LES DÉMONSTRATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les DÉMONSTRATIONS GÉOMÉTRIQUES.

Enfin, pour prouver que les démonstrations géométriques reposent sur l'intuition, Kant considère le théorème connu : « La somme des 3 angles d*un triangle est égale à 2 droits » \ et il constate que pour le démontrer on a recours à une construction; celle-ci a pour but do produire 3 angles qui soient, d'une part, égaux aux 3 angles du Iriangle, et dont, d'autre part, la somme soit intuitivement égale à 2 droits (B. 744).

Il semble donc que, selon Kant, on ne puisse pas démontrer un théorème de Géométrie sans construire une figure et mener des lignes auxiliaires, et que toute construction implique nécessairement un appel à Tintuition. Or ni l'une ni Tautre de ces propositions n'est justifiée. Pour commencer par la seconde, une démonstration géométrique n'est valable que si elle ne repose pas sur un appel à l'intuition : tout le monde sait qu'il ne faut jamais invoquer les propriétés apparentes de la figure, et que l'on peut commettre ainsi des sophismes dont quelques-uns sont classiques*. Il en est de même des constructions auxiliaires : on ne doit pas mener une ligne, fixer un point et invoquer ensuite leur position, sans démontrer que ces éléments existent, et sont bien situés là où on les a figurés ^. D'ailleurs, quand on parle de construire telle ou telle figure, c'est là une façon de parler anthropomorphique, une métaphore empruntée à la pratique : les figures que l'on trace, c'est-à-dire que Ton réalise empiriquement, existent déjà idéalement, en tant qu'elles sont prédéterminées par les données de la question. Quand on dit : « Joignons les deux points A et B », cela signifie

1. Théorème qui, par un contraste piquant, était couramment cité par les rationalistes (Descartes, Spinoza) comme le type de la certitude logique.

2. Voir des exemples de ces sophismes dans Rocse Ball, Récréations et problèmes mathématiques y trad. Fitz-Patrick, p. 61 sqq. (Paris, llermann, 4898).

3. Voir par exemple la démonstration de ce théorème : » Dans tout triangle un angle externe est plus grand que chacun des angles internes non adjacents », dans Enriques et Amaldi, Elementi di Geometria, p. 61 (Bologna, 1903)

en réalité : « Les deux points À et B déterminent une droite, en vertu de la définition même de la droite. » Quand on dit : « Prolongeons la droite AB », c'est là un accident empirique de la figure tracée matériellement, car la droite AB est essentiellement infinie. De même enfin, quand, 2 droites orthogonales étant données, on parle de mener par Tune d'elles un plan perpendiculaire à Tautre, on ne fait que réaliser ce qui était impliqué dans Thypothëse : car 2 droites sont orthogonales, par définition, lorsque Tune d'elles est contenue dans un plan perpendiculaire à l'autre (on démontre que cette propriété est réciproque); par conséquent, le plan en question existait déjà, par définition. Il en est de même partout : on ne peut construire (utilement et valablement) aucune figure qui ne soit déjà déterminée par les données ou les définitions. On ne fait que réaliser empiriquement des éléments préformés de la figure idéale; et comme c'est sur celle-ci qu'on raisonne, on ne lui ajoute rien à proprement parler; on ne construit, on ne crée aucun élément, on le rend seulement sensible à mesure qu'on en a besoin. C'est comme si l'on repassait à l'encre un dessin esquissé en traits presque invisibles au crayon. Aussi, tout ce qu'on dit être vrai « par construction » peut être dit vrai « par hypothèse » ou « par définition* ».

Ainsi, lors même que les constructions seraient indispensables, elles n'impliqueraient pas un appel à Tintuition. Mais elles ne sont pas si indispensables qu'on le croit, d'après les « éléments » de la Géométrie synthétique. On a depuis longtemps critiqué le caractère artificiel des démonstrations d'Euclide*, parce qu'elles s'appuient sur des constructions parfois

1. Comme nous l'avons remarqué (p. 144, et 160, note 1) les postulats et théorèmes existentiels servent précisément à garantir Texislence de certaines entités déterminées par certaines autres. Cf. ce que nous avons dit des définitions génétiques (p. 192, note 2).

2. On sait qu'ARNAULo, dans la Logique de Port-Royal (IV, vm), soumet la « méthode des Géomètres » (c'est-à-dire celle d'Euclide) à une critique sévère. On sait moins qu'il a composé des Nouveaux Éléments de Géométrie (1667) où il s'est efTorcé de remédier aux défauts de cette méthode, et notamment de concilier l'enchaînement logique des propositions avec leur ordre naturel. Cf. Karl Bopp, Antoine Amauld als Mathematiker, ap. Abhandlungen zur Geschichte der math. Wiss,, t. XIV.

