XI. Loi distributive : (u-hv)Xw={uXw)-h{vXw

XII. Si u est un vecteur non nul, uxu est un nombre réel positif '.

Le produit uXu s'appellera le carré w* du vecteur u. On définit le module de u (ou la longueur de u) comme la racine carrée arithmétique (ou positive) du nombre u^ :

modw==v/M'.

On démontre alors la proposition suivante :

mod (tz -h u) ^ mod u -h mod v

qui exprime ce théorème de Géométrie élémentaire : Dans un triangle chaque côté est inférieur ou égal k la somme des deux autres.

Pour pouvoir définir le produit d'un vecteur par un nombre irrationnel, il faut d'abord définir ce qu*est un vecteur limite d'un vecteur variable. Le vecteur a est dit limite du vecteur variable fx (fonction définie dans l'ensemble X) pour x = Xq, si, quand x tend vers x^ par des valeurs de Tensemble X, le module de {fx — a) tend vers zéro (on suppose la notion de limite définie pour les nombres). Alors, si x^ est un nombre irrationnel limite du nombre rationnel (variable) x, le produit du vecteur u par o?^ est la limite des produits du même vecteur par le nombre rationnel x quand celui-ci tend vers ar^. Il faut postuler (XIII) Texistence de cette limite.

Les produits d'un vecteur i par tous les nombres réels sont tous les vecteurs parallèles à t. Mais ces vecteurs peuvent être

i. En revanche, on définira le cosinus (et les autres fonctions trigonoinétriques) au moyen de cette notion.

2. C'est en effet le carré de la longueur (ou du module) de u.

186 LA GÉOBiiTRIE

situés sur la même droite que t. Pour sortir de cette droite, il faut postuler (XIV) Fexistence de vecteurs non parallèles à t. Soient i et j deux vecteurs non parallèles; l'ensemble qi-hqy (où q représente un nombre réel quelconque) est l'ensemble des vecteurs contenus dans le même plan que % et j (ou parallèles à ce plan). Pour pouvoir sortir de ce plan, il faut postuler (XV) Texistence de vecteurs qui ne soient pas de la forme qi-4-qj. Soit k un tel vecteur, Tensemble des vecteurs qi-hq^-hq^ sera l'ensemble des vecteurs de Tespace à trois dimensions. Si Ton veut se borner à cet espace, c'està-dire limiter h. trois le nombre des dimensions, il faudra admettre un dernier postulat (XVI), à savoir que tout vecteur est de la forme q t -+- q^ -4- q k. On démontre que, si un vecteur ar t -4- y 7 -h 2 A; est nul, ses trois coordonnées (a?, y, z) sont nulles ; d'où il résulte que, si deux vecteurs sont égaux, leurs trois coordonnées sont égales chacune à chacune. On applique les coordonnées k tous les points de Fespace en attribuant à chacun d'eux les coordonnées du vecteur qu'il détermine avec un point fixe pris pour origine commune.

Dans cette théorie on peut faire rentrer la théorie fondée sur l'idée de distance. En effet, la distance de deux points a, h n'est pas autre chose que la longueur (le module) du vecteur h — a (ou du vecteur a — b). C'est la même idée sous deux expressions différentes; la distance se rapporte au couple de points, et la longueur au vecteur.

On peut aussi y faire rentrer la théorie descriptive fondée sur l'idée de segment. En effet, on peut définir le segment ah par l'expression vectorielle : a -f- (6 — a); (6 — a) représentant le vecteur aô, un nombre réel quelconque supérieur à et inférieur à 1, 6(6 — a) représente un vecteur qui est une partie du vecteur a6, et si Ton ajoute un tel vecteur au point a, on obtient un point quelconque du segment ab. Une fois défini le segment de deux points, on peut définir, on le sait, le triangle de trois points et le tétraèdre de quatre points. On peut alors démontrer le théorème suivant : « Dans un triangle abc, la somme des distances d'un point intérieur d aux sommets aeXh

est au plus égale à la somme des longueurs des côtés ac^ bc. » Si aux seize postulats précédents on ajoute les trois postulats suivants relatifs aux points : « Les points forment une classe ; il 3' a au moins un point; étant donné un point, il en existe au moins un autre », on aura les postulats nécessaires ^ et suffisants pour constituer la Géométrie métrique; toutes les autres notions peuvent se définir logiquement au moyen de celles que nous avons citées, et tous les théorèmes peuvent se déduire logiquement des principes énumérés.

