Cf. Chapitre m, p

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 1^

3Sd NOTE 1

moment qu*on sait qu'un type d'ordre est une relation [ou une classe de relations), on reconnaît que le type d'ordre inverse est la relation converse, et dès lors il convient de le représenter par la même notation (par exemple, ^ta).

C'est à la théorie des ensembles ordonnés qu'appartiennent les concepts de suite fondamentale et de limite d'une telle suite. Par suite lui appartiennent aussi tous les concepts qu'on peut définir au moyen de ceux-là, comme ceux des ensembles fermés, denses en soi et parfaits ^ Ces notions sont donc indépendantes de toute considération géométrique ou métrique, et relèvent entièrement de la théorie de l'ordre. Et comme c'est par ces notions que l'on peut définir le continu, le concept de continu lui-même dépend uniquement de la théorie de l'ordre, c'est-à-dire eu définitive de la Logique des relations.

Une quatrième partie de la théorie des ensembles est la théorie des ensembles de points^ où l'on considère les éléments des ensembles étudiés comme des points situés dans un espace à une dimension (droite), à deux (plan), à trois ou même à n dimensions. Peu importe d'ailleurs que cet espace soit géométrique ou arithmétique, c'est-à-dire que les éléments soient conçus comme des points géométriques ou comme des nombres. L'essentiel est qu'ils sont « pris » dans un ensemble préexistant, et que celui-ci peut contenir d'autres éléments ou points « situés » entre ceux de l'ensemble considéré. Cette partie de la théorie des ensembles est la plus compliquée; néanmoins c'est celle qui est apparue la première et qui est la plus développée, parce que c'est celle qui se rapproche le plus du domaine des applications, c'est-à-dire de l'Analyse et de la Géométrie. Elle a pour objet, au fond, les ensembles relatifs^ d'autres ensembles, desquels ils sont pour ainsi dire extraits, ou dans lesquels ils sont situés et plongés. C'est dans cetta théorie qu'un ensemble peut avoir des points-limites qui ne loi appartiennent pas, et par suite un dérivé qu'il ne contient pa8 nécessairement. C'est à cette branche de la théorie del