VII. Entre 2 points il y a une relation A' et une seule

i< Hdssell, 0^. cit., § 376.

VIII. a et b étant des points du domaine de A, on a, ou bien aRb, ou bien blia.

On va voir que ces huit axiomes suffisent à fonder toute la théorie, et notamment à démontrer les postulats de M. Yailâti. D*abord, des quatre premiers axiomes il résulte qu'il existe au moins deux points a, b. Soit R la relation qui existe entre ces deux points (en vertu de VII); on a : aRby et on ne peut pas avoir : bRa, car la relation R étant transitive (V) serait alors réflexive (contrairement à III). Donc R et ^R sont asymétriques. En vertu de V, non seulement la relation R est transitive {R^oR), mais elle donne lieu à une série compacte {RoIP)^ car aRb implique qu'il y a un terme c tel que aRc. cRb; autrement dit, il y a toujours un terme entre deux termes de la relation. En vertu de VI, si aRb, il existe un point c tel que bRc\ cela signifie que le segment a6 a un prolongemeut au delà de b (et de même au delà de a), c'est-à-dire que la suite des points d'une droite n'a ni premier ni dernier terme (la droite est infinie dans les deux sens). Ainsi se trouvent démontrés les 3 postulats de M. Vailati et les postulats existentiels de M. Peano.

La Géométrie descriptive ressemble beaucoup, à première vue, à la Géométrie projeclive : d'abord, elle aboutit aux mêmes propositions concernant les relations des points, des droites et des plans; ensuite, elles s'opposent toutes deux à la Géométrie métrique par le fait qu'elles ne considèrent ni grandeur, ni distance, ni congruence, ni mouvement; l'une et l'autre sont des Géométries de position^ et ont été longtemps confondues sous ce nom. Mais, d'autre part, elles diffèrent profondément l'une de l'autre, d'abord par leurs principes, et ensuite par leurs conséquences : en Géométrie projective, deux droites d'un plan se rencontrent toujours, ainsi qu'une droite et un plan, ou deux plans; en Géométrie descriptive, ces rencontres n'ont pas nécessairement lieu. En Géométrie descriptive, deux points suffisent à déterminer un segment, et trois points à déterminer un triangle; en Géométrie projective, deux pointa

déterminent deux segmeats, et trois points déterminent quatre triangles, de sorte qu^il faut leur adjoindre un nouveau point pour obtenir une détermination univoque. Toutes ces discordances proviennent de ce fait fondamental, que la droite projective est une ligne fermée, tandis que la droite descriptive est nne ligne ouverte; la première offre un ordre circulaire, la seconde un ordre linéaire; deux points partagent celle-ci en trois parties, et celle-là en deux seulement ^ Un seul point divise la droite descriptive en deux demi-droites, une droite divise le plan descriptif en deux demi-plans, un plan divise Tespace descriptif en deux demi-espaces : tandis que la Géométrie projective ignore les demi-droites, les demi-plans et les demi-espaces, dont la propriété n'est pas projective (ne se coDserve pas par projection*). Tout cela tient à ce que les droites et plans descriptifs offrent une solution de continuité (à V infini). Il s'ensuit que, si l'on veut faire concorder l'espace descriptif avec Tespace projectif, il faut compléter le premier au moyen d'éléments impropres qui sont, dans l'espace euclidien, les éléments à l'infini (points, droites et plans) ^

On sait comment Staudt introduit les éléments impropres*. > Il appelle direction (Richtung) la propriété commune à toutes les droites parallèles entre elles, inclinaison [Stellung) la propriété commune à tous les plans parallèles entre eux. Puis il remarque qu'une droite est déterminée par un point et une direction, comme par deux points; qu'un plan est déterminé par deux points et une direction, ou par un point et deux directions,

1. Dans la théorie de M. Russell, la droite projective est une relation symétrique entre deux quelconques de ses points, tandis que la droite descriptive est une relation asymétrique (qui a un sens déterminé).