Ce système est donc logiquement irréprochable ; mais il n'est pas très satisfaisant au point de vue philosophique, parce que (malgré Télaboration à laquelle M. Peano a soumis les idées de Grassmann) il reste encore, parmi les principes, trop de vérités d'iatuilion qui sont des théorèmes de Géométrie élémentaire; par exemple celui-ci (IV) : « Si les vecteurs ab et cd sont égaux, les vecteurs ac et bd sont égaux », qui équivaut à ce théorème connu : « Si dans un quadrilatère deux côtés sont égaux et parallèles de même sens, les deux autres côtés sont aussi égaux et parallèles de même sens. » En outre, on y admet eomme notion indéfinissable une idée assez complexe, celle du produit relatif des vecteurs. 11 n*est pas étonnant, dès lors, qu'on obtienne presque immédiatement, comme conséquences logiques de ces principes, des théorèmes assez compliqués, comme le théorème de Lagny : « Dans tout parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés », qui se traduit par l'apparente identité algébrique :

Enfin, il importe d'observer que le calcul des vecteurs ne convient qu'à la Géométrie euclidienne, car il suppose le postulalum d'Euclide; il est aisé de s'en rendre compte, si l'on remarque que l'égalité de deux vecteurs implique leur parais

!• Ils sont nécessaires, car M. Peano a prouvé leur indépendance ordonnée : Formulaire de Mathématiques, t. IV, § 79 (1903).

lélisme, et qu'elle est une relation uniforme ^ Le système de postulats ainsi obtenu manque donc de généralité logique. Pour toutes ces raisons, il semble qu'une analyse plus fondamentale des concepts et des principes de la Géométrie soit désirable et possible ^.

On peut espérer la trouver dans une série d'autres systèmes qui se distinguent des précédents en ce qu'ils prennent pour notion fondamentale, non plus une figure ou une grandeur particulière, mais une relation générale entre les figures : cette relation est la congruence ou « égalité géométrique », qu'on définit d'ordinaire par la possibilité de superposition. Mais il faut ici se mettre en garde contre un ^aTcpov Tcporepoy logique, auquel la méthode d'Euclide nous rend trop enclins. On sait qu'Euclide démontre certains théorèmes relatifs à r « égalité » (des triangles notamment) par la superposition des figures considérées. Or ce procédé (qu'Euclide évite d'ailleurs d'employer toutes les fois qu'il le peut) constitue, par lui-même, un appel manifeste à l'intuition. Pour le justifier logiquement, il faudrait prouver, dans chaque cas particulier, que les éléments de figures qu'on superpose sont égaux, c'està-dire congruents; mais alors la superposition deviendrait inutile. En un mot, ce n'est pas parce qu'elles sont superposables que deux figures sont congruentes, mais parce qu'elles sont congruentes qu'elles sont superposables '. C'est pourquoi il convient de prendre la relation de congruence comme notion première.

1. Voir dans Russell, op. cit., § 414, la définition formelle de l'espace euclidien à 3 dimensions en termes de la théorie des vecteurs.

2. Le système des vecteurs a en revanche l'avantage d'être l'introduction naturelle aux divers calculs géométriques (calcul de Grassmann, calcul des quaternions) ainsi qu*aux divers systèmes de coordonnées qui servent de base à la Géométrie analytique, et par suite à la conception analytique de l'espace (par la méthode de Riemann). Mais il ne faut pas oublier que cette conception analytique présuppose les propriétés projectives et métriques de l'espace, et par conséquent ne peut être considérée comme fondamentale au point de vue philosophique.

3. On peut ajouter que la superposition suppose le mouvement, lequel implique une pétition de principe analogue, comme on le verra plus loin.

Il y a trois systèmes qui reposent sur la notion première de congruence : celui de M. Pasch, qui admet la congruence entre des figures quelconques; celui de M. Hilbbrt, qui admet la congruence entre les segments et entre les angles; et celui de M. Veronbse, qui admet la congruence entre les segments seulement ^ Nous n'énumérerons pas tous les postulats de ces divers systèmes; nous nous bornerons à caractériser chacun d'eux par ses traits essentiels.

