CALCUL BES RELATIONS

Les relations peuvent se classer d'après les propriétés dont elles jouissent par rapport aux opérations ci-dessus définies. Une relation R est dite symélriq<te, si xRy entraine toujours et nécessairement yHx, c'est-à-dire si elle est identique à sa converse (car xjly entraine formellement y^Rx). Elle est dite non-symétrique dans le cas contraire, et asymétrique, si jamais on n'a à la fois xRy et yRx (quels que soient x et y).

Une relation R est dite transitive, si xRy et i/fls entraînent toujours et nécessairement xRî, c'est-à-dire si le produit relatif de cette relation par elle-même est identique à cette relation. Elle est dite non-transilive dans le cas contraire, et intransitive si xRy et yRz excluent xRz (c'est-à-dire si ces trois relations ne coexistent jamais ').

Pour illustrer ces définitions par des exemples, l'égalité (mathématique ou logique) est une relation symétrique {a=:ô . . è = a) et transitive {a=b . à^c . o . a=c); les relations plus grand que, plus petit que sont asj'mélriques et transitives; la relation d'implication (o) est non symétrique {a o ù n'en- Iraînc ni n'exclut 6 o «) et transitive (en vertu du principe du syllogisme : ao b . ii o c. o . a o c); enfin la relation à'appartenance à une classe (s) est asymétrique et non transitive, comme nous l'avons vu.

Une relation est uniforme, quand à chaque anlécêdenl correspond un conséquent, et un seul. Sa converse est uniforme, quand à chaque conséquent correspond un antécédent, et un seul. Nous dirons alors que la relation primitive est couniforme. Enfin elle est doublement uniforme {biuni forme), quand elle est uniforme ainsi que sa converse. Ces trois cas sont désignés en anglais par les épithètes claires et commodes ; many-one, one-many, one-one, qui signifient respectivement que la correspondance a lieu entre plusieurs antécédents et un conséquent*,

considérée par Peirce et Schrôder, qui n'a aucune utilité logique ou philosophique, et qui sert seulemeut de contre-partie à la multiplication au point de vue de la • dualité •. C'est une fausse fenêlro pour la symétrie.

). BossELL, op. cit., p. 218.

2. Car le même consÈquerit peut correspondre h pluaieui-s cinlècè-

entre un anléeédeiit et plusiews conséquents, entre un antécédent et un conséquent.

Il importe de citer la formule qui traduit la première de ces définitions, parce qu'elle montre que celles-ci n'impliquent pas l'idée du nombre 1, mais seulement la relation d'identité entre individus :

Relation uniforme = Rel n II s (rRy . xJh . o^ . y = s)

" Une relation uniforme est une relation R telle que xRy et œftz impliquent, quel que soit x, que y est identique à s. "

Les relations sont susceptibles de relations et d'opérations analogues à celles du Calcul des propositions et des classes. Il convient d'abord de définir l'inclusion et VéfjalUé de deux relations.

Une relation R^ est contenue dans une relation B^ lorsque, toutes les fois qu'elle a lieu entre deux termes quelconques x et y, la relation R^ a lieu entre les mêmes termes, ce qui s'écrit :

/?! o /^2 . ^ : xH^y - o i,^ , xR^y

Comme on voit, dire que la première est contenue dans la seconde, c'est dire qu'elle l'implique ou l'entraine (exactement comme pour les propositions, et contrairement au préjugé courant qui considère la conséquence comme contenue dans sa prémisse).

Deux relations /{„ R^ sont égales lorsqu'elles sont contenues réciproquement l'une dans l'autre, ce qui s'écrit :

R, = R^.=. R, o 11.^ . Il, 3 R,

C'est kl même définition que pour les propositions.

Cela posé, on peut définir l'addition et la multiplication logiques pour les relations. La somme logique de deux relations R„ R^ est la relation qui existe entre deux termes quelconques œ, y, dès qu'il existe entre eux l'une au moins des relations R,, /f^ ; ce qui s'écrit :

X {R,^R^) y. = : xH,y .^ . xR^y

yGoosle