ROLE DE L'INTUITION EN GÉOMÉTRIE

sur des images, mais sur des schëmes? Gela résoudrait la difficulté, car, tandis que les images sont particulières, les schèmes sont généraux comme le concept lui-même; Kant dit que nos « concepts sensibles purs » (c'est-à-dire les concepts géométriques) reposent, non sur des images, mais sur des schèmes, parce qu'aucune image ne peut être adéquate au concept de triangle ni atteindre à sa généralité (B. 180). Mais, d'abord, celle théorie paraît difficile à concilier avec l'assertion répélée que la mathématique construit ses concepts in concreto (B. 743), qu'elle considère le général dans le singulier (B. 742). Cependant on lit au même endroit : « La figul*e singulière qu'on a dessinée est empirique, et cependant elle sert à exprimer le concept malgré sa généralité, parce que dans cette intuition empirique on ne regarde jamais que Tacte de la construction du concept, auquel sont tout à fait indifférentes bien des déterminations, comme la grandeur des côtés et des angles, et par suite on fait abstraction de ces diversités, qui ne changent pas le concept du triangle » (B. 742). Ce passage prouve que Kant a vu la difficulté, mais non qu'il l'ait résolue*. Car de deux choses Tune : ou bien l'on raisonne sur la figure singulière (dans l'intuition aprloriou empirique, peu importe), et alors le raisonnement manque complètement de généralité; ou bien on raisonne sur le schème général dont cette figure n'est qu'une

1. De même on peut trouver des passages où il semble reconnaître que l'entendement est la source des vérités géométriques, ou du moins que l'unité synthétique de l'espace est d'ordre intellectuel (B. 160, noie; cf. Prolégomènes^ § 38). Mais on ne voit pas comment cette concession à Tintellectualisme est compatible avec sa thèse constante, que lesjugemenls synthétiques a priori ne sont possibles qu'en tant que fondés sur une intuition. Cette concession même vient de ce que, selon Kant, la gcon élrie considère l'espace géométrique, non comme une simple forme de i'iutuition, mais comme un objet (B. 160, note); mais elle parait contredite par un autre passage : « L'espace est simplement la forme de riotuition externe (intuition formelle), mais non un objet réel, qui peut être perçu extérieurement » (B. 457, note). Toutes ces inconséquences proviennent de la confusion perpétuelle (fort bien mise en lumière par M. VaifliNGKR) entre la forme de l'intuition et l'intuition pure (B. 160). Il n'y a en eiïet aucune raison pour que la [forme de l'intuition soit elle-même une intuition. On pourrait peut-être résoudre par là les difficultés de la doctrine kantienne : l'espace et le temps seraient des formes d'intuition, mais des formes intellectuelles, et non sensibles.

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 19

image, et alors on ne peut plus dire que la mathématique ne considère le général que dans le particulier et le concret. On ne peut même plus dire qu'elle le considère dans Tintuition, car un schème est un procédé général, une règle de construction, et non une construction toute faite, qui serait, de Taveu de Kant, « un objet singulier » (B. 741); et alors nous ne voyons pas en quoi il se distingue du concept, dont il partage la généralité et TindifTérence à l'égard des déterminations particulières sans lesquelles il n'y a pas d'intuition *. C'est le concept lui-même qui constitue cette règle générale de construction, étant donné surtout que les coàcepts géométriques ne sont jamais définis per genus et differentiam, mais le plus souvent per generationem. Tout produit de l'imagination est particulier, et Ton ne peut imaginer un triangle sans lui assigner une forme déterminée. Si le schème est général, il ne peut être un produit de l'imagination. Le schème est donc un intermédiaire au moins inutile entre le concept et l'image.

Dans tous les cas, si l'intuition intervient, à titre de simple auxiliaire, dans la Géométrie synthétique, elle n'intervient presque plus dans la Géométrie analytique, encore moins dans la Géométrie projective et les divers Calculs géométriques. En Géométrie analytique, on raisonne au moyen d'équations générales qui représentent indifféremment toutes les figures d'une même espèce, et si l'on a recours à l'intuition pour établir ces équations, on s'en passe complètement pour toutes les déductions qu'on en tire. En Géométrie projective, on raisonne directement sur les figures, mais en les concevant dans toute leur généralité, et en faisant abstraction de toutes leurs particularités intuitives; par exemple, on raisonnera sur la conique en général, sans avoir à spécifier l'ellipse, la parabole et l'hyperbole, et même sans pouvoir les distinguer. De même, on ne distinguera pas des droites ou des plans parallèles de droites

i. Rappelons la définition kantienne de l'intuition : c'est le mode de connaissance qui se rapporte immédiatement aux objets, et par lequel ils nous sont donnés individuellement. Cf. Logik, § ! : « Die Anschauung^ ist eine einzelne Vorstellung [i^epraesentatio singularis)^ der BegrilT eîne allgemeine.,, odcr refleclirle Vorstellung... »