2. Ces notions de demi-droite, demi-plan, demi-espace appartiennent plutôt à la Topologie, car elles supposent qu'un point, une droite, un plan partagent respectivement la droite, le plan, l'espace en deux régions entièrement séparées.

3. En somme, la Géométrie projective correspond à l'espace de Riemann, tandis que la Géométrie descriptive convient aux espaces d'Euclide et de Lobatchevskij.

4. Géométrie der Lage, §§ 3 et 5. Cf. De VInfini mathématique, p. 262.

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 12

OU par un point et une inclinaison, comme par trois points. Il est ainsi conduit à assimiler une direction à un point, une inclinaison à une droite, et il les appelle respectivement point et droite impropres. Ainsi des droites parallèles ont en commun un point impropre, des plans parallèles ont en commun une droite impropre. De plus, deux points impropres (directions) déterminent une droite impropre (inclinaison); Tensembledes points impropres, ayant un point (impropre) commun avec chaque droite et une droite (impropre) commune avec chaque plan, est donc appelé par analogie plan impropre; il est déterminé, soit par trois points impropres, soit par un point et une droite impropres. Grâce à l'introduction des éléments impropres, les propositions de la Géométrie élémentaire se généralisent et se simplifient : on pourra dire, sans restriction, que deux droites d'un plan ou qu'une droite et un plan ont toujours un point commun; et que deux plans ont toujours une droite commune. L'espace descriptif ainsi complété jouit donc des mêmes propriétés que l'espace projectif.

Mais cette « extension » de l'espace n'est pas plus satisfaisante, au point de vue logique, que les prétendues généralisations du nombre : car il ne suffit pas de déHnir et de nommer une entité pour lui conférer l'existence; et c'est pour cela que les géomètres tendent (pour atténuer leur audace créatrice) à présenter ces détinitions comme de simples « conventions » verbales, à réduire les éléments impropres à des mots ou à des façons de parler. C'est là une échappatoire fort peu philosophique; car il reste toujours la question de savoir comment ces conventions verbales peuvent être utiles et commodes, et pourquoi l'introduction de simples mots vides de contenu réel peut servir à généraliser et à simplifier les propositions géométriques. Il y a donc là, quoi qu'en disent les nominalistes, autre chose qu'une question de langage.

Comme dans la généralisation du nombre, la solution logiquement satisfaisante de cette difficulté consiste, au lieu de juxtaposer de nouveaux éléments aux anciens, à substituer à tous les éléments anciens un ensemble d'éléments nouveaux

dont uue partie seulement correspond aux anciens ^ En Géométrie descriptive, à chaque point de l'espace correspond une gerbe de rayons (Strahlenbûndel) issus de ce point, qu'on appelle le sommet de la gerbe. Or les gerbes de rayons ont certaines propriétés indépendantes de leur sommet, et même de Texistence de ce sommet; par exemple, deux droites d'un même plan déterminent une gerbe de rayons; et deux gerbes de rayons déterminent une droite, qui est leur rayon commun. On appellera toutes les gerbes des points idéaux : certaines gerbes correspondront aux points actuels (réels), mais aucune gerbe, et par suite aucun point idéal, n'est un point actuel. De même^ à chaque droite correspond un faisceau de plans dont elle est Taxe : mais il y a des faisceaux de plans qui n'ont pas d'axe (par exemple, un ensemble de plans parallèles) et qui possèdent d'ailleurs toutes les propriétés des faisceaux de plans. On appellera tous les faisceaux de plans des droites idéales; certaines d'entre elles correspondront aux droites actuelles, mais aucune ne sera une droite actuelle. Une droite idéale peut aussi être conçue comme un ensemble de gerbes de rayons, c'est-à-dire de points idéaux, qui est déterminé par deux quelconques d'entre eux. On peut alors énoncer en toute généralité les propositions suivantes : Deux plans quelconques ont une droite idéale commune (c'est-à-dire appartiennent à un même faisceau, qu'ils déterminent); trois plans quelconques ont un point idéal commun (c'est-à-dire appartiennent à une même gerbe, qu'ils déterminent); deux droites idéales d'un plan ont un point idéal commun (c'està-dire appartiennent à une même gerbe) ; un plan et une droite idéale ont un point idéal commun. Deux points idéaux déterminent une droite idéale; seulement, pour pouvoir affirmer que trois points idéaux déterminent un plan, il faut concevoir le plan idéal (qui dans certains cas ne correspondra à aucun plan actuel). L'ensemble des points, droites et plans idéaux ainsi définis constitue un espace projectif, c'est-à-dire vérifie

