Grundfagen der Géométrie (i

2. Lbbesgub, Leçons sw Vlnlégration, chap. vu, § 1, noie (Gaulhie^ Villars, 1904).

formelle, et non identité; mais cela suffît pour qu'on puisse démontrer Texistence (logique) de ces espaces sans aucun postulat îatuitif ou expérimental, et par suite faire rentrer les diverses Géométries dans la Mathématique pure, comme dépendant uniquement de la Logique.

On comprend mieux à présent la définition dans laquelle M. Rlssell a résumé la conception moderne de la Malhémalique pure. Pour achever de l'expliquer et de la justifier, il convient de la comparer à quelques autres définitions qui en ont été proposées ^ Il ne s*agit pins, bien entendu, de la définition traditionnelle de la Mathématique comme science de la quantité, qui est unanimement abandonnée et définitivement condamnée. Mais, étant donnés l'extrême généralité de la Mathématique moderne, et le caractère de science logique et pure qu*elle prend de plus en plus, on peut se demander si Ton doit la définir par sa matière ou par sa forme; autrement dit, si elle a encore un objet spécial et déterminé, ou si elle est moins une science qu'une méthode, et une méthode applicable à toutes sortes d'objets.

Cette dernière opinion a été hardiment soutenue par un des savants qui ont le plus contribué à élargir Thorizon de la Mathématique, Benjamin Pisircb, qui écrivait dès 1870 : « L> Mathématique est la science qui tire des conclusions nécessaires *. B Selon cet auteur, la Mathématique serait essentiellement la méthode déductive et démonstrative, et comprendrait toutes les connaissances « dogmatiques », c'est-à-dire ratioa-

1. Nous nous inspirons ici de la conférence de M. Maxime Bôcher ao Congrès de Saint-Louis (septembre «904) : The fundamental conceptioM and 77ielhods of mathematics, ap. Bulletin of the Amei*ican MathemaM Socîetij, t. XI, p. 115-135 (déc. 1904).

2. • Mathemalics is the science which draws necessary conclusions «j première phrase de Linear associative Algettra, mémoire lu à TAcadénift nationale des Sciences de Washington en 1870; publié ap. Amenc(A Journal of Mathemalics, t. IV, p. 97-229 (1881).

nelles. Elle n'enveloppe pas toutes les sciences, mais elle les régit et les domine toutes : ce n'est pas elle qui découvre les lois de la nature, mais c'est elle qui en tire toutes les conséqaences logiques. C'est à tort qu'on englobe dans la Mathétiqae certaines sciences déductives, comme la Géométrie et la Mécanique, qui sont (par leurs principes) des sciences phy- ^ues; car alors il faudrait y faire rentrer toutes les sciences qui emploient peu on prou la déduction. Mais chacune des sciences physiques a sa méthode déductive, et par suite sa mathématique propre; et comme toute théorie mathématique prend naturellement la forme d'une algèbre, chaque science a son algèbre, son algorithme formel. C'est ainsi que B. Peirce fait rentrer dans la Mathématique même la Logique : c'est qu'il entend par là l'Algèbre de la Logique (de Boole), algèbre « qualitative » qu'il oppose à l'algèbre « quantitative ^ de l'Arithmélique. Mais c'est que Boole concevait encore la Logique à la manière d'Aristote, comme la Logique des concepts. Pour nous, qui concevons la Logique comme la science de tous les raisonnements formellement nécessaires, elle est coextensive et au fond identique à la Mathématique telle que la définissait B. Pëirce. Et c'est la raison pour laquelle nous n'admettons pas sa définition. Elle est manifestement trop générale, car elle fait rentrer dans la Mathématique toute espèce de raisonnements, même ceux qui portent sur des matières tout empiriques, comme les arguments des avocats. Si large que soit la conception moderne de la Mathématique, elle ne permet pas de dire qu'un avocat « fait des mathématiques » lorsqu'il invoque un alibi ou discute l'application d'une loi à un cas particulier; au contraire tout le monde conviendra qu'il « fait de la Logique ». La Logique est donc plus générale que la Mathématique; elle seule est purement formelle et par suite universelle. Il semble donc que la Mathématique ne puisse se définir par sa forme seule, et que, si sa méthode se confond avec la Logique elle-même, elle s'applique à une certaine classe des objets qui la spécialise et la distingue de toutes les autres sciences déduclives.

