B CD

Fig. H.

des numéros tels que Tordre des points soit le même que celui de leurs numéros.

Enfin, de Taxiome VIII on déduit ce théorème, dont Ténoncé implique ce même axiome : Si une droite rencontre un côté d'un triangle et le prolongement d'un autre côté, elle rencontre le troisième côté.

On peut définir le plan comme suit : Si A, B, C sont trois points non en ligne droite, le plan ABC est l'ensemble des points qui sont en ligne droite avec deux points des côtés du triangle ABC. On démontre que trois points non en ligne droite détermiïientun plan ; et qu'une droite qui a deux points communs avec un plan y est contenue tout entière.

Pour sortir du plan et construire Tespace, on a besoin de l'axiome suivant :

IX. Axiome de Vespace : « S'il existe trois points non en ligne droite, il existe un plan tel qu'il y a un point non situé ^ans ce plan ». D'où Ton déduit aussitôt que, étant donné un plan quelconque, il existe un point en dehors de ce plan*.

1. La différence entre cette proposition et l'axiome IX consiste dans

On peut alors définir le tétraèdre déterminé par 4 points non situés dans un même plan, puis Vespace (à 3 dimensions), comme Tensemble des points qui sont en ligne droite avec deux poiais des faces du tétraèdre. On démontre que 4 points détermineat un seul espace, et que, si une droite a 2 points, ou un plan 3 points communs avec un espace, ils y sont contenus tout entiers.

On pourrait de même sortir de Tespace à trois dimensions; pour s'y enfermer, on a besoin de Taxiome suivant :

X. Axiome des dimensions : « S*il existe 4 points non situés dans un même plan, il existe un espace tel qu'il n'y a aucun point qui ne soit en ligne droite avec deux points de cet espace. » D'où il résulte qu'il n'y a qu'un espace (à 3 dimensions), et que deux plans quelconques ont une droite commune.

L'auteur généralise ensuite la notion d'ordre, définit les régions de la droite, du plan et de l'espace (demi-droites, demiplans; intérieur d'un angle, d'un triangle, d'un polygone, d*un dièJre, d'un trièdre, etc.) et démontre leurs propriétés essentielles, par exemple : qu'un polygone plan partage son plan en deux régions séparées *.

Il formule Vaxiome de continuité sous une forme assez compliquée et fort peu évidente * :

XL i< S'il existe une infinité de points, il existe un certain couple de points Â, G jouissant de la propriété suivante : si [<j] est une classe infinie de segments de la droite AG telle que tout point du segment AG (y compris A et G) est un point d'un segment (x, il existe une sous-classe finie (Tj, œ,, ... cn qui a la même propriété. » On démontre d'abord que cette propriété appartient à un segment quelconque'; puis, que, si un segment AB se compose de deux classes de points [X] et [Y]

la distinction de un (a) et de un quelconque (any). On voit l'importance logique de ces distinctions grammaticales, que M. Rgssell a soumises à une pénétrante analyse [The Principles of Mathematics, eh. v).