Il existe au moins deux points distincts

IL « Si les points A, B, G sont dans Tordre ABC, ils sont aussi dans Tordre CBA. »

Ainsi la relation d'ordre est symétrique ou réversible.

III. « Si les points A, B, C sont dans Tordre ABC, ils ne sont pas dans Tordre BCA. »

\ . L'auteur emprunte les expressions catégorique et disjonclif à M. J. Dewey; elles nous paraissent peu claires et peu heureuses, à raison du sens tout différent qu'elles ont en Logique classique. M. Huntinoton emploie, au lieu de catégorique, le mot suffisant (sous-entendu : pour déterminer un ensemble qui vérifie le système), qui est meilleur. M. IIil- BERT emploie dans ce sens le mot complet, que M. Huntington emploie pour qualifier un système consistant, suffisant et irréductible. Il nous semble qu'il serait préférable, et plus simple, d'employer les termes traditionnels singulier et général, qui indiquent clairement que l'extension du système comprend respectivement un ou plusieurs individus. Après tout, un système d'axiomes peut être considéré comme un concept; c'est même un concept, au sens de M. Frege, car c'est une fonction propositionnelle à une variable.

Ainsi la relation d*ordre n^est pas circulaire, mais linéaire (ouverte). Par cet axiome, la Géométrie descriptive se sépare de la Géométrie projective, où la droite est une ligne fermée; et Ton peut prévoir que le point à Tinfini en sera exclu.

IV. « Si les points A, B, G sont dans Tordre ABC, les points A et G sont distincts. »

V. « Si A et B sont deux points distincts, il existe un point G tel que Ton a Tordre ABC. »

Get axiome implique que la droite est prolongeable, ou plutôt prolongée, au delà de chacun de ses points. On peut alors définir la droite comme suit : étant donnés deux points distincts A, B, la droite AB est l'ensemble des points A, B et des points X qui vérifient un des trois ordres ABX, AXB, XAB. Le segment AB est Tensemble des points X qui vérifient l'ordre AXB. On démontre que deux points distincts déterminent une droite unique et un segment unique.

VI. « Si deux points distincts G et D appartiennent à la droite AB, le point A appartient à la droite CD. »

De cet axiome on déduit que deux points distincts déterminent une droite.

VII. « S'il existe trois points distincts, il existe trois points A, B,C qui ne sont pas en ligne droite » (c'est-à-dire qui ne vérifient aucun des ordres ABC, BCA, CAB).

Cet axiome existentiel permet de sortir de la droite el d'obtenir la notion de triangle.

VIII. Axiome de la transversale : « Si trois points A, B, Cne sont pas en ligne droite, et si D et E sont deux points qui vérifient les ordres BCD et CEA, il existe un point F, dans Tordre AFB, qui est en ligne droite avec D et E » (fig. 11). On prouve que les points D, Ë, F sont distincts, et sont dans Tordre DEF; on prouve aussi qu'aucune droite ne peut rencontrer les trois segments qui forment les côtés d'un triangle. Grâce à Taxiome précédent, on peut démontrer qu'entre deux points distincts il y en a un troisième (en ligne droite avec eux), et par suite qu'il y a une infinité de points dans un segment et sur une droite. C'est la première fois qu'on peut affirmer qu'il existe

une infinité de points, et cette proposition est une conséquence des huit axiomes précédents. Au contraire, sept quelconques de ces axiomes peuvent être vérifiés par un ensemble /?nt sans que le huitième le soit, et c'est ainsi que M. Veblen prouve Tindépendance absolue de ces huit premiers axiomes. On peut également définir Tordre général des points sur une droite, et assigner à un ensemble fini de points d'une droite