C'est encore une déûnition de Leibniz

mouvement qui laisse fixes a et b, et qui transforme c en un autre point du plan abc. » On dit que ce mouvement rabat le plan abc sur lui-même en le faisant tourner autour de a et 6.

« XIV. a, 6, c étant trois points non collinéair^s, et d, e des points du plan abc communs aux sphères Ca et Ct et dîffé'reols de c, ces deux points d et e coïncident. » En d'autres termes, il n*y a dans le plan abc qu'un seul point, autre que c^ qui ait les mêmes distances que c aux points a et 6, quand a, b, c ne sont pas en ligne droite (car, quand ils sont collinéaires, il n'y en a aucun).

On définit le cercle : l'ensemble des points qui appartiennent à la fois à une sphère et à un plan qui en contient le centre. Le cercle a pour centre le centre de la sphère. Il pourra s'indiquer par la même notation que la sphère, quand on saura dans quel plan il se trouve. Les postulats XIII et XIV prennent alors la forme suivante : <« Dans le plan a6c, les cercles Ca et Cb ont un point commun, et un seul, autre que c. »

On peut définir la perpendicularilé de deux droites comme une relation entre 3 points : « Dire que le couple (a, c) est perpendiculaire au couple (a, b) [ce qui s'écrit : (a, c) j (a, 6)], c'est dire qu'il existe un mouvement qui laisse fixes a et ^ et qui transforme e en un autre point de la droite ca, » Cet autre point est, comme on sait, le symétrique de c par rapport à a. Celui-ci se trouve donc sur la sphère Ci,; et réciproquement, si sym «c se trouve sur c^, (a, c) j[ (a, b), La relation de perpendicularité est symétrique. On la transforme aisément en uoe relation entre les deux droites ab, ac^ pour obtenir la notion usuelle de perpendicularité. On démontre que, par un point extérieur à une droite, on peut lui mener une perpendiculaire, et une seule; bien entendu, cette démonstration est logiquement fondée sur les postulats énoncés, cl non pas, comme la démonstration ordinaire, sur des considérations intuitives.

Pour pouvoir sortir du plan, et considérer plusieurs plans, il faut admettre le postulat :

198 lA GÉOMÉTBIE

« XV. a, 6, c étant des points non coUinéaires, il existe au moins un point hors du plan abc. »

En effet, nous n'étions pas encore sortis du plan, bien que nous ayons appris à le retourner : c'est que, comme nom l'avons dit, on n'a pas à considérer les positions intermédiaires du mouvement; nons avons admis le retournement sans savoir comment il est physiquement possible, ni par où passe le plan pour se retourner sur lui-même. On dira qae des points sont compUinairez, s'ils appartiennent tous à un même plan. Si 4 points ne sont pas complanaires, 3 quelconques d'entre eux ne peuvent être coUinéaires.

il faut admettre qu'on puisse rabattre un plan sur un autre plan; c'est Tobjet du postulat suivant :

a XVI. a, 6, c, d étant 4 points non complanaires, il existe un mouvement qui laisse fixes a et 6 et qui transforme d en un point du plan abc. » Par suite, puisqu'un plan est déterminé par 3 points, le plan abd vient coïncider avec le plan abc. Les postulats XIII et XVI aiffirment la possibilité du mouvemeat de rotation. On peut alors démontrer qu'il existe un mouvement de translation^ c'est-à-dire tel qu'un plan glisse sur luimême pendant qu'une de ses droites glisse sur elle-mêiDe\ On démontre ensuite qu'on peut mener une perpendiculaire à une droite en un de ses points dans un plan qui la contient. Que cette perpendiculaire soit unique, cela a pu être démontré auparavant, indépendamment du postulat XVI.

