Enriqubs, op. cit., § 9 ; Pirhi, op, cit

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taire d'une droile en elle-même, qui consiste à échanger enlre eux les points conjugués par rapport à deux points fixes; c'est ce qu'on appelle une transformation harmonique.

On peut alors démontrer le théorème de Staudt : Toute transformation harmonique qui contient trois points doubles est une identité; autrement dit, si dans une transformation harmonique 3 points coïncident avec leurs correspondants, tous les autres points coïncident avec leurs correspondants'.

De ce théorème il résulte qu'une transformation harmonique est déterminée par 3 points. C'est le théorème fondamental de la Géométrie projective '. C'est lui qui permet d'appliquer les nombres réels aux figures projectives, et d'établir ainsi les coordonnées projectives, sans l'intervention d'aucune notion métrique'. Par suite, une fois cette application faite, toute question de Géométrie projective se réduit (comme dans la Géométrie analytique cartésienne) à une question d'Algèbre, résoluble par des moyens purement analytiques (c'est-à-dire logiques). Ainsi les 18 postulats précédents suffisent à fonder la Géométrie projective de l'espace général à n dimensions.

Si l'on veut se restreindre à l'espace ordinaire à 3 dimen* 8ions, on devra admettre un postulat de plus :

« XIX. a, 6, c, d étant 4 points non dans un même plan.

1. Staudt, Geometne der Lage,% 106 (1841); Pasch, Vorlesungen ilher neuere Géométrie, p. 126 (1882) ; Enriques, op. cit., § 14; Pieri, op. ci^,§ 10.

2. M. WiENEB a affirmé que le théorème fondamental de la Géométrie projective peut se démontrer sans aucun postulat de continuité, au moyen des théorèmes de Desargues et de Pascal {Ueber die Grundlagen und den Ausbau der Geometiie, ap. Jahresbericht der deutschen Mathematiker- ^'ereinigung, t. I, p. 47; t. III, p. 70); et M. Schor a effectué celle démonstration {Ueber den Fundamentafsatz der projectiven Géométrie, ap. Mathe^ ^(^tische Annalen, t. Lï, p. 401-409 ; 1899); Ueber die Grundlagen der Géométrie, § 2, ap. Math. Ann., t. LV, 1902). Mais les théorèmes invoqués reposent ^r les axiomes de congruence, qui appartiennent à la Géométrie métrique. *!• Balser a au contraire démontré le théorème fondamental au moyen "U postulat de continuité de Dedekind (c'est-à-dire de la continuité ordi- «aie), sans invoquer laconlinuité géométrique, c'est-à-dire métrique [Ueber ^^Pundamentalsatz der projectiven Géométrie, ap. Mathematische Annalen, ^- LV, p. 293-300 ; 1902).

^' Cette question des coordonnées projectives, sur laquelle nous ne voulons pas insister, parce qu'elle a surtout un intérêt technique, a été traitée à fond par Pasch, op. cit., § 22.

et e un 5* point non situé dans aucun des plans abc, abd, acd, hcd^ il existe un point commun à la droite ae et au plau bcd. »

Ce postulat signifie qu*un plan et une droite ont toujours un point commun; ce qui équivaut à dire que l'espace n a que 3 dimensions. On en déduit que deux plans ont toujours une droite commune^

La limitation à 3 du nombre des dimensions a pour effet d'établir entre les points et les plans la dualité si remarquable qui caractérise la Géométrie projective ordinaire, et qui consiste en ce que toute proposition projective donne lieu à une autre proposition également vraie, si Ton y remplace les foxnis par des plans, les plans par des points, et si Ton conserve les droites avec les relations qu'elles soutiennent, soit avec les points, soit avec les plans ^ Cette réciprocité vient, comme l'explique M. Piëri, de ce fait que, les notions indéfinissables de la théorie étant celles de point et de droite (série de points), dont le sens, dès lors, est indifférent à la vérité de la théorie, celle-ci reste vraie si l'on donne à ces entités un autre sens qui vérifie les mêmes relations (énoncées dans les postulats). Groupent leur donner respectivement le sens de plan et de faisceau de plans (passant par une droite), ce qui fait que tout théorème vrai pour les points et les droites qui les joignent est encore vrai pour les plans et les droites qui en sont l'intersection.