Dans le système de M. Pasch ', la congruence étant admise comme relation indéfinissable entre deux figures quelconques, c'est-à-dire entre deux ensembles d'un nombre fini de points, on doit définir la congruence des segments et celle des angles. Deux segments afr, cd sont congruents, quand les couples de points (a, b) et (c, d) sont congruents. Deux angles AOB, A'O'B' sont congruents, si, lorsqu'on prend sur leurs côtés correspondants des segments congruents (OA et O'A', OB et O'B'), les figures OAB, O'A'B' sont congruentes '. De cette définition ii résulte immédiatement que deux triangles sont congruents, lorsqu'ils ont un angle congruent compris entre deux côtés congruents; et l'on peut en déduire les deux autres <( cas d'égalité des triangles * ».

Le système de M. Hubert' admet au contraire comme primitives la congruence entre les segments et la congruence entre les angles. On définit comme suit la congruence de deux

1. F. Enriqubs : Questioni riguardanti la Geometria elementare, article UI : Délia congruenza e del movimento, par A. Goarducci (Bologna, 1900).

2. Vorlesungen ûber neuere Géométrie^ § 13 (1882). Il faut bien distinguer, chez cet auteur, le système des postulats de la congruence du système des postulats de la Géométrie descriptive (ou de position).

3. Cette définition implique le théorème élémentaire : « Deux triangles sont égaux, lorsquMls ont un angle égal compris entre deux côtés égaux », qu'ËncLiDB « démontre » par superposition.

4. En admettant que la congruence de deux triangles consiste simplement dans la congruence des fîgures formées par leurs 3 sommets.

5. Grundlagen der Géométrie (Leipzig, Teubner, 1899). On sait que ces auteur répartit les postulats de la Géométrie en 5 groupes : I. Axiomes de connexion; II. Axiomes d'ordination ; III. Axiome des parallèles; IV. Axiomes de congruence; V. Axiome d'Archimède. Nous ne considérons ici que les axiomes de congruence. Les axiomes I et II sont les principes de la Géométrie de position.

190 LA GiOMÉTRIE

figures en général : « Deux figures soat congruentes, quand tous les segments correspondants et tous les angles correspondants sont congruents. » Le lien entre les deux congruences primitives est établi par le postulat suivant (IV, 6) : « Si deux triangles ont deux côtés congruents et Tangle compris congruent, ils ont les deux autres angles congruents. » D'où Ton déduit immédiatement que deux triangles sont congruents, quand ils ont un angle congruent compris entre côtés congruents. On démontre ensuite les deux autres cas d'égalité des triangles. Comme on voit, on est obligé, dans ce système, de postuler un des cas d'égalité des triangles.

Le système de M. Veronese* repose uniquement sur lacongruence entre segments. 11 est caractérisé par le postulat suivant, qui est absent des systèmes Pasch et Hilbert : « Un segment n'est pas congruent à une de ses parties. » C'est, appliqué aux segments, le fameux axiome : « Le tout est plus grand que la partie », qui n'est nullement un axiome logique et nécessaire, comme on l'a cru. Le postulat qui permet de passer de la congruence des segments à la congruence des angles est le suivant : o Soient 2 couples de droites qui se coupent; si Ton porte sur les droites correspondantes respectivement les segments congruents AB, A'B' et AC, A'C, et si les segments BC, B'C se trouvent être congruents, les deux couples de droites sont congruents ». En d'autres termes, 2 angles sont congruents lorsqu'ils appartiennent à 2 triangles qui ont les 3 côtés congruents*. Cela revient, en somme, à postuler le 3^ cas d'égalité des triangles.

Ainsi chacun de ces trois systèmes est obligé de postuler l'un des cas d'égalité des triangles, c'est-à-dire une proposition dérivée et relativement compliquée. Ils ne semblent donc pas encore avoir poussé assez loin l'analyse des principes. H est toutefois intéressant de remarquer que les systèmes Pasch et Hilbert permettent de démontrer rigoureusement les théo-

1. Fondamenti di Geometria a più dimensioni (Padova, 1891); Elementi di Geometria, avec un Appendice (Padova, 1897).