Vereinigungsmenge (Schônflies, toc. cit

l'addition conjonctive. Lorsqu'on veut spécifier le cas de l'addition disjonclive, ou écrit simplement la condition :

On est souvent amené à distinguer deux ensembles complémentaires l'un de l'autre, c'est-à-dire qui n'ont aucun élément commun, et dont la somme constitue un certain ensemble total U. Nous disons que de tels ensembles sont la négation l'un de l'autre, lorsque l'ensemble U est considéré comme Tunivers du discours. Dans le cas contraire, on a :

A/^B = A, AwB = U

On aurait en général :

U = ABwA-BwB-A mais, puisque kB = j^, il reste seulement :

U = A-BvB-A

On aurait de même :

c'est-à-dire que A et B sont pour ainsi dire la négation l'un de l'autre par rapport à (à l'intérieur de) l'ensemble U.

Enfin il arrive parfois qu'on ait à exprimer qu'un ensemble A est nul, c'est-à-dire ne contient aucun élément ; et alors on voit des mathématiciens rigoureux écrire tout bonnement :

ce qui est d'autaut plus incommode qu'ils ont d'autres fois à exprimer que l'ensemble A (non nul) se réduit au point (nombre) appelé 0, et qu'ils écrivent alors, pour éviter l'équivoque :

En résumé, cette première partie, la plus élémentaire, de la théorie des ensembles coïncide exactement avec la Logique

1. ScHôKFLiES, loc. Cit., p. 60 61 passim ; p. 98, et noie 3.

des classes. Néanmoins, les mathématiciens qui Tont traitée depuis 20 ans semblent ignorer que les concepts qu'ils défiaissent, et pour lesquels chacun d'eux invente des notations plus ou moins heureuses, ont été élaborés depuis 50 ans par des logiciens qui étaient (ou sont; pourtant aussi des mathématiciens (BooLE, ScDRôDER, Feano). Notrc expérience personnelle nous permet d'affirmer que, chez quelques-uns, et non des moindres, cette ignorance est réelle, et, qui pis est, Tolontaire. 11 est toujours fâcheux que deux classes de savants s'ignorent mutuellement et systématiquement; mais cela est encore bien plus regrettable, quand les uns et les autres s'occupent, non d'objets voisins ou connexes, mais des mêmes objets au fond.

Une autre partie de la théorie des ensembles consiste à étudier les ensembles au point de vue de leurs puissances et de leur équivalence. Deux ensembles ont même puissance^ par définition, lorsqu'ils sont équivalents, c'est-à-dire lorsqu'on peut établir entre tous leurs éléments une correspondance univoque et réciproque. C'est ce que nous exprimons en disant qu'il y a entre eux une relation biuniforme. Quant à la notion de puissance^ qui se trouve ainsi définie « par abstraction », elle n'est pas autre chose que la notion générale de nombre cardinal^ dont nous avons discuté les diverses définitions. Si Ton admet celle à laquelle nous nous sommes arrêté, on définira explicitement la puissance, ou mieux, le nombre cardinal d'un ensemble, en disant qu'elle est la classe des ensembles qui lui sont équivalents. Et, en effet, il est évident que deux ensembles équivalents possèdent le même nombre cardinal, en vertu de cette définition.

L^égalité des puissances se ramène ainsi, comme toujours, à l'identité. Quant à leur inégalité, sa définition donne lieu à des difficultés spéciales que nous n'avons pas à examiner ici. Bornons-nous à rappeler qu'un ensemble A a une puissance inférieure à celle de l'ensemble B, si A est équivalent à une partie intégrante de B, et si B n'est équivalent à aucune partie intégrante de A. Comme nous savons exprimer en termes logiques Véquivalence et la notion de partie intégrante^ nous

pouvons traduire en Logistique la définition précédente et en tirer toutes les conséquences logiques.

Ainsi la théorie des puissances d'ensembles n'est pas autre chose que la théorie des nombres cardinaux en général : c'est une Arithmétique générale, où Von définit la somme, le produit et la puissance ^ des nombres cardinaux, finis ou infinis, sans distinction. Voici ces définitions.

1' Si a et p sont les nombres cardinaux de deux ensembles A et B sans élément commun, leur somme (a+p) est le nombre cardinal de l'ensemble somme de A et de fi. Nous n'insistons pas sur cette définition : c'est exactement celle que nous avons énoncée ci-dessus, d'après M. Hussell, et dont nous avons donné la formule logistique.

^ Soient deux ensembles A et B. Si l'on associe chaque élément a de l'un à chaque élément b de l'autre, on forme un ensemble de couples (a,ô)'. Le nombre cardinal de cet ensemble est, par définition, le produit des nombres cardinaux a et p. Cette définition est également susceptible d'expression logistique : car un couple tel que (a, b) est en réalité une relation singulière, dont l'antécédent est un élément de A, et le conséquent un élément de B. Ces relations forment un ensemble, et par suite déterminent un nombre cardinal. C'est cet ensemble que M. Whltëhëad appelle classe multiplicative, dans la définition que nous avons indiquée précédemment (p. 53). Voici d'ailleurs comment on peut définir la classe multiplicative, non plus de deux ensembles, mais d'une classe k d'ensembles (en nombre fini ou infini) : Soit k une classe de classes exclusives et non nulles; considérons l'ensemble des relations uniformes B dont le domaine est k, et telles que ufix implique (pour toute classe u et pour tout individu x) que xeu^; la classe multiplicative des k est l'ensemble

1. Le fait qu'on est obligé de parler des puissances des nombres cardinaux infinis doit faire proscrire pour ceux-ci le nom de puissance. Cette équivoque n'existe pas en allemand {Potenz, Màcktigkeit).

