RussELL, op, ciL, § 352, p

2. À ce titre, TAnalyse, en tant que fondée sur la nolion de nombre complexe, rentre dans la Géométrie. Il n*y a là rien de choquant : ce n'est pas l'Analyse qui devient tributaire de la Géométrie; c'est au contraire la Géométrie qui est une extension de l'Analyse, suivant la conception qui règne à présent chez les mathématiciens.

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ment leurs rclatioas ; et, d*autre part, un ensemble ordonné ne peut être déflni, comme tout ordre» qu'au moyen de certaines relations. On pourrait donc aussi bien définir la Géométrie comme Tétude de certains ordres (les ordres à multiple entrée' ou de certaines relations (les relations qui définissent les ordres susdits). L'espace, en tant qu'objet de la Géométrie pure, n*est pas autre chose que cela : c*est un ensemble ordonné (abstraction faite de ses éléments, qu'on les appelle points ou autrement); ou, en termes plus « logiques », c'est un ordre, c'est-à-dire un système de relations.

Encore une fois, ces définitions paradoxales ne font que formuler avec précision la conception de la Géométrie qui est aujourd'hui courante chez les mathématiciens. Pour le montrer, il suffit de rappeler que, selon M. Poincaré et beaucoup d'autres, la Géométrie, ou plus exactement, chaque Géométrie, est Tétude d*un groupe. Or on sait ce que c'est qu'un groupe : c'est un ensemble de transformations telles, que le « produit relatif » de deux transformations est une transformation de l'ensemble ^ Et qu'csl-ce qu'une transformation? C'est une correspondance univoque et réciproque entre un ensemble [l'espace par exemple) et le même ensemble; autrement dit, une relation biuniforme dont le domaine et le codomaine coïncident. Ainsi la formule que nous venons de citer ne fait qu'exprimer, en termes mathématiques, la même conception que la définition de M. Russell exprime en termes de Logique- D'ailleurs, la théorie des groupes, qui a pris dans les Mathématiques modernes une si grande importance, est une branche de la science de l'ordre, et par suite de la Logique des relations. Et s'il y a quelqu'un qui ne puisse pas la considérer comme une théorie mathématique, ce sont justement les philosophes qui persistent à définir les mathématiques, suivant la conception traditionnelle et surannée, comme les sciences du nombre et de la quantité.

11 va sans dire que nous ne parlons que de la Géométrie

1. Pour une définilion plus exacte et logique du groupe, voir Note II*

pure, de la « science de toutes les espèces possibles d*espaces » (Xaut), et non de la Géométrie réelle ou appliquée^ qui a pour objet Tespace actuel, et qui est une science expérimentale. Une Géométrie pure est une implication de la forme : « Si A est vrai, B est vrai » ; la Géométrie appliquée dit : « A est vrai, donc B est vrai » ; elle affirme à la fois A et B de Tespace actuel, objectif, tandis que la Géométrie pure n'affirme que la connexion logique, idéale, de A et de B. Or, entre toutes les Géométries logiquement possibles que Ton peut constituer théoriquement, Texpérience seule peut nous permettre de choisir celle que nous appliquerons au monde « réel », c'està-dire au monde de notre expérience. Gela ne veut pas dire que, comme le croient Tempirisme et le réalisme naïf, il y ait hors de nous un espace tout fait et réalisé que nous n'ayons qu a percevoir, mais que le monde que nous percevons se prèle plutôt à tel moule spatial qu'à tel autre. Gela ne veut pas dire non plus que l'on puisse vérifier par une expérience cruciale tel ou tel postulat isolé (par exemple, le postulatum d*Euclide); car, comme on l'a fait remarquer, une telle vérification supposerait tous les autres postulats vérifiés, ce qui forme une sorte de cercle. Mais il ne faut pas non plus soutenir, comme font les agnosticistes contemporains, que toute vérification expérimentale de la Géométrie constitue un cercle vicieux; car, si l'on ne peut pas vérifier chaque postulat séparément, on peut vérifier l'ensemble total des postulats. Seulement une telle vérification ne peut plus être directe et péremptoire : elle sera du genre de celles qui vérifient une hypothèse par ses conséquences, et par suite elle ne sera jamais que probable. Mais c'est là le cas de la plupart des hypothèses physiques; et cela ne fait que rapprocher la Géométrie des sciences expérimentales. A ce point de vue, les postulats ne sont plus de simples « hypothèses » dans une implication, ils deviennent des propositions assertoriques, des vérités d'expérience. Il n'y a, on le voit, aucune inconséquence à considérer la Géométrie pure comme une science a priori^ et la Géométrie appliquée comme une science empi-

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. i4

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rique; car il ne 8*agit pas de la même Géométrie, ou plutôt, si c'est la même Géométrie, la modalité des propositions y est toute différente.

