Postulat iV de M. Peano

CouTURAT. — Les princijes des mathématiques. 1 3

forment un groupe. Le dernier s'appelle résultant des deux autres; c'est le produit relatif des deux relations (ji et v; on le représentera par (a»v.

En particulier, le produit (x«*^{i. (quel que soit ;ji) sera un mouvement qui laisse fixes tous les points, c'est-à-dire qui transforme chaque point en lui-même. C'est ce qu'on nomme la transformation identique (la relation d'identité), ou le repos. Ainsi le repos est un cas particulier du mouvement *. Pour exclure ce cas exceptionnel, on dira d'un mouvement qu'il est effectif o\x propre,

« VII. Pour chaque couple de points distincts, il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes. » Ce postulat affirme l'existence du mouvement de rotation d'une figure quelconque autour de deux de ses points.

« VIII. a, 6, c étant des points distincts, s'il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes, tout autre mouvement qui laisse fixes a et 6 laissera fixe aussi c, »

Ce postulat est le fondement de la notion de droite : dans l'hypothèse énoncée, les trois points a, 6, c seront dits eollinéaires; et la droite ab sera, par définition, l'ensemble des points collinéaires avec a et by c'est-à-dire des points qui restent fixes dans tout mouvement qui laisse a et 6 fixes '. On remarquera que la droite est définie dans sa totalité, et que rien dans cette définition n'implique un ordre ou une situation relative entre les points a, 6, c. On démontre qu'une droite est déterminée par deux quelconques de ses points, c'est-à-dire que, si c et c? sont des points distincts de la droite aby celle-ci coïncide avec la droite cd.

Il convient de remarquer que le postulat VIII n'est vrai que dans l'espace à trois dimensions, que par suite il implique la limitation à trois du nombre des dimensions, et que la définition précédente de la droite n'est valable que dans un tel

1. Postulat II de M. Peano : « L'identité est un mouvement, c'est-à-dire toute Ggure est congruente à elle-même » {loc. citr, p. 18).

3. C'est là une des définitions de la droite proposées par Lbibniz. Elle ne difîère pas, au fond, de la défînition fondée sur la notion de congrueoce (v. p. 182).

espace. De plus, ce même postulat exclut l'espace riemaunien (espace elliptique de Klein), de sorte que toutes les proposi* tions suivantes ne sont vraies que dans l'espace euclidien et l'espace lobatchevskien.

Oq peut démontrer que, si trois points a^ h^ c sont collineaires, leurs correspondants (dans un mouvement quelconque) sont aussi coUinéaires ; en d'autres termes, que tout mouvement transforme une droite en une droite. Cette proposition était nu des postulais de M. Pascu et de M. Pëano ^

On peut maintenant définir le plan comme suit : « Uy à^ c étant trois points non coUinéaires, on appelle plan a^c la figure I formée par toutes les droites qui joignent a à un point de 6c, 6 à un point de ac^ et c à un point de ab, »

On démontre que les droites ab^ ac, bc appartiennent au plan abc ; et que tout mouvement transforme un plan en un plan. Mais on ne peut pas encore prouver qu'un plan est déterminé par trois points. Il faut admettre le postulat :

a IX. a, b, c étant trois points non coUinéaires, et d un point de bc antre que 6, le plan abd est contenu dans le plan abc, » On en déduit aussitôt que les plans abc et abd coïncident. On démontre alors que, si d, e, f sont trois points non coUiuéaires du plan aôc, celui-ci coïncide avec le plan def\ c'est ce qu'on exprime en disant qu'un plan est déterminé par trois de ses points non coUinéaires. On démontre aussi qu'un plan contient toute droite qui joint deux de ses points ^.

On peut définir la sphère de centre a qui passe par b comme l'ensemble des points pour chacun desquels il y a un mouvement qui le porte en b en laissant a fixe. On la représentera par b^^. On remarquera que cette définition équivaut à la définition fondée sur la congruence : « ensemble des points c

i. Ce que M. Peano exprime en disant que le mouvement est une espèce ^^affinxié (Postulat I, loc, cit., p. 18).

2. Ttiéorème d'Euclide (XI, 1) pris par certains auteurs modernes (Lbgendre) pour définition du plan.

3. On remarquera que par sphère on entend ici la surface sphérique; on distinguera plus loin les points intérieurs et extérieurs à la sphère : les points intérieurs constitueront, avec la surface, le solide appelé sphère.

i96 LA GÉOMÉTRIE

tels qu*on ait : ac=:ab » ^ Tout mouvement transforme une sphère en une sphère; et tout mouvement qui laisse fixe le centre d*une sphère la transforme en elle-même. Si deux sphères, de centres a et 6, n*ont qu*un point commun c, ce point devra appartenir à la droite ab.

Pour pouvoir défînir certains mouvements particuliers qui consistent à rabattre une droite sur elle-même, il faut introduire les postulats suivants :

u X. a et 6 étant des points distincts, il y a un mouvement qui laisse fixe a, et transforme 6 en un autre point de la droite ab. » Ce mouvement est évidemment effeclif, et transforme la droite ab tout entière en elle-même. De ce postulat on déduit que la sphère de centre a passant par 6 a un second point commun avec la droite ab.

« XL a, b étant des points distincts, si deux mouvements qui laissent fixe a transforment b en un autre point de la droite ab^ ce point est le même dans les deux mouvements. » En d'autres termes, la sphère de centre a passant par b n'a qu*un seul autre point commun avec la droite ab. Ce point, qui est ainsi déterminé d*une manière univoque, s'appellera le symétrique de b par rapport à a [syma*]. Soit 6' ce point: on peut prouver que le symétrique de b' par rapport à a esti.

« Xn. a, b étant des points distincts, il y a un mouvement qui transforme a en 6, et qui laisse fixe un point de la droite * ab. » Ce même mouvement transforme b ea a; a ei b sont symétriques par rapport au point iixe de la droite ab. Ce point fixe est unique; on l'appellera le milieu de a et 6 [med {a, b)]> C'est le centre d'une sphère qui passe par a et 6, et c'est le seul point de la droite ab qui possède cette propriété. Les propriétés du symétrique et du milieu se conservent dans tout mouvement.

Pour pouvoir définir le rabattement d'un plan sur lui-mèmei on a besoin des postulats suivants :

« XIll. a, 6, c étant trois points non collinéaires, il y a un