Mais quel peut élre l'objet des mathématiques? Il est reconnu aujourd'hui que les théories mathématiques sont indépendantes de leur contenu objectif, et sont indifféremment applicables à toute espèce d'objets, pourvu qu'ils vériGent les relations formelles énoncées dans les postulats ^ C'est ce qui fait la valeur abstraite et formelle de la Mathématique, et lui donne un caractère si analogue à celui de la Logique. Mais comment déûnir la Mathématique par son objet, si elle fait précisément abstraction de la nature de ses objets? Néanmoins, Kempb' a cru trouver des caractères (formels) communs à tous les objets des sciences mathématiques : ce sont toujours des classes d^individus soumis k certaines relations et à certaines opérations (ou combinaisons). Et comme les opérations se ramènent à des relations, l'objet d'une science mathématique se réduit en déûnitive à une classe d'individus associée à une classe de relations. Une science ou théorie est mathématique, si toute la question est de savoir si tel ensemble d'objets vérifie telles relations. On remarquera que cette conception se rapproche beaucoup, à certains égards, de celle de M. Russell, qui fait reposer la Mathématique sur la Logique des relations; et, d'autre part, elle se justiGe par l'importance qu'ont prise, dans les fondements des mathématiques, la théorie des ensembles et la théorie des groupes. Toutefois, elle est manifestement incomplète, car elle ne dit rien de la méthode par laquelle on doit étudier les objets et les relations en question. Or cette méthode peut être empirique aussi bien que déduclive : toute science sociale, toute administration politique, judiciaire, etc., consiste à reconnaître (ou à établir) certaiues relations entre des individus d'une certaine classe; ce ne sont pourtant pas des sciences mathématiques. Pour qu'il y ait science mathématique, il faut que, certaines relations étant

1. Encore faut-il remarquer qu'au point de vue de la Logique pure, une Ihéorie déduclive s'applique à toute espèce d'objets, en tant qu'elle constitue une implication, car elle est encore vérifiée, si l'objet ne vérifie pas les postulats qui forment l'hypothèse de Timplication.

2. Saiurey t. 43, p. 156 (1890); Proceedings of the London Mathematical Society, t. 26, p. 5 (1894).

données, on puisse en déduire d*aulres; il faut donc faire intervenir la considération de la méthode déductive. On ne peut pas, par conséquent, définir la Mathématique uniquement par son objet, si générale et si formelle que soit la définition de cet objet lui-même.

Il ne reste donc plus qu'un moyen : c'est de définir la Mathématique à la fois par sa méthode et par son objet; et c'est précisément ce qu*a fait M. Russell. La méthode mathématique est la déduction, tout le monde est d'accord là-dessus; mais il faut entendre par là la déduction purement logique, fondée sur les principes qu'énumère et que formule la Logistique. Sans doute, toute déduction suppose des propositions premières qu'on doit postuler, et qu'on ne peut pas déduire; et ces postulats peuvent être empruntés à n'importe quelle source de connaissance, empirique ou a priori. Mais ce qui distingue la Mathématique pure de toutes les autres théories déductives, c'est qu'elle n'a pas, à proprement parler, besoin de postulats : nous avons montré, d'après M. Russell, que les différentes théories mathématiques ne reposent pas sur des principes ou « axiomes » propres, mais uniquement sur des définitions *. Ouant à ces définitions, qui déterminent l'objet de chaque théorie, elles sont purement logiques, c'est-à-dire qu'elles ne contiennent pas d'autres constantes que les constantes logiques ; ce qui distingue les objets des mathématiques des objets plus ou moins empiriques des autres sciences déductives, c'est qu'ils sont définis en fonction des seules constantes logiques. Ainsi la Mathématique pure se trouve définie à la fois par sa forme et par sa matière : par sa forme, qui est un ensemble d'implications conformes aux principes de la Logique : par sa matière, qui est un ensemble de définitions ne contenant que des termes de Logique. On comprend donc qu'elle soit, au point de vue de la forme, identique à la Logique; et que, au

