Cf. le syslème de M. Pasch

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE i91

rèmes relatifs aux perpendiculaires, et notamment le théorème fondamental de cette théorie : « Tous les angles droits sont égaux », que l'on « démontre » d^ordinaire par la méthode de superposition ^

Il ne reste plus qu'une méthode pour établir les fondements de la Géométrie : c'est celle qui fait appel à l'idée de mouve* ment. Cette méthode est fort ancienne, car dans la Géométrie classique on a souvent recours, dans les démonstrations, au déplacement d'une figure ou d'une partie de Ggure. Elle est aujourd'hui décriée, et avec raison, en un certain sens. On allègue d'abord qu'il est contraire aux règles de simplicité et d'économie de faire intervenir en Géométrie une notion qui appartient à la Mécanique, tout au moins à la Cinématique. En outre, depuis que l'on a conçu l'axiome de libre mobilité comme caractérisant les espaces « à courbure constante » à l'exclusion des autres, on s'est aperçu que c'était postuler cet axiome que de déplacer la moindre figure en supposant, naturellement, qu'elle restait égale à elle-même. A un point de vue plus philosophique, on remarque que le déplacement d'une figure quelconque présuppose l'existence d'une suite continue de figures congruentes à celle-là, qui en soient les positions successives; et on en conclut que, si Texistence de celles-ci est établie, le déplacement de celle-là devient absolument inutile. La considération du mouvement implique donc une pétition de principe ou un ôatepov Trpoxepov : on se sert du mouvement pour « montrer » l'existence de figures congruentes, alors qu'en réalité le mouvement présuppose cette existence. En un mot, il suppose l'existence de figures différentes possédant les mêmes propriétés métriques, et par suite il ne peut servir à définir ces propriétés.

Toutes ces objections sont justes, mais elles ne portent que contre le mouvement réel et physique, le mouvement des corps dans l'espace, qui est en efl'et étranger à la Géométrie,