2. Ensemble que M. Sghônflies appelle Verbindungsmenge des deux ensembles A et 8.

3. Autrement dit, R est une correspondance uniforme établie entre

des codomaines de ces relations R ^ On voit que cette déûnition peut être formulée uniquement au moyen de la Logique des relations.

3*" Considérons enfin deux ensembles A et B (de nombres cardinaux a et p), et Tensemble de toutes les lois suivant lesquelles on peut faire correspondre un A à chacun des B '. Le nombre cardinal de cet ensemble sera, par définition, la puissance p^ du nombre a, ou otP. Or qu*est'Ce qu*une loi en vertu de laquelle à chaque B correspond un A? C'est une relation uniforme entre tous les B et les A (en général, quelques A seulement). Le nombre de toutes les relations différentes de cette espèce est la puissance définie «^ Ici encore, on conçoit aisément que cette définition puisse s'exprimer par la Logique des relations, puisqu'il n'y entre que des propriétés que Ton sait formuler logistiquement.

Les trois définitions précédentes s'appliquent aussi bien aux nombres fmis qu'aux nombres inûnis. C'est donc toute l'Arithmétique qui repose par là sur la Combinatoire, c'est-à-dire en définitive sur la Logique des relations^.

Il y a une troisième partie de la théorie des ensembles où intervient l'idée d'ordre : c'est la théorie des ensembles ordonnés, des types d'ordre et des nombres ordinaux. Or nous savons que tout ordre est défini par une relation d'une certaine espèce. Deux ensembles ordonnés sont semblables^ lorsqu'il existe entre leurs éléments une correspondance univoque et réciproque telle que, si dans l'un l'élément a précède l'élément b dans l'autre l'élément correspondant à a précède l'élément

chaque classe k et un individu de cette classe : elle consiste à « extraire • un individu de chaque classe k.

1. C'est-à-dire l'ensemble des classes formées en « extrayant * un individu de chaque classe A; ou encore, des combinaisons obtenues en prenant un individu dans chaque classe k.

2. Cet ensemble est ce que M. Schônflies appelle Zuordnungsmenge ou Belegungsmenge des ensembles A et B.

3. Ces défînitions reposent sur un postulat qui nous a été signalé par M. RiTssELL, à savoir : Étant donnée une classe de classes exclusives non nulles, on peut extraire un élément de chacune d'eUes. Ce postulat est indispensable pour fonder l'Arithmétique; or on n'en connaît pas encore de démonstration valable. V. p. 53, note 3.

correspondant à 6, quels que soient a et 6 '. La relation de similitude (analogue à celle d* équivalence) se déOnit donc par une relation biuniforme; seulement, cette relation porte, non sur des classes, mais sur des relations. Et en effet, ce ne sont pas, à proprement parler, les ensembles qui sont semblables, mais leurs ordres : car le même ensemble peut être ordonné de différentes manières; il sera semblable à tel ensemble ordonné dans un certain ordre, mais non dans un autre. C'est donc entre les ordres^ c'est-à-dire en définitive entre les relations qui les définissent, qu'a lieu la relation de similitude.

De même que de la considération des ensembles équivalents naît par abstraction la notion de nombre cardinal (conçu comme classe d'ensembles équivalents), de la considération des ensembles semblables nait par abstraction la notion de type d'ordre (conçu comme classe de relations d'ordre semblables).

Parmi les ensembles ordonnés on distingue les ensembles bien ordonnés : ce sont ceux qui contiennent un premier élément, ainsi que chacun des ensembles partiels qu'on y peut déterminer. 11 en résulte que, dans un ensemble bien ordonné, chaque élément a un consécutif {un élément qui le suit immédiatement), à moins qu'il ne soit le dernier (lequel est unique). Les types d'ordre des ensembles bien ordonnés sont ce qu'on nomme les nombres ordinaux^. Ceux-ci sont aussi bien infinis que finis, suivant que le nombre cardinal correspondant est infini ou fini : car à chaque nombre ordinal correspond un nombre cardinal, puisque chaque ensemble a un nombre cardinal. Le premier des nombres ordinaux infinis est le type d'ordre de la suite naturelle des nombres, qu'on désigne par w.

Il arrive qu'on ait à considérer un type d'ordre inverse d'un autre, c'est-à-dire celui qu'on obtient en renversant la relation d'ordre entre deux éléments quelconques de l'ensemble (en permutant les mots précède et suit). Par exemple, oa considère le type d'ordre inverse de w, et on le désigne par * w. Or, du