On peut dire qu'un point a est éqiiidisfant de deux points t et c, s'il est le centre d'une sphère qui passe par b et c. On démontre alors que le lieu des points équidistants de deux points distincts a et 6, dans un plan contenant a et 6, est la droite perpendiculaire à ab au milieu de a et b; puis, qa'une droite pa perpendiculaire à deux droites a6, ac est aussi perpendiculaire à toute droite qui passe par a et est située dans le plan a6c. D'où la définition de la perpendiculariié entre une

1. C'est la définition du mouvement de translation donnée par M. Mkaat, qui en postule la possibilité : Nouveaux Eléments de Géomélrie^V cd., §35 Dijon, 1903).

droite et un plan. On établit ensuite le théorème des 3 perpendiculaireSy d*où il résulte que par un point extérieur à un plan on peut lui mener une perpendiculaire, et une seule. On démontre aussi que par un point d*un plan on peut lui mener une perpendiculaire, el une seule. (Gela exclut la possibilité d'une 4<^ dimension, en conséquence du postulat VIII.) Inversement, il n'y a qu'un plan perpendiculaire à une droite en UQ de ses points. On prouve alors que deux plans qui ont un point commun ont une droite commune (ce qui est une conséquence des trois dimension3), et cela, sans faire appel, comme d'ordinaire, à des considérations intuitives de Topologie (distinction des deux régions de l'espace que sépare un plan) *.

Les i6 premiers postulats, et les propositions qui en découlent, concernent uniquement des relations de situation. On va voir maintenant comment de ces relations de situation on peut passer aux relations de grandeur qui constituent l'objet propre de la Géométrie métrique. Par opposition aux propriétés descriplives qui nous ont occupé jusqu'ici, on peut appeler celles qui vont être mentionnées des propriétés segmentaires, car elles reposent sur la notion fondamentale du segment rectiligne compris entre deux points.

Un point est dit intérieur à une sphère, s'il est le milieu de deux points distincts de cette sphère. Il est dit extérieur dans le cas contraire (et s'il n'appartient pas à la surface de la sphère). Dans un plan, un point est dit intérieur ou extérieur à un cercle, suivant qu'il est intérieur ou extérieur à la sphère qui a même centre que le cercle et qui passe par ce cercle. On appellera sphère polaire des points a et ô la sphère qui a pour centnj le milieu de ces points et qui passe par eux. On dira qu'un point x est entre a et ô, s'il appartient à la droite ah et s'il est intérieur à la sphère polaire de a et h. Enfin, on

i- Voici en deux mots celle démonslration. Soient les plans p el </ qui ont en commun le point a. Soienl r et s les droites perpendiculaires respeclivement à p et ç^ au point a (elles existent, et sont distinctes). Soit t la droite perpendiculaire aux deux droites r et s au point a (elle existe, et est déterminée). Cette droite appartient à la fois au plan p, comme perpendiculaire à r, et au plan ç, comme perpendiculaire à s.

appellera segment ah l*eDsemble des points situés entre a et 6, en y joignant les points a et 6 (appelés extrémités du segment). On retrouve ainsi, par des définitions purement logiques et nominales, la notion fondamentale de la Géométrie descriptive, à savoir celle de segment rectiligne.

Il faut y joindre trois postulats relatifs k la situation i

« XVII. a, 6, c, d étant 4 points collinéaires distincts, le point d ne peut se trouver sur un seul des segments ab, ae, bc, » C'est-à-dire que, ou bien il ne se trouve sur aucun d'eux, ou bien il se trouve sur deux au moins d'entre eux.

« XVIII. a, b^ c étant 3 points collinéaires, si c est entre a et 6, aucun point ne peut être à la fois entre a et c et entre b et c, » Autrement dit, les segments ac et bc n*ont aucun point commun. Il en résulte que le point d (dans le postulat XVII) ne peut se trouver que sur deux des trois segments a6, ac, bc. On démontre que, si c est entre a et ^, a ne peut être entre b et c, ni b entre a et c. Cette propriété détermine l'ordre linéaire des points de la droite. On prouve que, dans la même hypothèse, le segment ab contient les segments ac et bc, et qu il en est entièrement composé. On peut alors démontrer que la sphère de centre a qui passe par b, et la sphère de centre b qui passe par a ont un point commun, c'est-à-dire qu'il existe un triangle équilatéral de côté ab, ce qui est la première (!) proposition des Éléments d'EucLiDE, dont la démonstration est, nous l'avons dit, tout à fait insuffisante.