LES DÉMONSTRATIONS GEOMETRIQUES 285

compliquées et en apparence arbitraires, sur un échafaudage de lignes auxiliaires, qui sortent de la figure donnée et y ajoutent des éléments tout à fait étrangers; il semble alors que Ton ne puisse passer de Thypolbèse à la conclusion que par de longs circuits et par des efforts d'imagination; de telles démonstrations sont parfois si détournées qu'elles paraissent en effet être, non pas des raisonnements réguliers et suivis, mais des tours de passe-passe ^ Mais on peut généralement leur substituer des démonstrations beaucoup plus simples et plus directes, fondées sur les propriétés intrinsèques de la figure donnée, et qui le plus souvent n'exigent pas le tracé d'une seule ligne auxiliaire. Pour opposer exemple à exemple, nous croyons devoir citer ici une démonstration de ce genre. Nous l'empruntons à un ouvrage d'enseignement élémentaire, conçu en dehors de tout esprit de système, et inspiré uniquement par le souci de la rigueur logique en même temps que de Tordre et de la clarté pédagogiques ^.

€ Quand deux plans sont perpendiculaires^ toute perpendicu^ laire à leur intersection dans l'un est perpendiculaire à l'autre,

« Car cette droite peut être considérée comme l'interseclion du premier plan par un troisième qui serait perpendiculaire sur l'intersection des proposés (95), par suite perpendiculaire sur le second (107, iil). »

Cette démonstration, rédigée en une phrase, ne fait appel à aucun fait d'intuition : elle n'est accompagnée d'aucune figure, et, comme on voit, elle ne demande aucune construction. Elle se réfère simplement à trois propositions antérieures qu'elle se borne à rapprocher et à combiner. Pour la comprendre, il est nécessaire de connaître ces propositions :

« 95. Par un point d'un plan contenant une droite, on ne peut mener qu'une perpendiculaire à cette droite : et cette perpendiculaire est l'intersection du plan donné et du plan per-

i.TeUeestpar exemple la démonstration classique du Ihéorème de Pythagore, qui ressemble à un jeu de patience ou à un casse-tôte chinois.

2. Ch. Méray, Nouveaux Éléments de Géométrie^ n" 113 (Dijon, Jobard, 1908).

286 LA PHILOSOPHIE DES BiATHEMATIQUES DE KANT

pendiculaire à la droite donnée passant par le point donné.

107. Deux plans sont perpendiculaires quand Tun d'eux contient une droite perpendiculaire à Tautre.

« 111. Quand deux plans qui se coupent sont perpendiculaires à un même troisième, leur intersection lui est perpendiculaire. »

Revenons à la démonstration pour l'analyser et la développer. Khypothèse comprend : deux plans perpendiculaires, soient P et Q; leur intersection, soit la droite D; et la droite E perpendiculaire à D dans P. La droite E est (en vertu de 95) rintersection du plan P par un plan R perpendiculaire à la droite D. Mais (en vertu de 107) le plan R, perpendiculaire à une droite D du plan Q, est perpendiculaire à Q. Les deux plans P et R sont perpendiculaires à Q, donc (en vertu de 111) leur intersection E est perpendiculaire à Q; c. q. f. d.

Nous nous abstenons à dessein de faire une figure, car elle est absolument inutile. On n'a pas besoin de voir les plans P, Q, R, et les droites D, Ë; il suffit de savoir quelles sont leurs relations, et de leur appliquer pour ainsi dire automatiquement les trois propositions 95, 107 et Hl. Cest une démonstration verbale, c'est-à-dire formelle. On pourrait dépouiller de toute signification géométrique les entités D, E, P, Q, R, ainsi que les relations de perpendicularité et d'appartenance qui les unissent; le raisonnement serait le même, et il serait tout aussi valable, du moment que les trois propositions 95, 107 et 111 sont supposées vraies ^ Cet exemple

1. On peut le prouver en représentant celte démonstration sous une forme symbolique (très grossière). Désignons pars la relation d'une droite à un plan où elle est contenue, et par x '& relation de perpendicularité (soit entre 2 droites, soit entre 2 plans, soit entre une droite et un plan). Les hypothèses sont :

(1) P j. Q (2) D e P (3) D 6 Q (4) E e P (5) E x D. La proposition 95 se traduit par l'implication :

D e P. E e P. E X D. 0. E e R. R X D La proposition 107 se traduit par 1 implication :

R X D. D e Q. o. R X Q La proposition 111 se traduit par l'implication :

On remarquera que, selon les règles de la méthode mathématique.

