Vaihinoer, I

3. « Les problèmes sont des propositions démontrables et qui ont besoin d'une démonstration. » Kant, Logique, § 38.

4. De même Kant dit d'un jugement analytique : « Que tous les corps

a de plus étonnant, c'est qu'un problème que Tentendement pose (puisque Kant parle du concept de la somme 7-1-5) ne puisse être résolu que par lintuilion. En réalité, il y a vraiment un problème» si « 7-1-5 » n'est qu'un assemblage de mots prononcés ou de signes écrits, qui sert de véhicule à ridée entre deux esprits (par exemple de Tesprit du maître à celui de Télève qu'il interroge); mais si l'on pense réellement le sens de ces mots ou de ces signes, il n'y a plus de problème, ou plutôt la position du problème en est la solution, car le même esprit qui pense 7 -f- 5 pense en môme temps 12. Encore UDe fois, cette égalité mathématique ne représente nullement une opération pénible ou compliquée, mais une identité absolue. La synthèse ne s'effectue pas dans le passage du l**' au 2* membre (figuré parle signes), mais dans la formation du 1" (figurée par le signe -f-). Or il ne s'agit pas de savoir comment nous avons formé le sujet, mais si ce sujet, supposé formé et donné, contient le prédicat.

Au fond, dans la phrase que nous discutons, Kant joue sur les mots de réunion et d'addition. Il paraît vouloir dire que, pour obtenir le nombre 12, il ne suffit pas de réunir par la pensée les deux nombres 7 et 5, comme on réunit deux concepts partiels [animal et raisonnable par exemple, pour en composer ua concept total, homme): il faut les additionner, et celte opération, selon lui, ne peut s'effectuer que dans et par l'intuition. La distinction est juste, mais elle se retourne contre Kant. En efl'et, le sujet n'est pas « 7 et 5 », mais « 7-t-5 », ce qui signifie que pour le former il ne suffit pas de réunir les deux nombres, mais qu'il faut les additionner, et c'est ce qu'indique expressément le signe -h. Si Kant refuse de les additionner, et se contente de les réunir, il n'a plus le droit de parler du concept de somme, même à titre problématique. En résumé, il reproche à l'addition arithmétique de n'être pas la multiplication logique, comme s'il ne pouvait y avoir qu'un seul mode de combinaison des concepts,

soient étendus, cela est nécessairement et éternellement vrai, qu'ils existent ou non... • Entdeckung (Rosenkranz, I, 463).

et il se croit autorisé par là à substituer celle-ci à celle-là; il ne fait que dénaturer le problème, si problème il y a. De même que les concepts de nombres ne se laissent pas définir per genus et differentiam^ ni décomposer en facteurs logiques, ils ne se laissent pas non plus combiner par le procédé de la multiplication logique. Cela ne prouve qu'une chose : l'étroilesse et l'insuffisance de la Logique classique.

Mais il ne faudrait pas en conclure que Taddition arithmétique échappe aux prises de la vraie Logique, car elle peut et doit se définir au moyen de l'addition logique ^ Soit a une collection de 7 objets et b une collection de 5 objets; on suppose que ces deux collections n'aient aucun élément commun. La somme de 7 et de 5 est le nombre de la collection formée en réunissant ces deux collections, c'est-à-dire de la somme logique de a et de b. Lorsque Kant prétend qu'il faut « sortir » des concepts de 7 et de 5 pour trouver 12, il veut dire simplement ceci, que celte somme s'obtient, non en combinant directement les deux nombres, mais en additionnant des classes qui y correspondent; autrement dit, non par une multiplicalion logiqus, mais par une addition logique^. Mais il ne faut pas dire qu'on « sort » parla du concept 7-1-5, car c'est précisément là ce qu'il signifie : on ne fait que le réaliser dans l'esprit.

On nous objectera peut-être que, par le fait même qu'on substitue aux concepts de nombres les classes correspondantes, on passe du domaine de la pensée dans celui de l'intuition : on représente les nombres par des classes ou collections d'objets: cela ne donne-t-il pas raison à Kant, en montrant que l'addition est une opération Imaginative, et non intellectuelle? A cela nous répondrons : Encore une fois, un nombre

i. Voir chap ii, p. 52.

