Cr. Ghap. III, § A (p

GEOMETRIE PROJEGTIVE 149

« XV. a, 6, c étant 3 points distincts d'une droite, si un point d de cette droite, distinct de a et de c, n'appartient pas au segment a^c, il appartient au segment bca, »

De ce postulat on déduit que, dans la même hypothèse, d appartiendra au segment caby c au segment abd^ b au segment acd, et a au segment cbd (v. flg. 7).

« XYI. a, 6, c étant 3 points distincts d'une droite, si un point (f appartient à la fois aux segments bca et caby il ne pourra appartenir au segment abc ^ » Ce postulat revient à dire que, si les couples (a, c) et (6, d) se séparent mutuellement, les couples (a, b) et (c, c{) ne peuvent pas se séparer, non plus

que les couples (a, d) et (6, c). En d'autres termes, quatre points d'une droite ne peuvent se répartir que d'une seule manière en couples séparés. On peut alors démontrer que le conjugué harmonique de c par rapport à a et 6 est séparé de c par a, b.

« XVII. a, b, c étant des points collinéaires distincts, d un point du segment abc, et e un point du segment adc : le point e appartient au segment abc, »

Ce postulat revient à dire : si les points a et c ne sont pas séparés par b et rf, ni par d et e, ils ne sont pas séparés non plus par b et e. Il permet d'établir que la droite est une ligne fermée, qu'elle contient une infinité de points, et qu'elle est divisée par deux de ses points en deux segments. On peut

1. Ainsi, des 3 segments abc, bca, cab qu'on peut distinguer sur la droite, deux et deux seulement peuvent contenir un point quelconque.

alors définir Tordre naturel des points d'une droite, et y distinguer deux sens inverses ^ Ces notions ordinales ne jouent d'ailleurs aucun rôle dans la démonstration des propositions suivantes (elles reparaissent seulement dans le postulat de continuité XVIII); mais il est intéressant de savoir qu'on peut les définir au moyen des seules notions projectives que nous avons citées '.

De la notion du segment projectif dérivent les notions da triangle et du tétraèdre projectifs. Soient 3 points non colli-

Fig. 8.

néaires a, 6, c, et d un point du plan abc non situé suraJ, bc ou ca; soit a' le point {bc. ad), b' le point {ca. bd) ; le triangle projectif aftcrf est le lieu des points x tels que les droites ox, bx rencontrent les droites 6c, ca respectivement à l'intérieur des segments ba'c, cb'a (fîg. 8). Le triangle ainsi défini est contenu dans le plan abc ; il contient en particulier le point d qui sert aie définir, mais non ses 3 côtés aô, 6c, ca, ni par suite ses 3 somïpets a, 6, c. On démontre que cette définition est symétrique

4. Plus précisément, on définit la relation binaire : « Le point x suit le point y dans l'ordre des points û, 6, c. » Ainsi il faut donner 3 points d'une droite pour y déterminer un ordre (Cf. Chap. m, § A, p. 69).

2. Ces propriétés ordinales de la droite (plus généralement, des formes de 1" espèce) constituent le postulat V de M. Enriqubs {Sui fondamenii délia Geometria projettiva, 1894) qui définit « la disposition circulaire des éléments » de la droite, à deux sens inverses l'un de l'autre.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE ISl

par rapport aux 3 sommets et aux 3 câtés; d'où l'on coaclut que, si c' est le point {ab. cd), le triangle aècd est le lieu des points qui sont projetés des 3 sommets respectivement sur les côtés opposés, c'est-à-dire sur les segments ba'c, cb'a, ac'b. Trois points d'un pian déterminent quatre triangles projectife, qui se distinguent par la situation du V point d. C'est pourquoi il est nécessaire (etsurfiesnt), ponr déterminer chacun d'eux, de donner, outre les 3 sommets, un point quelconque de son intérieur '. Dans la figure 9, ces quatre triangles (entre les-

Fig. 9.

quels tout le plan est réparti) sont représentés par la région blanche et les régions diversement hachurées'.

On démontre qu'une droite qui rencontre un des côtés d'un triangle (c'est-à-dire qui a un point commun avec lui) en rencontre également nn second; qu'une droite qui rencontre deux côtés d'un triangle ne rencontre pas le 3' (mais bien son prolongement); qu'une droite quelconque du plan d'un triangle . rencontre deux de ses côtés ou n'en rencontre aucun; enfin,

1. De mèrae que pour déterminer ud segment il faut donner, outre ses «Irémités, un point de sou intérieur.

3. Cbaque cûté détermine deux triangles avec l'Angle correspondant (forma de deux angles simples opposés par le sommet); cela fait 6 triangles, mais Iroia d'entre eux coïncident {abc == cab = bca), ce qui réduit leur nombre k quatre. On peut encore concevoir (moins symétriquement) Ms triangles comme les parties communes ù deux angles ayant pour sommets respectifs a et b. Comme il y a deux angles pour chacun de ces sommets, cela fait quatre combinaisons, qui sont les quatre triangles.

152 LA GÉOMéTRIE

que sur les 4 triangles déterminés par 3 points ou par 3 droites d*un plan, une droite de ce plan pénètre dans 3 d'entre eux, mais non dans le 4^

On peut alors définir et étudier les transfot^mations segmeniaires^ c'est-à-dire celles qui transforment un segment en un segment : a, 6, c, d étant 4 points d'une droite et a'^ b\ &, d' les 4 points correspondants (d'une autre droite), si d appartient au segment abc, d appartiendra au segment a!Vd .

11 importe ici de postuler la continuité des segments, au moyen d'un axiome analogue à celui de M. Dedekind, et que M. PiBRi formule comme suit ^ :

« XVIII. Si le segment abc est divisé en deux parties X, T dont chacune contient au moins un point, et telles que tout point 0? de X précède tout point y de Y dans Tordre ai(;^ il existe (au moins) un point z du segment abc tel que tout point de abc qui le précède appartient à X, et que tout point de aht qui le suit appartient à Y '. »

On démontre ensuite que le point z ainsi défini est unique : c'est la limite commune des deux ensembles X, Y.

On établit alors le théorème du point double : « Soit un segment abc qu'une transformation segmentaire biuniforme transforme en un segment a'b'c' contenu dans abc; il existe dans a'b'c' un point double (c'est-à-dire qui coïncide avec le point correspondant de abc) tel qu'il n'est précédé d'aucun point double dans abc*, »

La relation harmonique fournit une transformation segmen-

1. M. PiERi a montré tout récemment (Circa il ieorema fondamenlaU di Staudi e i principii délia GeomettHaproJettiva, ap. Atti delVAcademia délie Scienze di Torino, 1904) que, pour établir le théorème de Staudt, il suffit d^admettre un postulat moins « fort » que le postulat XVIII, qui n'implique pas la continuité, et qui, fournissant seulement un ensemble dénombrable de points, permet de fonder la Géométrie projeclive dul^ct du 2' degrés (comprenant seulement les opérations rationnelles et rextraction de la racine carrée).

2. Rappelons qu'on a défini Tordre des points d'un segment par rapport à 3 points fixes a, b, c (v. p. 150, note 1).

3. Ce postulat de la continuité a été formulé de la même manière par F. Enriques, Sui fondamenii délia Geomelria projettiva (1894).