1. Pasch, op. cit. y §§ 6, 7, 8; Russell, op, cit., §§ 384-386. Cf. Schur, Ueber die Grundlagen der Géométrie, § 1, ap. Mathematische Annalen, t. 55 (1902).

tous les postulats de la Géométrie projective, et par suile possède toutes les propriétés que Ton attribue d'ordinaire à l'espace projectif. Ainsi se trouve réalisée la transformation de Tespace descriptif en un espace projectif sans adjonction d'éléments étrangers, et seulement par une classification et une nomenclature nouvelles de ses éléments propres. La question d'existence se trouve du même coup supprimée, les nouveaux éléments n'étant que des ensembles composés des anciens éléments.

Si, au contraire, on compare l'espace descriptif à l'espace projectif en faisant correspondre les points aux points, les droites aux droites et les plans aux plans, on constate que l'espace descriptif est moins complet; il lui manque tous les points d*un plan (pour nous borner au cas où l'espace est euclidien). On comprend dés lors que l'absence de ce plan crée une solution de continuité dans les plans et droites qui le traversent. C'est ce qu'on appelle le plan de l'infini; et c'est pourquoi Ton est obligé de compléter les figures descriptives (euclidiennes) au moyen des droites à l'infini et des points à l*infini pour les rendre projectives.

Après ce que nous avons dit de la définition de l'espace projectif, on conçoit aisément qu'on puisse définir logiquement l'espace descriptif, en faisant rentrer dans cette définition tous les postulats précités; avec cette différence que la droite descriptive sera conçue comme une relation asymétrique, tandis que la droite projective était une relation symétrique entre ses points.

§ D. — Géométrie métrique.

La Géométrie métrique est historiquement antérieure aux Géométries projective et descriptive; c'est la Géométrie élémentaire que tout le monde connaît, et que tous les géomètres ont pratiquée depuis Euclide jusqu'au xix* siècle*. Néanmoins,

1. Sans doute, le théorème de Desargues (sur les triangles homologiques) et celui de Pascal (sur l'hexagone inscrit) sont des propositions

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE 18i

elle est logiquement postérieure à la Géométrie projective et à la Géométrie descriptive, et elle repose nécessairement sur Tune ou sur l'autre, car elle implique des relations de situation (généralement inaperçues ou négligées) auxquelles elle superpose des relations de grandeur. Pour celte raison, elle n'est pas si élémentaire qu'on le croit d'après les manuels; elle est au contraire la partie la plus complexe de la Géométrie. On a pu voir sur combien de postulats se fondent des vérités aussi élémentaires que celle-ci : « Deux points déterminent une droite », qui passe d'ordinaire pour la définition de la droite. On ne se doute pas du nombre de postulats inconsciemment invoqués par Euclide et ses imitateurs dans la démonstration des théorèmes les plus simples. Aussi n'y a-t-il chez eux presque aucune démonstration qui soit logiquement rigoureuse et qui n'implique pas quelque appel à Tintuition*. Il est assez piquant de constater que la réputation de rigueur dont la Géométrie d'Ëuclide a joui pendant des siècles était absolument usurpée, et qu'elle ne méritait guère de passer, aux yeux des philosophes rationalistes du xvii^ siècle, pour le modèle et le type de la déduction logique *. C'est seulement de nos jours qu'on s'est rendu compte de tous les postulats impliqués dans les « éléments » de la Géométrie, et que, après l'énumération complète de ces postulats, on a reconstruit toute celte science d'une manière purement analytique. Nombreux sont les travaux des géomètres contemporains sur les principes de la Géométrie. Mais les plus complets et les plus approfondis sont ceux qui ont été exécutés au moyen de la Logistique, parce que cet instrument d'abstraction et de précision permet de dévoiler les pétitions de principe, d'éviter les paralogismes et les appels à rinluition, et de déjouer les associations d'idées et les habitudes de pensée inséparables du langage usuel.

projectives; mais elles n'étaient pas affranchies de toute considération métrique.