« XIX. a, by c étant 3 points non collinéaires, toute droite du plan abc qui rencontre le segment ab doit rencontrer aussi le segment ac ou le segment bc, si elle ne passe par aucun des points a, b, c ^. n De ce postulat il résulte que, dans la même hypothèse, si a' est entre b et c, b' entre c et a, et c' entre a et ^, les points a\ b\ c' ne peuvent être collinéaires.

On peut ici définir les prolongements d'un segment, la denai-

i. Comme le remarque M. Pieri, on peut confondre ce postulai avec le postulat XVII dans l'énoncé un peu vague : * a, ô, c étant 3 points distincts, une droite de leur plan ne peut rencontrer un seul des 3 segmenis ab, ac, bc. •

GÉOMBTRIE MÉTRIQUE 201

droite, le demi-pian, i^angle, suivant la méthode de M. Peano; puis linégalité de deux segments, comme suit : « Dire que le segment ab est plus petit que le segment cd^ c*est dire qu'il existe un mouvement qui transforme a en c et 6 en un point situé entre c et d. » On prouve que, si deux segments quelconques ne sont pas congruents, Tun d'eux est nécessairement plus petit que Tautre. Ondéfînit d'une manière analogue rinégalitc des angles. On peut alors démontrer les théorèmes proprement métriques qui tiennent tant de place, et une place trop prématurée, chez Ëuclide et ses imitateurs; par exemple : « La perpendiculaire est plus petite que toute oblique issue du même point » (théorème qui se déduit des 18 premiers postulats).

On définit le triangle abc comme la figure formée par tous les segments qui joignent le point a à un point du segment bc. On démontre que la fîgure ainsi déterminée est identique à celles que déterminent le point b et le segment ac, ou le point c et le segment ab\ et encore, qu'elle est identique à chacune des figures communes à deux quelconques des 3 angles bac^ cha^ acbK On peut alors démontrer les trois cas d'égalité des triangles; le 3*^ cas (3 côtés égaux) résulte d*ailleurs immédiatement d'un théorème qui repose sur les 16 premiers postulats. On démontre aussi que tout angle extérieur d'un triangle est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

On définit enfin la somme de deux segments, et l'on peut alors démontrer presque tous les théorèmes des premiers livres d'Ëuclide qui ne dépendent pas du postulat des parallèles. Par exemple : « Dans un triangle isoscèle, les angles à la base sont égaux. » — a Si dans un triangle deux angles sont inégaux, au plus grand angle est opposé le plus grand côté, et réciproquement. » — « Chaque côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres. » — « Si d'un point extérieur à une droite on mène la perpendiculaire et plusieurs

1. Cf. p.l51,note 2,eH6i. 11 faul remarquer qu'enGéométrie métrique les angles sont des demi-angles, c'est-à-dire des portions de plan comprises entre deux demi-droites (sous réserve de la note 3 de la page 202).

202 LA GÉOMÉTRie

obliques à cette droite, la plus grande oblique est celle qui s'éloigne le plus du pied de la perpendiculaire, et réciproquement. » — « Si deux triangles ont deux côtés égaux chacan à chacun, et les angles compris inégaux, au plus grand angle correspondra le plus grand côté; et réciproquement. » Ces exemples suffisent à montrer que les postulats précédents permettent d'établir logiquement toutes les relations de grandeur qui forment Tobjet essentiel de la Géométrie métrique.