Dne chose montre bien la différence de ces deux Géométries, ou de ces deux modes de considérer la Géométrie : la Géométrie pure, avons-nous dit, ignore les points et n'a pas à les connaître; ce sont simplement les termes indéterminés des relations qu'elle étudie. Au contraire, la Géométrie appliquée a besoin de déterminer, dans l'espace « réel » ou objectif, les éléments qu'on devra appeler des points, et par suite, ce qu'on devra considérer comme des droites, comme des plans, etc.; car c'est à cette condition que les propositions géométriques prennent un sens « réel » et deviennent susceptibles de vérification. Il faut donner un contenu objectif aux formes vides de la Géométrie pure, et pour cela on doit recourir à l'intuition. L'intuition est complètement exclue de la Géométrie pure, qui n'est qu'un système logique; mais elle règne dans la Géométrie appliquée, car elle est indispensable pour donner un sens et un support aux notions premières, et pour vérifier les propositions premières (postulats) dont toutes les autres découlent. On peut, si l'on veut, refuser le nom de Géométrie à la Géométrie pure, et dire que c'est simplement une branche de l'Analyse; on ne fera ainsi que confirmer notre thèse, qui fait de la Géométrie pure une application de la Logique; et l'on pourra alors faire reposer la Géométrie (appliquée) sur l'intuition. Mais on ne supprime pas par là la Géométrie pure, et l'on n'en diminue pas Tulilité pour la Géométrie appliquée: la Géométrie pure permettra toujours de réaliser (suivant les idées de Mach) une <( économie » d'expérience, en enseignant quel est le nombre minimum de postulats qu'il faut vérifier pour être sûr de la vérité de toutes les autres propositions; sans la Géométrie pure, la Géométrie appliquée ne serait qu'une science absolument empirique, dont chaque proposition devrait être vérifiée expérimentalement : ce ne serait même plus une science, car dans les sciences les plus expérimentales la déduction joue un rôle pour rattacher entre elles

les lois trouvées et en tirer les conséquences nécessaires. Une science n'est pas nne compilation de lois on de « recettes », e'est un système de vérités, dont la Logique est le ciment. La Géométrie pure est la partie logique de la Géométrie appliquée, c'est-à-dire ce que, depuis Euclide, on a coutume d'appeler la Géométrie (théorique). Seulement, elle a toujours été mêlée, dans la tradition, d^éléments intuitifs, dont elle tendait à se puriSer progressivement; aujourd'hui, la distinction est nette et complète entre la pai*t de la Logique et celle de l'intui* lion.

Il nous reste à préciser les rapports de la Géométrie pure avec l'Arithmétique. Nous venons de rappeler l'opinion, aujourd'hui très répandue, selon laquelle la Géométrie serait une branche de l'Analyse; et, d'autre part, on sait que toute l'Analyse a été reconstruite avec la notion de nombre entier, et n'est plus qu'un prolongement de l'Arithmétique. S'ensuit-il que la Géométrie ne soit, elle aussi, qu'une extension de l'Arithmétique, qu'elle n'ait pas d'autre contenu que l'idée de nombre, et que l'on puisse construire l'espace avec des nombres, comme beaucoup de mathématiciens le croient, à la suite de RiEMANN, en parlant par exemple d'espace arithmétique'^ C'est là une erreur : les espaces qu'étudient les diverses Géofflétries sont des ensembles, dont les éléments, appelés points^ sont en réalité indéterminés et indifférents; ce ne sont pas nécessairement des ensembles de nombres. Et la prétention de réduire toute la Mathématique, y compris la Géométrie, à ce seul objet, le nombre, est vaine et même illogique; car l'idée d'ensemble est antérieure à celle de nombre, comme on l'a vu, puisqu'elle sert à définir celle-ci. S'il y a une Mée première et fondamentale en Mathématique, ce n'est donc pas l'idée de nombre, mais bien celle d'ensemble.

Néanmoins, Terreur précédente a, comme toute erreur, une explication, qui n'est pas une justification, et qu'il est intéressant de signaler. Elle vient sans doute de ce que, toutes les fois qu'on veut démontrer l'existence (logique) d'un espace défini par un certain système de postulats, on n'a pas d'autre

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moyen que de construire un ensemble de nombres qui vériGe tous ces postulats (ces nombres étant pris parmi les nombres réels ou complexes, dont on admet Texistence logique comme préalablement établie). De même, lorsqu'on veut démontrer qu^un système de postulats est irréductible, c'est encore à des ensembles de nombres convenablement construits qu*on fait appel, en montrant qu'ils vériûent tous les postulats, sauf un. Cette méthode est couramment employée, non seulement par les logisticiens dont nous avons cité les mémoires dans ce Chapitre, mais par les mathématiciens les plus étrangers à la Logistique, comme M. Hilbert'. Par là non seulement les lecteurs, mais parfois les auteurs eux-mêmes sont amenés à croire que Ton construit Tespace avec des nombres, en vertu de la tendance générale des mathématiciens (remarquée par M. Russell) à identifier purement et simplement les ensembles qui possèdent les mêmes propriétés formelles. Mais cette illusion a été parfaitement démêlée par un auteur (également étranger à la Logistique) dans la remarque suivante : « C'est parce qu'on peut démontrer la compatibilité des conditions énoncées dans les définitions... des premiers termes de la Géométrie à l'aide du système des nombres entiers, qu'il est légitime de dire que la Géométrie peut être tout entière construite à partir de l'idée du nombre ». Cette remarque, tout en accordant une « légitimité » excessive à ce qui n'est qu'une façon de parler, montre bien ce qu'il faut entendre par 1' a arithmétisation des mathématiques », et en limite singulièrement la portée. Il ne s'agit pas, à proprement parler, de construire l'espace avec des nombres (ex pumice aquam!)^ mais seulement \ de construire avec des nombres un ensemble qui ait toutes les propriétés fondamentales de l'espace considéré, afin de démontrer V « existence » de cet espace sans faire appel à l'intuition. Entre les divers espaces qu'étudie la Géométrie et les ensembles de nombres qu'on leur substitue, il y a analogie