2. C'est la remarque déjà faite par Leibmz, quand il disait : a-\-a=za au point de vue logique, c'est-à-dire quand le signe + désigne l'addition (ou plutôt la multiplication) logique; a + a = 2a au point de vue mathématique, c'est-à-dire quand le signe + désigne l'addition arithmétique; parce qu'ici les deux a ne représentent pas le même nombre, mais deux collections distinctes ayant le même nombre. Cf. p. 53, note 1.

n'est pas autre chose que le concept d'une collection; demander que Ton conçoive le nombre sans penser une collection, c'est demander l'impossible ^ D'autre part, c'est une loi psychologique (]ue tout concept, même le plus abstrait et le plus a pur », a besoin de s'appuyer sur quelque image; il est donc naturel et nécessaire que nos raisonnements sur les nombres s'accompagnent d'images plus ou moins vagues. Mais la question épistémologiquCy absolument indépiindante de ces circonstances psychologiques, est celle-ci : Quel est le fondement logique des vérités arithmétiques? Est-ce le concept, ou est-ce l'intuition? Lorsque Kant considère comme analytiques des jugements comme ceux-ci : « L'or est jaune », ou « Tout corps est étendu a, il ne prétend pas que, en formulant ces jugements, nous bannissions toute image sensible : car ce serait encore plus difficile que pour les vérités arithmétiques. Il n'exige pas que nous pensions Tor sans imaginer sa couleur, ni les corps sans imaginer leur étendue (puisque, selon sa propre doctrine, nous ne pouvons jamais nous débarrasser de l'intuition de l'espace); et pourtant il ne soutient pas que les susdits jugements soient entachés d'intuition, et par suite synthétiques. Pourquoi? C'est que, quelle qu'en soit l'origine psychologique, et quelles que soient les images dont ils s'accompagnent inévitablement, les concepts d'or et de corps comprennent actuellement, par définition, les concepts de jaune et d'élendu^. Eh bien, de même, le concept, non pas de tt 7 et 5 », mais de « 7 + 5 », de quelque manière qu'on l'ait formé, contient actuellement et par définition le concept de 12, bien mieux, il lui est identique.

1. Massonius (Ueber KanVs transscendentale Aesthetik^ Eine kritische Untersuchung... In.-Dissertatioo, Leipzig, 1890) a soutenu une thèse analogue (§ 1) : les jugements mathématiques sont analytiques, parce que rintuition est contenue dans les concepts; car ces concepts ne seraient rien sans rintuition.

2. Cf. Prolégomènes, § 2 b : « Toutes les propositions analytiques sont des jugements a priori, alors même que leurs concepts sont empiriques. » (exemple : Tor est un métal jaune). Cela prouve bien que le caractère logique du jugement ne dépend nullement de Torigine du concept, qui est toujours le produit d'une synthèse (empirique ou a priori).

Ce raisonnement trouve dans les explications ultérieures de Kant une précieuse confirmation. Il reconnaît en effet luimême, un peu plus loin, que la mathématique emploie quelques principes analytiques (quand ce ne serait que le principe d'identité : a=ia), et il déclare que, « bien qu'ils soient valables d'après les seuls concepts, ils ne sont admis dans la mathématique que parce qu'ils peuvent être représentés dans l'intuition » (B. 17). Mais, inversement, de ce que des propositions sont représentées dans l'intuition (même nécessairement), elles ne sont pas pour cela synthétiques, et peuvent « être valables d'après les seuls concepts* ». Au surplus, on pourrait rema^rquer que Kant choisit assez malencontreusement son exemple de principe analytique : « Le tout est plus grand que la partie », qu'il formule : « an- 6 > a ». En effet, cette proposition n'est même pas un principe ou un axiome, car elle n'est vraie que pour certaines espèces de grandeurs, et non pour toutes. C'est un simple théorème que l'on démontre dans chaque cas, moyennant la définition des signes -h et > (à moins qu'on ne prenne cette formule pour définition du signe >). Par exemple, ce théorème est vrai pour les nombres finis, mais il n'est plus vrai pour les nombres cardinaux infinis*. Sans doute, on ne peut reprocher à Kant d'avoir ignoré ces vérités, si élémentaires qu'elles soient aujourd'hui. Mais on se demande, néanmoins, comment il a pu, en vertu de ses propres principes, admettre qu'une telle proposition est analytique. En efl^et, si l'on considère le premier membre, il contient le signe d'addition, il est une somme, tout comme 7 -f-5, et si celle-ci est fondée sur l'intuition, celle-là doit l'être aussi : si l'on ne sait pas (analytiquement) que 7-1-5, c'est

1. Il ne faut pas se laisser induire en erreur par la phrase suivante (« Was uns hier gemeiniglich glauben macht,... ••)car, comme Ta bien montré Vaihinger (I, 303), eUe se rapporte, par une anacoluthe assez étrange, au paragraphe antérieur, où il est question des jugements synthétiques, U ne faut pas en conclure que Kant déclare synthétiques ces mêmes principes qu'il vient de déclarer analytiques.

