Chap. m, § A, p

3. Sut principi fondamentali délia GeometHa delta retla, ap. Rivista di Matematica, t. II, p. 71-75(1892).

est ramenée à la relation binaire indéfinissable <S. Cela posé, OQ peut, au moyen des trois postulats qui caractérisent la relation S, démontrer les postulats III, V, VI, VIII, IX, X et XI de la théorie de M. Peano, c'est-à-dire tous les postulats de la Géométrie de la droite, sauf les postulats existentiels I, II, IV et VII. Par exemple, le postulat III : « Le segment aa est nul » résulte immédiatement du fait que la relation 5 est asymétrique; car dire d'un point x qu'il appartient au segment aa, c'est affirmer à la fois : aSx. xSa, ce qui est impossible. De même, du fait que la relation S ne peut pas être réflexive se déduit le postulat YI : « le point a n'appartient pas au segment ah », car on a :

azab,=(aSa. aSb) ^ {bSa, aSa)

et le second membre est absurde, car il contient le facteur absurde aSa. De ce que la définition debeac est symétrique par rapport à a et c, il résulte que beac = b&ca, ce qui est le postulat V. Les autres postulats se démontrent de même par des déductions purement logiques.

On peut, avec M. Russell, faire un pas de plus dans la voie de la réduction logique et de la simplification. On peut concevoir la droite elle-même comme une relation asymétrique transitive qui existe entre deux quelconques de ses points, et par suite Tensemble des droites de l'espace comme une classe de relations dont le champ est l'ensemble des points de l'espace. On posera les axiomes suivants * :

I. Il y a une classe de relations K^ dont le champ est la classe point ;