III. Il y a au moins un élément i de K pour lequel on a

Cet élément, qui, combiné avec lui-même, se reproduit, est ce que Benjamia Peirge^ appelait un « idempotent », c'est*à* dire un élément identique à toutes ses « puissances » (puisqu'il est identique à son « carré »).

ly. Il n'y a pas plus d'un élément i tel que Ton ait :

Gela veut dire que si Ton a à la fois :

xox = x yoy = yj

on a nécessairement :

Les deux postulats précédents se résument en une phrase : 11 y a un « idempotent », et un seul.

V. S'il y a un élément unique i tel que : ioi = i, ou bien ou a : %oa = a pour chaque élément a, ou bien on a : a o i = a pour chaque élément a.

Cela veut dire que l'élément i désigné dans les postulats III et IV (qui en affirment l'existence et l'unicité) est, ou bien nodule à gauche, ou bien module à droite. On appelle module d'une opération le terme « de nul effet » dans cette opération, c'est-à-dire qui, combiné avec un autre quelconque, reproduit cet autre. Or, tant qu'il n'est pas établi qu'une opération est commutativo, il faut distinguer le premier et le second « facteur », et par suite le module à gauche (comme premier facteur) du module à droite (comme second facteur).

VI. S'il y a un élément unique i tel que i o i = z, pour chaque élément a il y a, ou bien un élément a'd tel que a o a'a = i, ou bien un élément a'g tel que a'gOa = i,

Cela veut dire que chaque élément a de la classe K a un réciproque à droite ou uu réciproque à gauche. On appelle i^éci-

1. Linear Associative Algebra, mémoire posthume datant de 1870, ap. American Journal of Mathematics, i, IV, p. 97-229 (1881)

proque d'un terme un terme qui, combiné avec lui, donne pour résultat le module. Et, pour la raison indiquée plus haut, il faut distinguer le réciproque à droite du réciproque à gauche. Nous venons *de dire « le module » sans spécifier si c'est le module à droite ou le module à gauche. 11 est sous-entendu que c*est celui des deux qui doit exister, en vertu du postulat Y. D'ailleurs, la distinction est oiseuse, car on peut démontrer, au moyen de ces six postulats, que l'élément t est aussi bien module à droite que module à gauche, ou, plus exactement, que, pour tout élément a, on a à la fois :

On peut donc appeler i purement et simplement le module.

Mais de ces six postulats il ne résulte nullement que Topération o soit commutative en général (bien qu'on ait, pour le cas particulier du facteur î, ai = ia). Aussi faut-il leur ajouter un 7* postulat pour défînir un groupe abélien (c'est-à-dire commutatif), à savoir la loi commutative elle-même :