Cette dualité générale a pour conséquence deux dualités spéciales, l'une dans les figures planes, l'autre dans les figures centrales (c'est-à-dire dont tous les éléments passent par un même point appelé centre) *. En effet, il y a réciprocité entre les figures planes et les figures centrales, celles-là étant caractérisées par le fait qu'elles sont situées dans un seul et même plan, et celles-ci par le fait qu'elles passent par un seul et même point. Par suite, la figure réciproque d'une figure plane

1. Deux plans, comme deux points, déterminent une droite ; trois plaç^ qui n'ont pas une droite commune déterminent un point, comme trois points non en ligne droite déterminent un plan, etc.

2. Les figures centrales sont : le faisceau de droites, le faisceau de plans, la gerbe de droites et la gerbe de plans.

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est une figure centrale, et vice versa ^ Mais, d'autre part, une figure plane est la section d'une figure centrale (par un plan donné), et une figure centrale est la projection d*une figure plane (depuis un point donné) '. Cela étant, toute relation entre points et droites, dans un plan, se traduit par une relation de même forme entre droites et plans dans une figure centrale (les droites étant les projections des points, et les plans étant les f^ro/ec^ton^ des droites). Mais, par dualité, cette dernière relation correspond à une autre relation entre droites et points dans un même plan (plan correspondant au centre de la figure centrale). Ainsi la même relation qui existe entre les points et les droites d'un plan existe entre les droites et les points d'un autre (ou du même) plan, les droites correspondant aux points et les points aux droites. C'est en cela que consiste la dualité dans les figures planes.

De même, toute relation entre les éléments d'une figure centrale (composée de droites et de plans) se traduit par une relation de même forme entre les points et les droites qui en sont les sections planes. Mais, par dualité, cette dernière relation correspond à une autre relation entre plans et droites d'une même figure centrale (dont le centre correspond au plan précédent). Ainsi la même relation qui existe entre les droites et les plans d'une figure centrale existe entre les plans et les droites d'une autre (ou de la même) figure centrale, les plans correspondant aux droites et les droites aux plans. Telle est la dualité dans les figures centrales, réciproque de la dualité dans les figures planes ^

La dualité delà Géométrie projective off*re un grand intérêt

1. Le faisceau de plans est la figure réciproque de la droite (comme ensemble de points); la gerbe de droites est la réciproque du plan (comme ensemble de droites) et la gerbe de plans la réciproque du plan (comme ensemble de points); eafin le faisceau de droites est la réciproque du faisceau de droites.

2. Le faisceau de droites est la projection de la droite (comme ensemble ^e points) ; le faisceau de plans est la projection du faisceau de droites; enfin la gerbe de droites et la gerbe de plans sont les projections du plan considéré respectivement comme ensemble de points et comme ensemble de droites.

3. Pasch, op. cit., § 42; Enriques, pp. cit., § 15; Pieri, op. cit., §11.

philosophique, car c*e8t elle qui paraît avoir suggéré aoi malhématiciens cette pensée capitale, que la vérité des propositions de la Géométrie (et en général des Mathématiques) ne dépend pas du sens des notions premières, mais seulement de leurs relations fondamentales (énoncées dans les définitioDS et les postulats); que, par suite, ces propositions sont des conséquences formelles de ces postulats, et que toute la Géométrie peut se déduire logiquement de ceux-ci ^ A présent, du reste, il ne s*agit plus d'une simple possibilité théorique : cette déduction logique a été efTectuée par les géomètres que nous avons cités, et surtout par M. Pieri, au moyen de la Logique symbolique de M. Peano, qui en garantit la valeur formelle et apodictique.

Si Ton ne veut pas se limiter à 3 dimensions, on pourra (en se passant du postulat XIX) définir Vhyperplan projectifdn 3* ordre comme la projection d'un plan bcd à partir d'un point a extérieur à ce plan. On démontrera que cette figure est la même que celle qu'on obtiendrait en projetant le plan acd depuis le point 6, ou le plan abd depuis le pointe, ou le planak depuis le pointe/; et on la désignera par abcd (a, 6, c, d n'étant pas dans un même plan). On établira qu'un tel hyperplanest déterminé par 4 quelconques de ses points non situés dans un même plan. On pourra démontrer, sans le postulat XlXy que, dans un même hyperplan^ un plan et une droite ont un point commun, et deux plans une droite commune; de sorte que le postulat XIX (des 3 dimensions) revient à dire qu'il n'y a qu'un seul hyperplan de 3® ordre, lequel constitue tout l'espace. Pour s'élever à la 40 dimension, il suffira d'admettre le postulat contraire :

« XIX'. a, by c, d étant 4 points non situés dans un même plan, il existe un point hors de l'hyperplan abcd. »

1. « Es muss in der That, wenn anders die Géométrie wirklich deductiv sein soll, der Process des Folgerns ûberall unabhângig sein vom Sinn der geometrischen BegrifTe, wie er unabhângig sein muss von den Figuren; nur die in den benutzten Sâtzen, beziehungsweise Défi nitionen niedergelegten Beziehungen zwischen den geometrischen Begrifîen dûrfen io Betracht kommen. » (Pasch, op. cit., p. 98.) Cette phrase souvent citée caractérise parfaitement la tendance logique de toute la Mathématique moderne.

