IV. a — b = c — d,o,a — c = 6 — d

Ces quatre postulats peuvent se démontrer, si Ton admet la définition de l'égalité des vecteurs donnée dans l'alinéa précé- <lent. Il faut leur en adjoindre deux autres pour achever de déterminer les propriétés des vecteurs :

« Si a — c = b — c, les points aei b coïncident. »

1. Analisi délia teoria dei vettori, ap. Atti délia R. Accademia délie Scienze di Torino (1898).

VI. Ëtant donnés 3 points a, b, c, il y a un point x tel que :

Le postulat Y signifie que, si Torigine d*un vecteur doané est déterminée, son extrémité Test aussi d'une manière unique. Le postulat VI signifie que, étant donné un vecteur quelconque {b — c), on peut construire un vecteur égal ayant pour origine un point quelconque a ^

On peut définir le vecteur zéro comme le vecteur dont les extrémités coïncident. Puis on définit la somme d'un point et d'un vecteur : c'est l'extrémité du vecteur donné, quand on le place de telle sorte qu'il ait pour origine le point donné. L'existence du point ainsi construit résulte du postulat YI. On définit ensuite l'addition des vecteurs, et on démontre qu'elle est commutative et associative. On définit le produit d'un vecteur par un nombre, d'abord entier, puis rationnel; il faut alors admettre les deux postulats suivants :

VII. Pour que le produit d'un vecteur et d'un nombre non nul soit nul, il faut que le vecteur soit nul.

VIII. Il existe un vecteur qui est le n* d'un vecteur donné, c'est-à-dire qui, muUiplié par n, produit le vecteur donné.

On introduit ensuite ce que Gbassmann appelle le produit interne de deux vecteurs : c'est le produit des longueurs des deux vecteurs et du cosinus de leur angle ^ Mais, comme on

1. Les postulats V et VI ne peuvent pas se déduire de la définition donnée plus haut (p. 182) de l'égalité des vecteurs. En effet, a-^c=b—e signifie que le milieu de ac coïncide avec celui de 6c; soit d ce point; pour en conclure que les points a et 6 coïncident, il faut admettre que le segment cd ne peut être prolongé au delà de d d'une longueur égale & la sienne que d'une manière unique. De même, x — a = b — c signiflc que le milieu de ex coïncide avec le milieu de ab; soit d ce point; pour en conclure que le point x existe, il faut admettre la même chose au sujet du segment cd (qui existe). On postule ainsi deux propriétés de la droite : 1** une droite peut être prolongée indéfiniment au delà d'un de ses points (ou pour mieux dire, ce prolongement existe); 2* on peut porter une longueur donnée sur une droite à partir d*un point donné et dans un sens donné, de telle sorte que Textrémilé soit déterminée d'une manière univoque.

2. En Mécanique, ce sera le travail effectué par la force représentée par un des vecteurs, quand son point d'application décrit l'autre vecteur.

ne peut invoquer ici aucune notion de Géométrie élémentaire, on est obligé de prendre le produit interne pour notion indéfinissable^, et de le caractériser par les postulats suivants :

IX. u et V étant des vecteurs, leur produit interne uXv est un nombre réel.