Vorlesungen Uber neuere Géométrie, Introduction
3. Quant aux considérations empiristes sur le minimum perceptible de longueur, au-dessous duquel les points seraient confondus, et sur rinexactitude inévitable des mesures expérimentales, il suffit de remarquer qu'elles tendent, non à fonder, mais à infirmer les notions de divisibilité à rinfinietde continuité, que M. Pasch admet pourtant (op. d/., §§iet23).
4. A System of Axioms for Geometry, by Oswald Veblen, ap. Transactions of Ihe American Malhemaiical Society, t. V, p. 343-384 (juillet 1904).
5. Citons encore plusieurs nouveaux mémoires de Logique mathématique qui viennent de paraître : E.-V. Hcntinoton, A set of postulâtes for real Algebra, comprising postulâtes for a one-dimensional continuum and for the theory of groups, ap. Transactions of the American Mathematical Society, l. VI, p. n-41; Note on the définitions ofobstract groups and fields by sels of independent postulâtes, ibid., p. 181-193; A set of postulâtes for ordinary complex Algebra, ibid., p. 209-229; 0. Veblen, Theory on plane curves in non-metrical Analysis situs, ibid., p. 83-98 (1905).
Les notions premières (indéfinissables) de ce système sont le concept (classe) de point, et la relation d'ordre entre 3 points. Pour !e dire tout de suite, la relation d'ordre entre 3 points équivaut à ce que nous avons appelé précédemment la relation d'entre; comme celle-ci, elle implique que les trois points en relation sont en ligne droite.
Les axiomes sont au nombre de 12 seulement, et ils sont indépendants les uns des autres, comme M. Yeblen le prouve par des exemples. En outre, ils forment un système catégorique^ c'est-à-dire qu'il n*y a qu*un ensemble qui les vérifie, ou que, si deux ensembles les vérifient, ils sont susceptibles d*une correspondance univoque et réciproque. Aux systèmes catégoriques s'opposent les systèmes disjonctifs *, auxquels on peut adjoindre un ou plusieurs axiomes indépendants des premiers, de manière à restreindre leur extension. Quoi qu*on pense du choix de ces mots, il y a là une distinction utile et importante, que la Logique classique ignorait, et dont la Logique moderne sera encore redevable à des mathématiciens.
Les 12 axiomes de M. Yeblen se partagent en deux groupes. Le premier groupe, qui comprend 8 axiomes, est relatif aux propriétés de la ligne droite :