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Si Ton veut limiter à 4 le nombre des dimensions de Tespace, on devra admettre un postulat analogue à XIX, à savoir :

« XX'. a, 6, c, d^ e étant 5 points non situés dans un même hyperplan de 3® ordre, et fnn point non situé dans aucun des hyperplans abcd, abce, abde^ acde, bcde, la droite af rencontre rhyperplan bcde. »

Il en résulte que la figure abcde (hyperplan de 4* ordre) constitue tout l'espace. On voit que Ton peut ainsi définir progressivement un espace à n dimensions (n étant un nombre entier fini), ou même (par induction complète) un espace à o^ dimensions*, au moyen du postulat suivant (généralisation des postulats XI et XIII) :

« Xr. n étant un nombre entier positif, si P est un hyperplan de n^ ordre, il existe un point hors de P. »

S'il existe des points en dehors d'un hyperplan de n« ordre, et cela quel que soit n, le nombre des dimensions de Tespace est infini. C'est ce que M. Pieri appelle l'espace projectif absolu. Et comme le postulat Xr remplace les postulats XI et XIII, cela fait en tout 17 postulats pour définir l'espace projectif absolu, et 19 pour définir l'espace projectif à 3 dimensions : de sorte qu'on peut dire qu'au point de vue logique celui-ci est moins simple que celui-là. Gela montre combien il est facile, logiquement, de concevoir un espace d'un nombre quelconque de dimensions, même infini ^.

Pour achever l'analyse logique de la Géométrie projective, il reste à donner une définition logique de la droite projective, qui est, comme on l'expliquera tout à l'heure. Tunique notion indéfinissable de cette théorie. La droite projective est un ensemble de points (en nombre illimité) déterminé par deux points; 011 pourrait donc la définir comme une relation uniforme entre un couple de points et un ensemble de points (relation uniforme, mais non biuniforme : car la même droite

i. o^jest le nombre cardinal des nombres entiers finis (v. p. 65).

2. M. Veronese a été le premier à concevoir un espace d'un nombre infini de dimensions (Fundamenti di GeometHa a più dimensioni, Padova, 1891).

peat être déterminée par plusieurs couples de points). Mais cette relation très complexe (ayant 2 antécédents et un nombre infini de conséquents) peut se réduire à une relation symétrique et transitive entre deux points ; seulement cette relation n*a lieu qu'entre deux points différents (elle est, comme on dit, aliorelative ^), et cette propriété limite sa transitivité. En d'autres termes, soit B cette relation; aRb signifie que les points a et & appartiennent à une droite R (la relation R est la même pour tous les couples de points d'une droite, mais elle diffère d'une droite à l'autre). On aura toujours : aRb = bRa^ et aRb. bRc, o. aRc (si a et c sont différents). Une droite entière, c'est-à-dire le domaine de la relation R, se compose d'un de ses points et de tous les points qui ont avec lui la relation R (puisque cette relation est symétrique).

Une fois les droites projectives définies comme les domaines des relations du type susdit, on peut définir l'espace projectif comme un ensemble de relations de ce type, possédant en outre toutes les propriétés énoncées dans les postulats énumérés ci-devant. On aura ainsi une définition purement logique de l'espace projectif. Elle n'implique aucune notion indéfinissable, puisque les droites sont définies comme des relations d'un certain type, et que les points sont conçus uniquement comme les termes (problématiques) de ces relations, de sorte que leur notion n'intervient pas réellement dans la théorie. Elle n'implique non plus aucune proposition première indémontrable, puisque tous les postulats de la Géométrie projective font maintenant partie de la définition de l'espace projectif S et constituent les propriétés hypothétiques de cet espace. Oa n'en affirme aucune catégoriquement; on se borne à affirmer que, si un espace jouit de telles propriétés énoncées dans sa définition, il possédera en outre telles autres propriétés énoncées dans les théorèmes. Ainsi la Géométrie projective est