Toutefois, ils ne suffisent pas à démontrer ce théorème capital : c( Il existe un triangle dont les côtés sont respectivement égaux à 3 segments donnés, dont chacun est plus petit que la somme des deux autres^ », ou, ce qui revient au même : « Deux cercles d'un même plan se coupent, quand la distance de leurs centres est plus petite que la somme de leurs rayons. » Et, en effet, ce théorème suppose un dernier postulat, Vaxiome de continuité; il suffit d'ailleurs de postuler la continuité du segment de droite, comme suit :

« XX. Si k est un ensemble de points contenu dans le segment ab, il existe dans ce segment un point x tel qu'aucun point k n'est entre x et 6, et que, pour tout point y situé entre a et x, il y a un point k situé entre j/ et ar ou coïncidant avec ar*. »

De ce postulat on peut déduire, comme on sait, l'axiome d'Àrchimëde, qui est le fondement de la mesure des grandeurs. Alors, mais alors seulement, on peut affirmer que les segments sont des grandeurs mesurables; puis, une fois qu'on aura étendu ces axiomes aux angles, que les angles sont des grandeurs mesurables '. Seulement la Géométrie métrique fait

i. Il est à peine besoin de dire que la démonstration qu*en donnent ËucLiDK et ses successeurs est insuffisante.

2. C'est le même postulat que celui de la Géométrie descriptive dans le système de M. Peano (voir p. 167).

3. Les angles doivent être conçus, non comme des portions de plans (ensembles de points), mais comme des portions de faisceaux (ensembles de rayons). C'est ce que M. Russell prouve par des considérations ingC' nieuses, op. cit., § 402. L'angle est dans le faisceau de rayons Tanalogue exact du segment sur une droite. M. Enriques distingue de même la région angulaire, portion de plan, et Vangle, portion de faisceau (E/emen/*

cesser Tanalogie parfaite qui existe, en Géométrie projective, entre les segments et les angles. Entre les points d'une droite et les rayons d'un faisceau (mis en relation perspective) il y a, au point do vue projectif, une corrélation absolue : les deux figures sont des suites fermées; les segments de la droite et les angles (qui sont des « segments » du faisceau) se correspondent entièrement. Il n*en est plus de même lorsqu'on définit métriquement les segments et les angles : les angles ont un maximum, tandis que les segments forment un ensemble de grandeurs illimité. Cela provient de ce fait que, au point de vue métrique, les angles ont une grandeur absolue par rapport à une unité naturelle qui est, soit Tangle droit, soit le demitour (2 angles droits), soit le tour complet (4 angles droits), tandis qu'il n'y a rien d'analogue pour les segments. 11 est vrai que les angles, eux aussi, deviennent des grandeurs illimitées (et même dans deux sens opposés) quand on admet (comme en trigonométrie) des angles supérieurs à un tour; mais les angles qui didèrent d'un nombre entier de tours sont géométriquement indiscernables, et cela introduit dans la suite illimitée de ces grandeurs une périodicité qui manque à la suite des grandeurs linéaires. Dans tous les cas, il n'y a plus correspondance projeclive entre les segments et les angles (à un angle fini correspond un segment infini), et cela explique les paradoxes de la Géométrie métrique relatifs à l'infini. C'est là, d'ailleurs, l'origine de la discordance que nous avons constatée entre la Géométrie descriptive et la Géométrie proiective, et que la création des éléments idéaux a eu pour but de supprimer.

Cette discordance entre les segments et les angles n'a pas lieu, toutefois, dans la Géométrie métrique de l'espace elliptique (ou riemannien), car dans cet espace (qui correspond, on l'a vu, parfaitement à l'espace projectif) la droite est une

di Geomelria, n*' 66-72, Bologna, 1903}. Quant à la définition classique : « Un angle est la figure formée par deux demi-droites issues d'un même point », elle est mauvaise, car eUe ne définit pas l'angle comme gran- <Ieur; elle ne permet pas de concevoir Tinégalité ni la somme de deux angles.

ligne ferméCy et d'une longueur Onie ; la distance de deux poinls a donc un maximum (la moitié de la longueur de la droite entière).

Gomme la Géométrie projective et la Géométrie descriptive, la Géométrie métrique peut se ramener à une forme purement logique si l'on transforme les postulats en une déGnittoB de Tcspace métrique : Un espace métrique (euclidien ou noaeuclidicn) sera un ensemble qui jouira de telles et telles propriétés (énoncées dans les postulats). La Géométrie métrique, ou plutôt, chacune des Géométries métriques, prend alors la forme d*unc vaste implication : Si tel ensemble jouit des propriétés fondamentales énoncées dans les postulats, il vériiierft tous les théorèmes de la Géométrie correspondante. La Géométrie, ou plutôt, les Géométries ne reposent plus sur des propositions premières, indémontrables; elles n'ont plus d'axiomes propres^ en dehors des axiomes communs de la Logique même.

