Même remarque que pour l'axiome IX

telles qu'aucun point X n'est entre deux Y ni aucun point Y entre deux X, il existe un point 0, et un seul, qui est entre chaque X et chaque Y.

On reconnaît dans cette proposition Taxiome de la conti* Duité de M. Dedekind, sous la forme que lui a donnée M. Pibri. De Taxiome de continuité joint aux 8 premiers on déduit que, par un point pris hors d'une droite, il passe au moins une droite qui ne la rencontre pas (cela résulte notamment de ce fait, conséquence de Taxiome III, que Tordre des points d'une droite n'est pas circulaire), et que, s'il y a plusieurs droites telles, il y a deux demi-droites qui séparent celles qui rencontrent la première droite de celles qui ne la rencontrent pas [ce sont les parallèles au sens de Lobatchevsky). On voit que la géométrie de Hiemann est exclue d'avance par Taxiome III. Pour exclure la géométrie de Lobatchevsky, il suffit d'admettre V axiome des parallèles :

XII. « Soit a une droite d'un plan a, il y a dans ce plan un point C tel qu'il ne passe par G qu'une seule droite du plan a qui ne rencontre pas la droite a, »

Il suffit de postuler ce fait pour une seule droite et un seul point : car on peut alors démontrer qu'il a lieu pour n'importe quelle droite et n'importe quel point*. Cette dernière proposition est le postulatum d'Ëuclide.

L'auteur indique ensuite comment on peut édifier la Géométrie projective sur les fondements précédents, en définissant et introduisant les éléments impropres ou idéaux (points, droites, plans projectifs) suivant la méthode que nous exposerons plus loin (p. 177). Enfin il montre comment on peut établir, avec le même système de principes, la Géométrie métrique euclidienne, sans nouveaux axiomes, et simplement en donnant une définition projective de la congruence. On définit d'abord la congruence des angles (et par suite la similitude) en remarquant que, en vertu de l'axiome des parallèles, les points impropres de l'espace forment un plan (le plan de l'infini), et

!• Même remarque que pour les axiomes IX et XI.

en déûnissant la perpendicularité d'une droite et d*un plan au moyen du cercle imaginaire de Tinfini. On définit ensuite la congruence des segments (et par suite la congruence de toutes les figures) au moyen des réflexions^ c'est-^-dire de certaines transformations projectives qui laissent invariant le cercle de l'infini. Gela fait, on peut définir la longueur des segments et introduire dans l'espace un système de coordonnées.

En résumé, ce sont les trois formes de Géométrie que M. 0. Yeblen fonde sur douze axiomes seulement. Sans doute, la réduction du nombre des axiomes n'est pas à elle seule une simplification, car on peut, comme Ta remarqué M. Pibri S fondre à volonté plusieurs axiomes en un seul. Néanmoins ce système nous parait offrir plus de simplicité et de clarté que les autres (sauf en ce qui concerne Taxiome de continuité), et il a l'avantage d'être complet et irréductible.

La théorie précédente repose sur la relation d'entre existant entre trois points. Or nous avons vu * que cette relation ternaire peut se ramener à une relation binaire asymétrique et transitive. Par suite, cette théorie est susceptible d'une simplification qu'a suggérée M. Vailati*. Soit une relation 5 (qu'on lira : suit); on suppose qu'elle est asymétrique^ c'est-à-dire que aSb et hSa s'excluent; qu'elle est transitive^ c'est-à-dire que aSà et bSc entraînent aSc; et qu'entre deux termes distincts a, 6 on a toujours, soit aSb, soit bSa, Ge sont là les trois postulats de la nouvelle théorie. On définira la relation d'entre comme suit :

b 6 ac={aSb. bSc) w {cSb. bSa) Df

« b est entre a et c signifie, ou bien que a suit 6 et 6 suit c, ou bien que c suit b et b suit a. »

Par cette définition, la relation ternaire indéfinissable entre

. i. I Principii délia Geometria di Posizione, p. 3, note 7 (1898); Bibliothèque du i*' Congrès international de Philosophie, 1. 111, p. 393 (1901).