ROLE DE L*iNTUIT10N EN GÉOMÉTRIE 287

montre qu'une démonstration géométrique peut (et doil) être une déduction purement logique. Il convient d'ajouter que le théorème en question n'est nullement un corollaire (c'est-àdire une conséquence immédiate d'un autre), et que la démonstration que nous venons de citer n'est pas une exception : la plupart des démonstrations contenues dans le même ouvrage ont le même caractère, et n'ont pas davantage recours à la figure ni à la construction.

Rôle de l'intuition en Géométrie.

Quant à cette assertion répétée de Kant, que la mathématique considère toujours le général dans le particulier, et même dans le singulier et le concret, elle n'est pas justiHée. Même dans la Géométrie synthétique, à laquelle elle paraît s'appliquer, si l'on trace une figure pour démontrer un théorème, ou ne raisonne jamais sur les propriétés particulières de la figure, mais seulement sur ses propriétés générales, qui lui sont communes avec toutes les figures de même genre, visées- par le théorème ^ On n'invoque jamais, dans la démonstration, les propriétés intuitives de la figure particulière que l'on considère, mais seulement les propriétés qui résultent de sa définition ou de sa construction, c'est-à-dire des hypothèses du théorème. Kant dit que la mathématique représente « le général in concreto (dans l'intuition singulière).... par où tout faux pas

toutes les hypothèses ont été utilisées. Représentons-les en cfTet par leurs numéros et numérotons leurs conséquences; la l'* implication est :

La 2* est : (7). (3). o. (8) (B)

La 3* est : (i). (8). o : (4). (6). o. (9) (C)

Ainsi (2), (4) et (5) sont invoquées dans A, (3) dans B, et (1) dans C. De mèoie, les conséquences intermédiaires ont été employées : (6) dans C; 0)dans B; (8) dans C. La conséquence (9) est la thèse à démontrer.

1. Les empirîstes prétendent que la Géométrie ne démontre jamais ses théorèmes que sur des cas particuliers, et qu'on devrait ajouter à chaque théorème celte mention : « La même démonstration pourrait se répéter de toute autre figure analogue. » Mais si c'est la même démonstration, il est inutile de la répéter : et, d'ailleurs, elle ne peut être la même que si elle porte sur la même figure idéale et générale.

devient visible » (B. 763). Il y a là une équivoque. S'il s'agit de la méthode de TAlgèbre, il a raison de dire que les signes sensibles préservent de Terreur, comme Leibniz l'avait déjà remarqué. Mais s'il s'agit de la méthode géométrique, les figures ne peuvent, tout au contraire, qu'induire en erreur; car la prétendue « évidence » intuitive peut dissimuler une faute de raisonnement ou un postulat. Gela prouve, en passant, qu'il n'y a aucune analogie entre ces deux sortes d'intuition. Ainsi l'intuition géométrique n'est pas, tant s'en faut, une garantie de vérité ou du moins de rigueur logique. On peut raisonner juste sur une figure inexacte ou même fausse; on peut mal raisonner sur une figure bien construite, car on peut invoquer une propriété vraie, mais empirique^ qui ne résulte pas des définitions ou des hypothèses. Qu'est-ce à dire, sinon que rinluilion ne doit avoir aucune part réelle dans les raisonnements géométriques, et que ceux-ci, pour être rigoureux, doivent être purement logiques? Un appel à l'intuition (cette intuition fût-elle a /^^ non) ne se distingue pas, en bonne méthode, d'une constatation empirique, et n'a pas plus de valeur. On peut déterminer le nombre ic en mesurant le contour d'un cercle matériel; Archimède, dit-on, a trouvé la quadrature de la parabole en pesant des lames taillées suivant cette courbe; ce sont là des procédés évidemment étrangers à la méthode mathématique, mais ils ne le sont pas plus que ne le serait un appel à l'intuition*.

Dira-t-on que les raisonnements géométriques portent, non

i. Nous avons déjà fait valoir contre Kant certains arguments que Ton emploie d'ordinaire contre les empiristes. C'est qu'en effet il n'y a pas de différence essentielle entre la thèse qui fait reposer les vérités géométriques sur l'intuition empirique et celle qui les fait reposer sur une intuition a priori. C'est toujours l'intuition qu'on invoque, c'est-à-dire la représentation singulière d'une figure unique et parfaitement déterminée. Kant lui-même nous autorise à assimiler les deux sortes d'intuition, quand il dit : « Je construis un triangle, en représentant l'objet correspondant à ce concept, soil parla ^eule imagination dans l'intuition pure, soit d'après celle-ci (l'imagination) sur le papier dans l'intuition empirique, mais les deux fois entièrement a priori^ sans en avoir emprunté le modèle à une expérience quelconque » (B. 741). Nous avons donc le droit d'assimiler le triangle représenté dans l'imagination au triangle tracé sur le papier. (Cf. B. 65.)