continue qui les traverse tous diagonalement en allant d'un sommet du carré au sommet opposé (fîg. 3). Numérotons de à 9 les sommets par lesquels elle passe successivement. Prenons d'autre pari un segment rectiligne quelcomfue, partageons-le en 9 segments contigus et consécutifs (égaux si l'on veut), et numérotons les points de division de à 9. Ce numérotage établit une correspondance uniforme (mais non biuniforme) entre ces points de division et les sommets successifs de la ligne brisée. Cela posé, on effectue dans chacun des carrés partiels une construction semblable (géométriquement) à celle qu'on a effectuée dans le carré entier, et dans chacun des segments de la ligne droite une subdivision semblable à la première. On établit ainsi une correspondance uniforme entre 82 points de la ligne droite et les 82 sommets successifs d'une ligne brisée qui traverse les 81 nouveaux carrés. Il est à remarquer que, dans celte nouvelle correspondance, les points correspondants suivant Tancienne

1. G. PiSANO, Sur une courbe qui remplit toute une aire plane, ap. Math. Annalen, t. XXXVI, p. 157-160 (1890).

2. D'après Schônflies, Bericht ûber die Mengenlehre, ap. Jahresbencht der Mathematiker-Vereinigung, t. VllI, 2, p. 121 (1900).

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. "

LA GiOMÉTRIE

sont encore correspondants, et que Tancienne ligne brisée se troave toat entière contenue dans la nouvelle, mais en tronçons séparés : la diagonale 0-9 se trouve décomposée en 3 segments 0-1, 4-5, 8-9 auxquels correspondent des segments séparés de la ligne droite (et même le segment 4-5 a son sens interverti dans cette transformation). On continue ainsi indéfiniment à subdiviser le carré, d'une part, et le segment reeti-

Fig. 3.

ligne, d'autre part, chaque segment partiel correspondant à un carré partiel de la subdivision correspondante. On établit ainsi une correspondance entre tous les points du segment et tous les points du carré dont les coordonnées peuvent s'exprimer en une fraction systématique dans le système de numération ternaire, c'est-à-dire en une série de la forme :

On

Tous les autres points (rationnels ou irrationnels) du carré peuvent être définis comme limites par rapport à l'ensemble des points précédents. A chacun d'eux on fera correspondre

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 13i

sur le segment le point-limite de la suite des points correspondants. Autrement dit, si un point x du carré n'est le sommet d'aucun carré partiel, il sera contenu dans une suite infinie de carrés partiels appartenant respectivement à toutes les subdi- TisioDs successives. A cette suite de carrés (contenus les uns dans les autres) correspondra, sur la ligne droite, une suite infinie d'intervalles de plus en plus petits (et contenus les uns dans les autres), qui déterminent un point-limite ; ce point sera, par définition, le correspondant du point x. En résumé, on a une correspondance uniforme entre tous les points du segment et tous les points du carré, et cette correspondance est en outre continue, c'est-à-dire qu'à des points voisins sur le segment correspondent des points voisins dans le carré. En définitive, on a établi entre tous les points du carré un ordre linéaire et continu, et c'est ce qu'on exprime en disant qu'on a une ligne continue qui remplit le carré *. Mais cette correspondance n'est pas biunifôrmej et sa converse n'est pas continue : car on voit qu'à chaque sommet des carrés partiels correspondent deux points distincts du segment (par exemple, 1 et 5, 4 et 8) et, à plus forte raison, à deux points voisins du carré ne correspondent pas deux points voisins du segment (exemple les points 1 — s et 5 -h 6.) En général, à chaque sommet d'un carré partiel correspondent 2 points; à chaque point d'un côté d'un carré partiel (c'est-à-dire d'une ligne de subdivision) qui n'est pas un sommet correspondent 4 points; et à chacun des autres points correspond un seul point *.

Nous avons exposé en détail le paradoxe de M. Peano, parce

!• Cette ligne continue n'a d'ailleurs de tangente en aucun point. C'est QD exemple simple d'une fonction continue dans un intervalle et qui n'a pas de dérivée dans tout cet intervalle.

2- M. HiLBERT a ensuite imaginé une autre correspondance qui possède 1«8 mêmes propriétés (Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein ^làchenstûck, ap. Math. Annalen, t. XXXVIII, p. 459; cf. E. Picard, Traite' ^Anab/scy 2* éd., t. I, p. 22); mais cette correspondance est moins simple €l moins intuitive, parce que les points de division du segment correspondent aux carrés partiels, et non à leurs sommets, et que les lignes brisées provisoires ne font pas partie de la courbe définitive. Pour la pême raison, la construction des lignes brisées est moins uniforme, et *1 n'est pas évident qu'elle puisse se prolonger indéfiniment.

qu'il a une grande portée au point de vue philosophique. Il prouve d'une façon saisissante l'insuffisance ou plutôt rincompétence de l'intuition en matière de Géométrie \ et particulièrement dans la Topologie, qui parait cependant relever essentiellement de rintuition. Toutefois, il ne faut pas exagérer cette portée, et croire qu'il supprime toute possibilité de distinguer les ensembles ou espaces d'après le nombre de leurs dimensioDS. En effet, on a démontré qu'une telle correspondance entre deux continus d'un nombre différent de dimensions ne peut pas être à la fois biuniforme et continue. Si elle est continue, comme la précédente, elle peut bien être uniforme, mais non biuniforme. Si elle est biuniforme, c'est-à-dire si elle manifeste l'égalité de nombre des éléments des deux continus, elle ne peut pas être continue, c'est-à-dire qu'elle ne conserve pas les relations de voisinage entre les points; elle ne respecte pas leur ordre et leurs connexions. Cette proposition a été démontrée successivement par MM. TH0MAE^ Netto ', G. Cantor *. Ces démonstrations ont paru insuffisantes à M. Jurgens ^, qui les a récemment complétées et corroborées. On peut présenter sa démonstration sous une forme élémentaire et presque intuitive. Il ne peut pas y avoir de correspondance biuniforme et continue entre les points d'un segment rectiligne et ceux d'un carré: telle est la proposition à prouver. En eflFet, supposons qu'au point P du carré corresponde le point Q du segment (fig. 4); à un segment quelconque AB tracé dans le carré et contenant le point P devra correspondre sur la droite un segment CD contenant le point Q et continu (en vertu de la continuité supposée de la correspondance). Mais alors, si Ton considère un point M du carré aussi voisin qu'on voudra du point P, mais non sur AB, il ne pourra pas lui correspondre un point aussi

1. Cf. ScHôNFLiES, Beitrage zur Théorie der Punktmengen, ap. Math, Annalen, t. LVIII, p. 295-334 (1904).