SUR LA NOTION DE GROUPE

On sait quelle importance la théorie des groupes a prise dans la Mathématique moderne, principalement grâce aux travaux de Sophus Lie : ses applications s'étendent à la fois à PArithmétique supérieure, à TAlgèbre, à l'Analyse, à la Géométrie et à la Mécanique. Il est donc intéressant de montrer le caractère logique de cette théorie, et comment on peut déûnir formellement le concept du groupe.

En gros, un groupe est un ensemble d'objets pour lesquels on a défini une combinaison telle, que le résultat de la combinaison de deux objets est un objet du groupe. Ces deux objets sont les données (ou les facteurs) de la combinaison ; le troisième objet est le résultat (ou le produit). Ces données et ce résultat ne sont pas du tout essentiellement des nombres ou des quantités; ce peuvent être, par exemple, des transformations analytiques ou géométriques. Le résultat de deux transformations de même espèce n'est pas nécessairement de la même espèce : par exemple, le résultat de deux symétries n'est pas une symétrie, mais une translation. Mais, quand des transformations forment un groupe^ le résultat de deux quelconques d'entre elles est de même espèce, puisqu'il appartient au groupe.

Voici maintenant comment on peut définir rigoureusement cette notion, par un système de postulats indépendants ^ On

1. HuNTiNOTON, Note on the définitions of abs tract groups and fields hy Kts of indépendant postulâtes, ap. Transactions of the American Mathe-

considère une classe K d'objets, et une opération binaire ou combinaison qu*on peut effectuer sur deux quelconques de ces objets, et dont le symbole sera o. On écrira :

aob = c

pour dire que le résultat de ta combinaison de a et de 6 (pris dans cet ordre) est c. Cela posé, on formule les six postulats suivants :

I. Si a et 6 sont des K, il y a un élément c de K tel qae ao 6 = c, et cet élément est déterminé d'une manière unique par a et 6.

En d^autres termes, l'opération aob est toujours possible et

Bnivoqne dans la classe K : elle a toujours un résultat, et no

seul. Si elle n^était pas univoque, on ne pourrait pas rigoureu*

sèment écrire :

aob = c

mais seulement :

« c est un des éléments qu'on obtient en combinant a et b, » On voit par là que le fameux axiome d'Ëuclide : « Egd ajoute à égal donne égal » n'est nullement une propriété de Tégalité, mais une propriété de l'addition, en tant qu'elle est univoque; et que, par suite, il n'est pas du tout, comme on le croit trop souvent, un axiome logique (analytique).