Mais, dira-ton peut-être, n'est-ce pas par un détour arllGciel, par un subterfuge logique, qu'on transforme les postulats en déHnitions? A cela on répondra que cette transformation est légitime et même nécessaire. Elle est légitime, car, tant qu'on fait de la Géométrie pure, on spécule sur des espaces idéaux dont on n'affirme nullement l'existence réelle; on peut donc, on doit même dépouiller les postulats de leur caractère catégo* rique, de leur « valeur de vérité », pour les réduire à de simples hypothèses problématiquement posées. Elle est néces* saire, car, pour raisonner sur un espace, il faut le définir : et Ton ne peut le définir qu'en énumérant ses propriétés caractéristiques, celles dont toutes les autres dérivent logiquement. On ne pourrait critiquer la définition de tel ou tel espace que pour deux raisons : ou bien parce qu'elle serait insuffisante, c'est-à-dire ne déterminerait pas un espace, mais plusieurs espaces (qualitativement différents*), et alors il faudrait lui

1. Car si plusieurs espaces concordent dans toutes leurs propriétés, ils sont indiscernables, ou plutôt, au point de vue logique, ils ne font qu'un.

GÉOMéTRIB MÉTRIQUE 205

adjoindre d'autres hypothèses ou conditions, c'esl-fi-dire d'autres postulats, pour la compléter; ou bien parce qu'elle serait surabondante, c'est-à-dire contiendrait certaines conditions superflues qui sont les conséquences logiques des autres; or, par cela même qu'on prouverait que ces conditions sont superflues, on les démontrerait comme théorèmes, et on les supprimerait comme postulats ^ La définition d'un espace (comme de n'importe quel objet) est donc l'ensemble des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer toutes ses propriétés. Ou bien un postulat appartient à cet ensemble de conditions, et alors ce n'est plus un postulat^ mais une partie intégrante de la définition; ou bien il n'en fait pas partie, et alors c'est un théorème qui peut (et par suite doit) être démontré (sans quoi la définition ne serait pas complète). Il n'y a donc pas de place, dans une Géométrie logiquement construite, pour un postulat quelconque ^ En résumé, les axiomes de la Géométrie ne sont que des définitions déguisées ^ ou plutôt des parties de définition. Mais alors (il importe de remarquer cette conséquence nécessaire de la conception que nous exposons ici), la Géométrie ne peut pas être une science autonome ayant ses principes spéciaux et reposant sur des « juge-

1. C'est pourquoi il est utile de démontrer de chaque système de postulats quMl est suffisant et irréductible; c'est ce qui a été fait pour certains de ceux que nous venons d'exposer.

2. Le fameux « postulatum d'Euclide » est simplement un complément de la définition de la droite euclidienne, ou de l'espace euclidien. H ne doit sa célébrité qu'à la place extraordinaire qu'on lui a longtemps assignée dans les manuels. Mais, en réalité, ce n'est pas un postulat exceptionnel et unique, ce n'est qu'un des nombreux postulats ou axiomes de la Géométrie, et, de môme qu'on a construit les Géométries noneuclidiennes sur sa négation, on peut « s'amuser» à nier tel ou tel autre postulat, et à construire des Géométries non-archimédiennes, non-arguésiennes, non-pascaliennes, etc. (Hilbert, Gi'undiagen der Géométrie. Cf. le compte rendu de cet ouvrage par M. Poincarb, ap. Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXVI, sept. 1902). Au point de vue pédagogique, la place privilégiée accordée au postulatum d'Euclide (alors surtout qu'on passe sous silence les autres postulats) est très fâcheuse : elle fait croire & une « imperfection » singulière de la théorie, et est sans doute responsable en grande partie des innombrables essais de démonstration du fameux postulatum.