1. M. BôcHER {loc, cil.) résume la théorie de M. Russell en disant que la mathématique pure consiste en déductions « by iogical principles from logical principles». Cette formule est ingénieuse et frappante; mais elle serait peut-être plus juste si l'on disait : « by Iogical principles from Iogical définitions -.

point de vue de la matière, elle ne soit qu*an domaine spécial dans le champ d'application de la Logique. Par là s'explique qu'elle ait le caractère abstrait et formel de la Logique, tout en restant distincte de celle-ci et subordonnée à elle. Par là enfin se trouvent justifiées les théories philosophiques qui attribuent aux concepts et aux vérités mathématiques une valeur universelle et nécessaire, donc a priori^ car, si notre thèse est juste, cette valeur est égale à celle des lois de la Logique même.

On sait que, depuis une vingtaine d'années, la théorie des ensembles a pris une place considérable dans la science mathématique, et apparaît de plus en plus comme la base indispensable de l'Analyse : elle a d'ailleurs été inventée tout exprès pour préciser, éclaircir et généraliser les notions fondamentales du calcul intégral et de la théorie des fonctions, notions qui (comme celle du continu par exemple) n'avaient pas encore été logiquement analysées, qu'on acceptait encore dans le sens vulgaire et naïf que leur donnaient Tusage et la tradition, et que, pour cette raison, on attribuait à l'intuition. Si donc nous moQtrons que la théorie des ensembles est, par ses notions premières et par ses principes, une branche ou une application de la Logique, nous aurons beaucoup fait pour établir la thèse soutenue dans cet ouvrage.

Oq doit distinguer dans la théorie des ensembles plusieurs parties ou plusieurs étages*. Il y a d'abord ce qu'on peut appeler la théorie des ensembles « abstraits », qui considère des ensembles d'objets quelconques, de nature indéterminée, sous la seule condition que chacun de ces objets constitue un

1. Un exposé très élémentaire de la théorie des ensembles se trouve dans notre ouvrage De VInfini mathématique, Noie IV (1896). Ceux qui voudraient s'initier plus à fond à celle théorie et à ses applications mathématiques n*ont qu*à lire le très substantiel Bericht ûber die Mengenlehre de M. A. Schônflies, ap. Jahresbericht der deutschen Mathematikcr- Vereinigung, VIII, 2 Leipzig, Teubner, 190Q).

individu reconnaissable; un ensemble, dit-on, est déterminéf si Ton a le moyen de décider, au sujet d*un objet (individuel) quelconque, s'il appartient ou n'appartient pas à l'ensemble considéré. On reconnaît déjà là les notions logiques d'individu et de classCj et la relation é!" appartenance d'un individu à une classe (e).

Entre les ensembles ainsi conçus on est amené à considérer une relation fondamentale : Tun peut être contenu dans Tautre, en être une partie; c'est la relation que nous désignons par 0.11 peut même arriver que les deux ensembles soient mutuellement co/j^enu^Tun dans l'autre, et alors ils son ttc^en/t^t/e;; c'est ce que nous appelons l'égalité logique (=). On dit qu'un ensemble A est partie intégrante ^ d'un autre ensemble B, lorsqu'il y est contenu sans lui être identique : c'est-à-dire lorsque tout A est un B, mais tout B n'est pas un A. C'est ce que nous exprimons par les deux formules :

AoB.A- = B ou : Ao B . B-o A.

Enfin on considère deux espèces de combinaisons entre deux ensembles A, B : l'un consiste dans leur partie commune^ ou dans Tensemble des éléments qui leur sont communs; on l'appelle leur diviseur commun, et on le représente par ^ (A,B). C'est ce que nous appelons leur produit logique A^B. L'autre consiste dans leur réunion^, c'est-à-dire dans l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à l'un ou à l'autre : on l'appelle leur plus petit commun multiple et on le représente par ^^é (A, B). C'est ce que nous appelons leur somme logique A ^ B. Dans le cas où les deux ensembles n'ont pas d'élément commun, on l'appelle leur som^me, et on la représente par Ah-B. C'est revenir à l'addition disjonctive de Boolb, que les progrès de la Logistique ont fait abandonner pour

1. « Echter Teil » (Dedekino, Was sind und was sollen die ZaklcHf p. 2 et 3).