1. C'est ce qui explique et excuse, historiquement, la théorie de Kant sur la nature synthétique des démonstrations géométriques. Voir l'Appendice.

2. Voir, dans Rossell, The Principles of Mathematics, §§ 389-391, des

182 LA GÉOM^RIE

Pour constituer logiquement la Géométrie métrique, il faut adjoindre à la notion de point une autre notion première, et celle-ci doit impliquer une idée de grandeur. Cette seconde notion varie suivant les systèmes, et en fait la dififérence essentielle. L'idée la plus simple et la plus naturelle est de prendre pour notion première une entité analogue à la droite projective et au segment descriptif, à savoir le segment de droite en tant que grandeur^ c'est-à-dire la distance de deux points. C'a été en efTet Tidée de Leibniz, et c'est sur cette base qu'il a essayé d'édiQer son calcul géométrique *. Ce système a été repris à titre d'essai par M. Peano ^ : J'idée primitive qu'il admet se réduit à ceci : « a, 6, c étant 3 points, la distance de a à c est égale à celle de 6 à c '. » Ainsi il ne postule même pas l'égalité de 2 distances en général, qui est une relation entre 4 points, mais seulement Féquidistance d'un point par rapport à deux autres (relation entre 3 points). Il donne de la droite et du plan les mêmes définitions que Leibniz : la droite ab est le lieu des points déterminés d'une manière univoque par leurs distances aux â points a ei b; le plan abc est le lieu des points déterminés d'une manière univoque par leurs distances aux 3 points a, b, c ^. 11 définit ensuite le milieu de 2 points (c'est le point de la droite ab qui est à égale distance de a et b), puis l'égalité de deux vecteurs (le vecteur ab est égal au vecteur cd, si le milieu de a et d coïncide avec le milieu de 6 et c); et l'égalité des distances en général est définie au moyen de l'égalité des vecteurs. Ainsi cette théorie ne se

exemples des fautes logiques qui fourmillent dans les 26 premières prot)0* sitions d'Ëuclide.

1. Voir notre ouvrage sur La Logique de Leibniz, ch. ix : Le Calcul géométrique, et les textes qui y sont cités.

2. La Geomelria basata sulle idée di punto e dislanza, ap. AUi délia R- Accademia délie Scienze di Torino (1902).

3. M. PiERi a indiqué ce système dans son mémoire Delta Geometm elementare, p. 4 (1899).

4. Au même ordre d'idées se rattachent les définitions données par Leibniz du plan et de la droite : « Le plan (la droite) est le lieu des points de l'espace (du plan) équidistants de deux points. » Mais il est très difficile de tirer de ces définitions les autres propriétés du plan et de a droite.

développe pas d'une manière autonome, elle rejoint la théorie qui a pour base Tidée de vecteur, en fournissant une définition de celle-ci.

Où est ainsi amené à substituer à la notion de distance celle de vecteur, qui est plus complexe : le vecteur est une longueur dirigée ; l'égalité des vecteurs implique, outre Tégalité de distance (ou de longueur), Tidentité de la direction et du sens. La théorie des vecteurs fait partie du Calcul de Vextension de Grassmann; mais ce calcul présuppose la connaissance de la Géométrie élémentaire ; il fallait donc le soumettre à l'analyse logique et le réduire à des principes autonomes. C'est ce qu'a fait M. Peano dans un mémoire * et dans le Formulaire de Mathématiques. Prenant la notion de vecteur pour indéfinissable, il la représente comme la différence de deux points (û — 6, si b est Torigine et a l'extrémité du vecteur); et il la caractérise par les postulats suivants :