3. H. PoiMCARÂ, La Science et VHypothèse, chap. m, fin (p. 66 de l'éd. française).

206 LA GÂOBliTBIE

meDis synthétiques a priori »; c*est une série de déductions formelles suspendues à une définition, et qui en déroulent à rinQni les conséquences logiques. £n un mot, la Géométrie n'est plus qu'une simple promotion de la Logique.

De même que la Géométrie n'aplus de propositions premières, elle n'a plus de notions premières qui lui soient propres. En effet, dans tous les systèmes que nous avons exposés plus haut, les notions premières se réduisent à deux : un concept de classe qu'on nomme point; et une notion de relation (ordre, congruence, mouvement), qui se déguise parfois, quand l'analyse n'est pas poussée à bout, en un concept de classe (droite, segment, vecteur). Or, d'un c6té,la notion de point n'intervient nullement dans la structure logique de la Géométrie : les points ne sont rien de plus que les éléments de certains ensembles, ou mieux, les termes de certaines relations; ce sont des objets quelconques, de nature inconnue ou indéterminée, dont on ne sait qu'une chose : c'est qu'ils sont les supports de certaineâ relations. Ou plutôt, on n'en sait rien, même pas cela; on sait seulement que, si des objets quelconques (qu'on les appelle points ou autrement) supportent entre eux certaines relations fondamentales (énoncées dans les axiomes), ils vérifieront tous les théorèmes qui en découlent logiquement. Ainsi la Géométrie pure, qui n'est qu'un système d'implications, n'affirme riea touchant les points; rigoureusement parlant, elle ne les connaît pas, et elle n'en a pas besoin.

D'un autre côté, les relations qui constituent l'autre donnée primordiale des divers systèmes de Géométrie ne sont plus indéfinissables : nous avons vu comment la Logique des relations permet de les définir au moyen de leurs propriétés formelles. Il semble paradoxal de ramener la Géométrie à n'être qu'une application de la Logique des relations; et pourtant, tout le monde sait et reconnaît que la Géométrie, comme la Mathématique en général, est une science et abstraite », en ce sens qu'elle fait abstraction de la nature intrinsèque des objets pour ne considérer que leurs relations; de sorte que, si deux ensembles d'objets (de nature toute différente) vérifient les

GÉOMirRIE MÉTRIQUE 207

mêmes relations, i]s seront soumis à la même théorie malhémalique (c*est là un fait bien connu, dont la Physique mathématique offre des exemples nombreux et frappants). La thèse épistémologique que nous soutenons ici n'est que la systématisation et la justification de cette remarque banale. Mais, ici encore, il faut bien se rendre compte de la portée de ce lieu commun : si la Mathématique est une science « abstraite », ce n'est pas, comme le croient les empiristes et positivistes, parce qu'elle fait abstraction de la plupart des propriétés des objets d'expérience; c'est parce qu'elle n'est plus à aucun degré uae science d'objets^ mais une science formelle et pure, qui ne considère que la forme des objets et leurs relations. C'est ce qai explique que les vérités mathématiques soient univer* selles et nécessaires a priori : elles sont objectives, non parce qu'elles naissent de l'étude des objets, mais parce que, ne portant sur aucun objet en particulier, elles portent sur tous les objets possibles. Mais alors, il est impossible de méconnaître leur analogie avec les lois logiques, dont elles possèdent tous les caractères, et dont elles sont en effet des conséquences. Si la Mathématique est formelle comme la Logique, c'est parce qu'elle est le prolongement de la Logique.

Qu'est-ce donc, en définitive, que la Géométrie, et comment doit-on la définir pour la distinguer des autres branches de la Mathématique ou de la Logique? C'est « l'étude des suites à plusieurs dimensions^ » : « des suites», c'est-à-dire des ensembles ordonnés; « à plusieurs dimensions », car l'Arithmétique, par exemple, étudie une suite à une dimension, la suite naturelle des nombres ^. Cette définition ne contredit nullement le caractère de science logique que nous venons d'attribuer à la Géométrie : car, d'une part, dans l'étude des ensembles, en général, on ne considère point leurs éléments, mais seule-