2. L'un et l'autre ont été formellement démontrés par M. Whitehead, On cardinal numbers, sect. III, ap. American Journal of Mathematics^ t. XXIV (1902).

le nombre 12, on ne peut pas savoir non plus quelle est la somme de a et de ^, ni par suite si elle est plus grande que a. D'autre part, si Ton considère la copule (le signe >), il est facile de se rendre compte que la vérité de cette proposition dépend essentiellement du sens ou de la définition de celte copule. Quel que soit ce sens, il a toutes chances d'être moins analytique que celui de la copule = (qui, nous Tavons vu, signifie l'identité); il serait aisé à un Kantien de soutenir que la relation plus grand que repose sur l'intuition. Kant n'a pu croire un instant que le prédicat (a) « est contenu » (au sens logique) dans le sujet (a-h ô); car, d'une part, ce sujet n'est pas un produit logique, mais une somme mathématique, et d'autre part la copule du jugement n'est pas le verbe être^ ce n'est donc pas un jugement de prédication, comme semble l'exiger la définition des jugements analytiques ^ Il n'a pas pu davantage se faire cette illusion, que le jugement en question repose sur le principe de contradiction, car qu'est-ce qu'il y a de contradictoire à poser : «a-f-ô = a » ou «a-h6<a)), à moins qu'on ne fasse intervenir l'intuition, c'est-à-dire une espèce particulière de grandeurs et une opération particulière figurée par -h, auquel cas il peut bien y avoir une contradiction, non pas dans notre jugement, niais entre notre jugement et l'intuition? Bref, de quelque façon qu'on examine cette proposition, on ne découvre aucune raison de la considérer comme analytique qui ne vaille a fortiori pour « 7-4-5 = 12 », et Ton ne trouve non plus aucune raison de considérer « 7-4-5 = 12 » comme synthétique qui ne vaille a fortiori pour « a -h 6 > a ». Que faut-il en conclure, sinon que la distinction des jugements analytiques et synthétiques était

1. Wilibald Reichardt {Kant* s Lehre von den synthelischen Urtheilen a priori in ihrer Bedeutung fur die Mathemalik, a p. Philosophische Studien, t. IV, 1883), en raisonnant suivant la méthode kantienne, aboutit à cette conclusion, que le jugement a-|-6>a est synthétique, parce que le sujet {a -\- b) ne contient pas le prédicat * > a • ! On voit quel est l'inconvénient d'appliquer aux jugements mathématiques une théorie logique qui ne leur convient pas, et de les traiter comme des jugements de prédication. Cf. ce que nous avons dit plus haut au sujet de Pommer (p. 258, note 1).

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singulièrement vague et flottante dans lesprit même de son auteur*?

Au surplus, elle Ta parfois induit en des erreurs flagrantes. Par exemple, il considère comme un jugement analytique ce principe : « Égal ajouté (ou retranché) à égal donne égal », parce qu'on y a immédiatement conscience de Tidenlité des deux grandeurs comparées (B. 204). Or c'est là une erreur, car ce jugement, loin de reposer sur le principe d'identité, énonce une propriété de Taddilion (ou de la soustraction), à savoir que cette opération est uniforme. C'est donc là un axiome, qui est vrai pour certaines opérations et faux pour d'autres ^. Par exemple, l'extraction des racines n'étant pas une opération uniforme, on ne peut pas écrire : VÏ = v^4, bien que cette égalité ait toutes les apparences de l'identité, et que, selon les mots mêmes de Kant, on ait immédiatement conscience d'une identité dans la génération de la grandeur : car y^ peut être aussi bien -h 2 que — 2, de sorte que l'égalité considérée pourrait conduire à l'égalité absurde : -+-2 = — 2.

Le schématisme.

Il ne reste plus qu'un seul argument en faveur de la nature synthétique des vérités arithmétiques : c'est la conception du nombre, telle qu'elle résulte de la théorie du schématisme. On sait que, selon Kant, le nombre, schème de la grandeur, « est une représentation qui embrasse l'addition successive d'une unité à une autre (de même espèce) »; et, par suite, « le nombre n'est pas autre chose que l'unité de la synthèse de la multiplicité d'une intuition homogène en général, par le fait qu'on engendre le temps lui-même dans l'appréhension de

1. L'exemple le plus frappant des variations de la pensée de Kant dans rappllcalion de sa distinction fondamentale des jugements analytiques et synthétiques est le principe de l'unité nécessaire de Taperceplion, qu'il considère comme synthétique dans la 1'° édition de la Critique (A. 117, note) et comme analytique dans la 2° (B. 135, 138). V. Koppblmann, art. cit., § V.