CHAPITRE I

Comme toute théorie déductive, la Logique formelle repose sur un certain nombre de notions premières (qu'on ne définit pas] et de propositions premières (admises sans démonstration). L'idéal serait évidemment de réduire les principes et les notions premières au plus petit nombre possible; et c'est à quoi M. Russell s'est efforcé dans son ouvrage. Seulement, il a été ainsi conduit, pour ramener les formules et les déductions au maximum de simplicité formelle, à énoncer ses principes sous une forme qui paraît parfois artificielle et paradoxale, et qui n'offre pas toujours l'évidence que semblerait exiger le sens commun. Il faut sans doute renoncer à cette évidence, qui non seulement n'est pas une condition de rigueur logique, mais qui l'exclut plutôt. Combien de théorèmes d'Arithmétique et de Géométrie sont plus « évidents » que les axiomes sur lesquels on les fonde! Jamais les Mathématiques ne se seraient constituées comme sciences déductives, si l'on avait accepté toutes les propositions reconnues évidentes, et s'il ne s'était trouvé des esprits pointilleux pour démontrer des vérités de bon sens, comme « 2 et 2 font 4 ». Quand on cherche, suivant le précepte de Leibniz, à « démontrer les axiomes », il est iné-

i. Cf. notre article sur La Logique mathématique de M. Peano, ap. Revue de Métaphysique, t. VII, p. 616-646 (septembre 1899). Nous devons dire, toutefois, que nous ne souscririons plus à toutes les conclusions critiques de cet article.

vitable qu'on aboutisse à déduire des propositions évidentes de propositions qui le sont moins, et qu'on paraisse, par suite, justifier le clair par l'obscur, le certain par le douteux. Mais Tesscntiel est de déduire logiquement l'ensemble des vérités admises du plus petit nombre possible de principes; il faut donc faire bon marché de l'évidence, condition toute subjective, donc variable, et psychologique, donc étrangère à la Logique; d'ailleurs, les principes participent de l'évidence que le sens commun attribue à leurs conséquences.

Néanmoins, pour ne pas rebuter ou scandaliser le lecteur, nous nous écarterons çà et là de l'énoncé des principes de M. Russell *. On sait du reste qu'il est toujours possible de remplacer par d'autres les principes d'une théorie déduclive : il suffit souvent, pour cela, de changer le choix ou l'ordre des notions premières*. Des ensembles tout différents de principes peuvent donc engendrer le même système de conséquences. Dès lors l'essentiel, dans une théorie logique, est moins l'ensemble variable des principes que l'ensemble permanent des conséquences. Qu'il suffise au lecteur de savoir que les principes que nous substituerons, pour plus de clarté, à certains principes de M. Russell se déduisent formellement de ceux-ci, de sorte que, s'ils ne sont pas nécessaires, ils sont en tout cas suffisants pour fonder la Logique, et par suite la Mathématique pure'.

§ A. — Calcul des Propositions*.

La partie fondamentale de la Logique est le Calcul des propositions. En effet, si l'on voulait commencer par une autre